湖南省邵阳市2026届高三下学期二模数学试题（Word版附解析）

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本试卷共 4 页，19 个小题.满分 150 分.考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条
形码粘贴区”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以
上要求作答无效.
4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合 ，根据对数函数定义域求出集合 ，再根据并集的概念求
解即可.
【详解】 ， ，
所以 ，即 .
2. 已知复数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 复数 在复平面内对应的点位于第一象限
C. 复数 的共轭复数为
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D. 将复数 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转 ，所得向量对应的复数为
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的除法法则可得 ，计算复数的模判断 A；写出对应的点判断 B；求出其共轭复数判
断 C；求出旋转所得向量对应的复数，判断 D.
【详解】由复数 满足 ，得 ，所以 ，A 错误；
复数 对应的点为 ，位于第一象限，B 正确；
复数 的共轭复数是 ，C 错误；
复数 对应的点为 ，绕原点按逆时针方向旋转 ，得到的点为 ，所以所得向量对应的复
数应为 ，D 错误.
3. 在平行四边形 ABCD 中，点 在线段 AC 上，且 .若 ，其中 ， ，
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由 ，
又 ，则 ，故 .
4. 清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4 名青年志愿者到 3 个社区参加“绿色清明”公益宣讲活
动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A. 24 种 B. 36 种 C. 64 种 D. 72 种
【答案】B
【解析】
【分析】根据分组分配问题解法，先分组再分配即可求解．
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【详解】根据题意，将 4 名青年志愿者分为三组，共有 种情况，再分配到 3 个社区，共有 种情况，
所以共有 种不同情况．
5. 已知函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A B.
C. 函数 在区间 上单调递增 D. 函数 的图象关于点 中心对称
【答案】C
【解析】
【分析】对于 A：根据函数周期性分析判断；对于 BD：根据正弦函数对称性的性质分析判断；对于 C：根
据单调性分析判断即可.
【详解】对于选项 A：因为函数 的最小正周期 ，
所以 ，故 A 正确；
对于选项 B：因为 为最大值，
可知 是函数 的对称轴，所以 ，故 B 正确；
对于选项 C：因为 ，令 ，可得 ，
所以函数 在区间 上不单调，故 C 错误；
对于选项 D：因为 ，
所以函数 的图象关于点 中心对称，故 D 正确.
6. 已知 是 内的一点，且 ， .若 ， 和 的面
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积分别为 1， ， ，则 的最小值是（ ）
A. B. 9 C. 15 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积的定义，三角形的面积公式求得 的面积，依题意求出 的值，利用基
本不等式“1”的妙用求解.
【详解】因 ，则 ，
则 ，于是 ，
， 和 的面积分别为 1， ， ，
， ， ，
，
当且仅当 时，即 ，等号成立，
的最小值是 .
7. 已知函数 ， ，则 （ ）
A. 是偶函数，且在 单调递增 B. 是偶函数，且在 单调递减
C. 是奇函数，且在 单调递增 D. 是奇函数，且在 单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】利用奇偶性的定义求解 的奇偶性，求出 在 范围内的表达式，利用导数法得到
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在 范围内的单调性.
【详解】 ，
的定义域为 ，
，
是偶函数，
当 时， ，
当 时， ，
，
，
，
，
，
，
在 上是单调递增函数.
8. 在正四棱锥 中， 是棱 PA 的中点，平面 EBC 将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分
与体积较大部分的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先得到截面，并由等体积法得到各个几何体之间的体积关系，得到答案
【详解】如图所示，在正四棱锥 中， 是棱 PA 的中点，
取 PD 的中点为 ，连接 EF，BE，CF，CE，CA，FA，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ， ， ， 四点共面，所以平面 EBC 在四棱锥上的截面是平面 BCFE.
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平面 BCFE 把四棱锥分为两个部分，设四棱锥 的体积为 ，高为 .
设四边形 的面积为 ，
则 ，
同理 .
设点 到平面 AEF 的距离是 ，
则 ，
即 ，故 ，
所以体积较小部分与体积较大部分的体积之比为 .
