湖南省常德市2026届高三下学期二模数学试题（Word版附解析）

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是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】 等价于 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 .
2. 已知 是虚数单位，满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】复数 ，则 ，代入已知条件根据复数相等求解.
【详解】设 ，则 ，
所以 ，
即 ，
由复数相等得 ，
解得 ，所以 ，
故选：A．
3. 一个袋中有 6 个大小和质地相同的球，其中红球 2 个，白球 4 个，现从中不放回地依次随机摸取 2 次，
每次摸出 1 个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】第二次摸出的球是红球有两种情况，利用古典概率公式分类列式计算即得.
【详解】第二次摸出的球是红球的事件有两种情况：
第一次摸到白球，第二次摸到红球的概率为
第一次摸到红球，第二次摸到红球的概率为
则第二次摸出的球是红球的概率为 .
故选：
4. 如图，在边长为 2 的正方形 中， 分别为 的中点，则 （ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】以 为坐标原点建立如图所示直角坐标系，
则 ，则 ，
则 .
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5. 一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值
为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为 ，圆锥的母线长为 ，高为 ，由已知可得 ，
，计算侧面积与球的表面积的比值.
【详解】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为 ，圆锥的母线长为 ，高为 ．
由 ，得 ， ，
，则 ．
6. 已知圆 与双曲线 的渐近线相切，则椭圆
的离心率 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由圆 与双曲线 渐近线相切得出 ，即可求解椭圆的离心率．
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【详解】由圆 得，圆心 ，半径为 1，
双曲线 的一条渐近线为 ，即 ，
因为圆 与双曲线 的渐近线相切，
所以圆心 到渐近线 的距离 ，整理得 ，
所以椭圆 的离心率 ．
7. 已知实数 满足： ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数单调性分析不同 取值对应的 与 1 的大小关系，从而判断 的符号.
【详解】 因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
设 ，求导得 ，
因为 ， ，因此 ，即 在 上是单调递增.
若 ，则 ，对应 ，得 ，此时 ；
若 ，由 单调递增得 ，即 ，
又 是增函数，故 ，此时 ，得 ；
若 ，由 单调递增得 得 ，解得 ，此时 ；
综上，所有情况都满足 ，选 C.
【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，核心是利用函数单调性判断变量的取值范围，体现了函数思想
在不等式判断中的应用.
8. 已知 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边， 的面积 ，角 的
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平分线交 于 点，且 ，则 （ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由三角形 面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得 ，由等面积法以及三角形的面
积公式代入计算可得 ，再由余弦定理代入计算，即可得到结果
【详解】 ，化简得 ，
再由正弦定理，得 ，
又 ，
代入得 ，整理得 ．
又 ， 为 的内角，则 ，即 ．
因为 为 的平分线，所以 ， ，
在 中， ．①
又 ，
∴ ，
则 ，
化简得 ，
又 ，∴ ．②
①代入②，得 ，解得 或 （舍去），
∴ ，
在 中，由余弦定理得 ，
∴ ．
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二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用弦化切计算逐项判断即可.
【详解】对于 A 选项， ，A 对；
对于 B 选项， ，B 错；
对于 C 选项， ，C 对；
对于 D 选项， ，D 对.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 样本数据 2，3，3，4，7，8，10，18 的第 80 百分位数为 10
B. 样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数 的值越大
C. 根据分类变量 与 的成对数据，计算得到 ，依据 的独立性检验，结论为变
量 与 不独立
D. 一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为 0 的横轴为对称轴的水平带状区域内
【答案】ABD
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【解析】
【分析】选项 A：根据百分位数的定义求解即可；选项 B：根据相关系数与相关程度的关系判断即可；选项
C：根据小概率值的独立性检验原理判断即可；选项 D：根据一元线性回归模型拟合效果判断即可.
【详解】选项 A：将样本数据从小到大排列：2，3，3，4，7，8，10，18，
则 ，所以第 80 百分位数为第 7 个数字，即 ，故 A 正确.
选项 B：样本正相关系数 的取值范围是 ， 越接近 1，随机变量之间的线性相关程度越强.
故正线性相关程度越强，则样本相关系数 越接近 1，故 B 正确.
选项 C：在独立性检验中，当 时，没有充分证据推断原假设不成立，应认为变量 与 独立，故
C 错误.
选项 D：残差均匀分布在 0 附近的水平带状区域，则模型拟合效果好，故 D 正确.
11. 已知 成等差数列，若关于 的方程组 恰有 组解，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据条件可得直线 过定点 ，再结合题设条件，可将问题转化成
与直线 恰有 个交点，求出过点 且与 相切的直线方
程，可得到 ，再对各个选项分析判断，即可求解.
【详解】因为 成等差数列，则 ，代入 得到 ，
整理得到 ，令 ，解得 ，
所以直线 过定点 ，又由 ，得到 ，
因为方程组 恰有 组解，则 与直线 恰有 个交点，
设过点 的直线与 切于点 ，
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又 ，则 ，得到 ，解得
所以过点 且与 相切的直线方程为 ，即 ，
又 的斜率为 ，由图可知，要使 与直线 恰有 个交点，
则 ，即 ，所以 ， ，故 A 和 D 正确，
取 ，显然满足 ，但 ，所以 B 错误，
取 ，显然满足 ，但 ，所以 C 错误.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知曲线 在 处的切线 与圆 相交于 两点，则 ___________
．
【答案】
【解析】
【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，即可根据圆的弦长公式求解.
【详解】由 得 ，故 ，进而可得曲线 在 处的切线 方程为：
，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
故 .其中 为圆 的半径.
13. 已知函数 为奇函数，则实数 ______．
【答案】1
【解析】
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【分析】根据奇函数的定义可将问题转化为 对定义域内的任意 恒成立，即可求
解 .