二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，过 的直线 交 于 ， 两点，则下列结论
成立的是（ ）
A. 的周长为 8 B.
C. 的最小值为 D. 存在直线 ，使得
【答案】ABD
【解析】
【分析】由椭圆的定义即可判断 A；由基本不等式即可判断 B；根据椭圆弦长公式即可判断 C；根据
的最大角即可判断 D．
【详解】A，根据椭圆的定义， ，
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所以 的周长为 ，故 A 正确；
B，根据基本不等式， ，当且仅当 时等号成立，故 B 正
确；
C，设直线 的方程为 ， ，
与椭圆方程联立 得， ，
， ，
，
当 时， 最小为 1，故 C 错误；
D，当直线过短轴顶点时， 最大，
此时 ，即 最大为 ，
所以存在直线 ，使得 ，故 D 正确．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据 2，3，4，5，6，7，8，9 的第 25 百分位数为 3
B. 若随机变量 ， ，则
C. 某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取 10 名男生的数学成绩，其平均数为 105，方差
为 24，随机抽取 5 名女生的数学成绩，其平均数为 102，方差为 21，则这 15 名学生的数学成绩的方差为
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25
D. 一箱 12 罐的饮料中 4 罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取 2 罐，则这 2 罐中有奖券的概
率为
【答案】BC
【解析】
【分析】A 选项，由百分位数的定义进行求解；B 选项，利用二项分布的期望和方差公式进行求解；C 选项，
利用总体方差和样本方差的关系进行求解；D 选项，利用超几何分布求解相应的概率
【详解】A 选项， ，故从小到大选取第 2 和第 3 个数的平均数作为第 25 百分位数，
即 ，故数据 2，3，4，5，6，7，8，9 的第 25 百分位数为 3.5，A 错误；
B 选项，随机变量 ， ，即 ，解得 ，
所以则 ，B 正确；
C 选项，这 15 名学生的数学成绩的平均数为 ，
故这 15 名学生的数学成绩的方差为 ，C 正确；
D 选项，2 罐中有奖券的概率为 ，D 错误.
11. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，
则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若 是边 AC 的中点，则线段 BD 的长的最小值为
C. 的最大值为
D. 若点 是 的外心，且 ， ，则
【答案】ACD
【解析】
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【分析】A 根据题意利用三角恒等变换可得 ，进而可得 ；B 利用正弦定理可得 ，再
利用平面向量结合基本不等式运算求解；C 整理可得 ，进而分析最
值；D 根据数量积的几何意义结合外心性质可得 ，解方程即可.
【详解】A：因为 ，则 ，可得
，
因为 ，则 ， ，可得 ，所以 ，故 A 正确；
B：由正弦定理 ，得 ， ，
则 ，解得 ，
因为 是边 AC 的中点，则 ，且 ，
可得 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，故 B 错误；
C：因为
，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 ，故 C 正确；
D：因为 ， ，则 ，即 ， ， ，
因为 ，则 ，
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即 ，解得 ，故 D 正确
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点， ， ，动点 满足 .当 取最大值
时， ______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出点 的轨迹方程，判断出当 取最大值时点 的位置，结合直线与圆的位置关系求解
即可.
【详解】设 .
因为 ，所以 ，
整理得 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆.
则当 取最大值时， 与圆相切，则 .
在 中， ，
所以 .
13. 已知 ，则 ______.
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【答案】 ##
【解析】
【分析】应用二倍角余弦公式及诱导公式化简已知条件求出 ，化简目标式即可得.
【详解】由 ，则
，
所以 .
14. 已知函数 （ ， ， ），若 在 上恒成立，则 的最大值
为______.
【答案】
【解析】
【分析】对 求导，分析函数单调性后找到 的最小值点；再令 的最小值大于等于 0，得到
满足的关系式；最后将目标式 通过所得关系式换元转化，构造关于单个变量的新函数，对新
函数求导即可求得该目标式的最大值。
【详解】由题意可得 恒成立，
令 ， ，故 恒成立，故 ，
与此同时， .
（1）若 ，则 .
（2）若 ，令 ，
的定义域为 ， ，
当 时，有 ；当 时，有 ，
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所以 在 单调递减，在 单调递增，
当 时， 的最小值为 ，
因为 恒成立，则 恒成立，解得 ，即 ，
（ⅰ）当 时，则有 ；
（ⅱ）当 时，则有 ，则 ，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 取得最大值 ，
综合（1）（2）得： 的最大值为 ，
所以 的最大值为 .
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知数列 是等差数列，且 ， ，数列 满足 ， .
（1）求 的通项公式，并证明数列 是等比数列；
（2）若数列 满足 ，求 的前 项和 .
【答案】（1） ，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出等差数列 的公差，即可得到其通项公式；由数列 满足 ，
.根据等比数列的定义可证明数列 是等比数列；
（2）由分组求和法，结合等差数列、等比数列的前 项和公式可求得 .
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【小问 1 详解】
设等差数列 的公差为 ，由 ， ，
得 ，解得 .
所以 .
由 得 ，即 ，
又 ，
所以 是一个以 4 为首项，3 为公比的等比数列.
【小问 2 详解】
由（1）可得 ，所以 .
所以 .
所以 .
16. 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法从甲、乙两所学校共抽取 120 名学生
.通过测验得到如下数据：甲校 50 名学生中有 10 名学生的数学成绩优秀；乙校 70 名学生中有 10 名学生的
数学成绩优秀.根据抽样数据的分析，得到不完整抽样数据列联表，如表（一）所示.
单位：人
数学成绩
学校 合计
不优秀 优秀
甲校 10 50
乙校 10 70
合计
表（一）
（1）完成表（一）列联表，依据小概率值 的 独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优
秀率有差异？
（2）已知甲、乙两所学校利用 AI 自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下：甲
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校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为 ，乙校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为 .若从甲、乙两
所学校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出 1 名学生，用样本估计总体，用频率估计概率，求该
学生数学成绩有效转化的概率.
参考公式与数据：
，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）单位：人
数学成绩
学校 合计
不优秀 优秀
甲校 40 10 50
乙校 60 10 70
合计 100 20 120
，认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意完成列联表，结合零假设、卡方公式进行运算求解判断即可；
（2）利用全概率公式进行求解即可.
【小问 1 详解】
列联表如下：
单位：人
数学成绩
学校 合计
不优秀 优秀
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甲校 40 10 50
乙校 60 10 70
合计 100 20 120
零假设为 ：两校学生的数学成绩优秀率无差异.
根据列联表数据，计算得到
.
根据小概率值 的 独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
因此可以认为 成立，即认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异.
【小问 2 详解】
设事件 “利用 AI 自习室帮助该学生且数学成绩能有效转化”，
事件 “该学生来自甲校”，事件 “该学生来自乙校”，则
， ，且 ， ，
则 ，
所以该学生数学成绩有效转化的概率为 .
17. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ， ，
点 在线段 上， ，平面 平面 .
（1）求证： ；
（2）设点 是三棱锥 的外接球的球心，且四棱锥 的体积是 ，求直线 与平面
所成角的正弦值.
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【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直.
（2）建立空间直角坐标系，判断出点 的位置并求出点 坐标，结合线面角的向量求法求解即可.
【小问 1 详解】
证明：在直角梯形 中， ， ，则 ， .
在 中， ， ，所以 ， .
因为 ，所以 .
在 中， ， ，
则 .
又 ，所以 .
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
【小问 2 详解】
取 的中点为 ，连接 PO. 因为 ，所以 .
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面
所以 ，解得 .
以点 为原点，分别以 ， 所在直线分别为 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
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则 ， ， ， .
， .
设 ，因为点 是三棱锥 的外接球的球心，则点 应在 平面上，所以 .
又 ， ，
所以 ，解得 ，所以 .
所以 .
设 是平面 的一个法向量，
则 ，即 ，取 ，则 ， ，
所以 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值是 .
18. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，右焦点为 ，直线 与 相切于点 .
（1）若 与 的渐近线分别交于 ， 两点，证明：点 为线段 AB 的中点；
（2）已知直线 ： ， ： ，若 与 ， 分别交于点 ， ，是否存在实数 ，使得
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恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程和焦点坐标求出双曲线的标准方程，根据直线 是否存在斜率进行分
类讨论，结合一元二次方程根与系数关系进行运算求解证明即可；
（2）根据两点间距离公式，结合（1）的结论进行求解即可.
【小问 1 详解】
设双曲线 ，
由题意得： 解得 故双曲线方程为 .
设 ，则
ⅰ）当切线 斜率不存在时，由对称性可知， 为 AB 的中点.
ⅱ）当切线 斜率存在时，设切线 （ 或 ）
联立方程组： 消去 得： .
由 ，即 .
又 ，则 ， ，
所以 ，即 ，解得 .
所以直线 ，又 ，则 .
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联立方程组： 消去 得： ，因为 .
则上式化简为 ， 恒成立.
设 ， ，则 ，所以 为 AB 的中点.
【小问 2 详解】
因为 与 相交，则切线 的斜率存在，
由（1）知，切线 ，将 ， 分别代入切线 的方程得
所以 ， ，则 ，
.
所以 .
故存在 ，使得 恒成立.
19. 已知函数 .
（1）求函数 的极值；
（2）若函数 有两个零点 和 ，且 ，求证： ；
（3）设函数 ， ，若 与 的图象有两个交点 ， ，试比较
与 的大小.（参考数据： ， ）
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【答案】（1）极小值为 ，无极大值.
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据导数与极值的关系求解即可.
（2）根据导数与最值的关系求出函数的最值点 ，分别求出直线 、 方程，可得到与直线 的
交点横坐标及差值，再比较 与差值的大小即可.
（3）根据 与 的图象有两个交点得到 ，通过构造函数及导数与
最值的关系得到 ，结合基本不等式得到 ，再通过构造函数及导数与单
调性的关系求解即可.
【小问 1 详解】
的定义域为 ， ，
当 时， . 当 时， ，
所以 上单调递减，在 上单调递增.
当 时， 取极小值，极小值为 ，无极大值.
【小问 2 详解】
有两个零点，即方程 有两个不同实根 和 ， .
设 ，则 .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得最小值， .
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的大致图象如图所示，
可知函数 的最低点为 ， ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 .
则直线 与函数 的图象交点的横坐标分别是 和 ，
设与直线 和 的交点的横坐标分别是 和 ， .
解方程可得 ， ， .
当 时， ，
所以函数 图象在线段 的下方.
当 时， .
令 ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ，所以 ，其中 ，
故函数 的图象在线段 的下方.
所以根据单调性，可得 ， ，所以 ，
故 .
【小问 3 详解】
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由 得 ，即 ，
所以 ， ，
两式相加，得 ；
两式相减，得 ，
所以 ，
所以 ，
即 .
不妨令 ，记 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 ，即 ，所以 .
又 ，
所以 ，即 .
令 ，则 时， ，
所以 在 上单调递增.
又 ，
所以 ，
所以 ，即 .
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