【详解】由题意可得 对定义域内的任意 恒成立，故
，因此 ，
化简可得： 对定义域内的任意 恒成立，
由于 是变化的，因此 ，故 .
14. 函数 的值域为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先将函数平方，转化为关于 的函数，再利用换元法，转化为关于 的函数，利用导数求出
的值域，进而得出函数 的值域．
【详解】因 ，所以 ，所以定义域为 ，
由题可知， ，
令 ，不妨设 ，
则 ，
令 ，解得 或 ，
当 时， ，则 在 单调递增，
当 时， ，则 在 单调递减，
又 ，
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所以 ，即 ，
所以 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列 的前 项和 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据 与 的关系，推出 为等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可.
（2）求出 ，结合裂项相消法求出 ，进一步证明即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，解得 .
当 时， ，则 ，
即 ，所以数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，
.
【小问 2 详解】
由（1）知， ，则 .
所以 ，
又 ，所以 ，则 ，即 .
16. 如图，在三棱柱 中，平面 平面 ， ，
为 的中点．
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（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，与 交于点 ，根据面面垂直的性质定理可得 平面 ，进而根据
及面面垂直的判定定理可得结果；（2）以 C 为原点建立空间直角坐标系，根据 的坐标及平
面 的法向量可求结果.
【小问 1 详解】
由三棱柱的性质可知四边形 ， 均为平行四边形，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
如图，连接 ，与 交于点 ，连接 ，
则 为 的中点，所以 .
所以 平面 ，
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又 平面 ，所以平面 平面 .
【小问 2 详解】
由三棱柱的性质可知四边形 为平行四边形，
所以 ， ，又 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
由（1）知 平面 ，所以 两两垂直，
以 C 为原点， 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由 ，可得
由 ，可得 ，
所以
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，可得 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
17. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量 服从参数为 的泊松分布
（记作 ），则其概率分布为 ，其中 为自然对数的底数．
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（1）当 时，泊松分布可以用正态分布来近似，当 时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时
可认为 ．若 ，求 的值；
（2）设 ，当 且 时，二项分布可近似看作泊松分布，即
，其中 .
某工厂生产电子元器件，次品率为 ，各元件是否为次品相互独立，记 为产品中的次品数，按泊松
分布近似计算．
（i）这 1000 件产品中恰有 2 件次品的概率；
（ii）求使得 最大时的 值．
（参考数据： ；若 ，则有 ，
， ）
【答案】（1）
（2）这 1000 件产品中恰有 2 件次品的概率为 ， 最大时的 值为 2 或 3
【解析】
【分析】（1）根据正态分布求解相应区间的概率即可；（2）（i）根据题意将已知数据代入公式即可，（ii）根
据 最大时 列不等式组求解即可.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为 ，即 ．
所以 ，
由 ， 得
，即 .
【小问 2 详解】
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（i）由题意知 ，且 ，
又 ，所以二项分布可近似看作泊松分布，
所以 ，
所以 ，即这 1000 件产品中恰有 2 件次品的概率为 .
（ii）因为 最大，所以 ，
即 ，解得 ，
又 ，所以 最大时的 值为 2 或 3．
18. 抛物线 的焦点为 为坐标原点，抛物线 上的一点 到焦点 的距离
为 ．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）已知直线 交抛物线 于 两点，直线 交抛物线 准线于点 ，且 轴．
（i）证明：直线 过定点；
（i）点 为抛物线 的准线与 轴的交点，若 的面积与 的面积相等，求直线 的方程．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii） 或
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用抛物线的定义，建立方程组 ，即可求解；
（2）（i）设直线 ， ，联直线与抛物线方程，再结合题设条件和根与系数
间的关系，得 ，即可求解；（ii）根据条件，将问题转化成 到直线 的距离相等，再利
用点到直线的距离公式，即可求解.
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【小问 1 详解】
因为抛物线 上的一点 到焦点 的距离为 ，
则 ，消 得到 ，解得 ，所以抛物线 的标准方程 .
【小问 2 详解】
（i）由题可设 ， ，
由 ，消 得到 ，则 ， ，
又 ，所以 ，令 ，得到 ，
所以 ，又 轴，则 ，得到 ，
所以 ，解得 ，则 ，所以直线 过定点 .
（ii）因为 在抛物线上，则 ，解得 ，所以 ，由（i）知 ，
又点 为抛物线 的准线与 轴的交点，则 ，又 的面积与 的面积相等，
则 到直线 的距离相等，所以 ，即 ，解得 ，
所以直线 的方程为 或 .
19. 已知函数 （其中 为自然对数的底数）．
（1）求函数 的单调区间；
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（2）当 时，证明： ；
（3）若 有两个不同的实数解 ，且 ，求证： ．
【答案】（1）单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导函数的正负性判断其单调性；
（2）令 ，研究其单调性，求端点处的函数即可；
（3）先求出 ，令 得出 ，结合（2）可知 ，将问题
转化 求证 ，最后构造函数 求其范围即
可.
【小问 1 详解】
由 得 ，
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以当 时 ，当 时 ，
故 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
【小问 2 详解】
令 ，
则 ，
因为 与 单调性一致，故 在 上单调递增，
因为 ，所以 使得 ，
则当 时 ，当 时 ，
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则 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ， ，所以当 时， ，
故当 时， ；
【小问 3 详解】
由（1）知， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
令 ，得 ，
由（2）可知， 时， ，故 ，
欲证 ，只需证 ，
即证 ，
因为 ，故只需证 ，
令 ，
则 ，
因为 在 上单调递增，且 ，所以 在 上恒成立，
则 在 上单调递减，则 ，
则 ，故命题得证.
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