湖南省常德市2026届高三下学期3月模拟数学试题（Word版附答案）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
解：（1）①当时，，又 ，解得分
②当时，，所以 分
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以分
（2）由分
所以，分
所以分
因为，所以. 分
16．(本小题满分15分)
法一：
解：（1）连接与交于点，连接，
三棱柱侧面为平行四边形，所以为的中点，
又为的中点，所以分
又因为中,
由余弦定理可得.
所以，所以分
因为平面平面且交线为，平面
所以平面分
又，所以平面,
又平面，所以平面平面分
（2）由，，得，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，分
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
则分
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为分
法二：
解：（1）延长与交于点，连接.
三棱柱侧面为平行四边形，又为的中点，
所以为的中点，所以，又,
所以四边形为平行四边形,所以分
又因为中,
由余弦定理可得.
所以，所以分
因为平面平面且交线为，平面,
所以平面分
又，所以平面，
H
x
y
z
又平面，所以平面平面分
（2）解法同法一
阅卷评分说明：
如图建立直角坐标系，写点的坐标分
求得平面的法向量为分
求得直线与平面所成角正弦值为分
17．(本小题满分15分)
解：（1）因为当，且时，可近似地认为，
即X～N(81,81)，这里分
所以，
分
分
（2）(i)由题知，其中分
分
(ii) 分
所以分
由解得，
所以，当时，；当时，.
即
所以当或时，最大分
18．(本小题满分17分)
解：（1）法一：由抛物线的定义有，又点在抛物线上，
所以分
解得：，，
所以抛物线的标准方程为分
法二：由题可知分
解得：，.
所以抛物线的标准方程为分
（2）(i)由题可知直线的斜率存在，设直线：，，（）
因为点在准线上，且轴，所以.
由、三点共线，所以，即，
化简得①分
联立，消得,
由韦达定理得：分
又得代入①得②分
将代入②得,
又，所以.
所以直线：过定点分
(ii)因为的面积与的面积相等，所以点与点Q到直线的距离相等.
①若直线过的中点，又，，的中点为,
则直线的斜率，
所以直线的方程为分
②若直线，则直线的斜率,
所以直线的方程为.
综上，直线的方程为或分
19． (本小题满分17分)
解：（1）函数的定义域为分
，分
所以函数在上单调递增，又分
所以当时；当时.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为分
（2）法一：
当时，分
因为，所以，且,
所以,
所以，即分
法二：当时，设，
则，分
所以函数在上单调递增，又，,
由零点存在定理，存在唯一，使得,
当时；当时.
所以在上单调递减，在上单调递增分
又，所以，
所以分
（3）如图，由(1)可知，在单调递减，在单调递增，
因为，，
所以分
易知在处的切线为分
设
则，，
所以函数在上单调递增，又，
所以当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即分
所以，所以①分
由(2)知，当时，，所以，
所以②分
由①+②得，分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
D
D
A
C
B
题号
9
10
11
答案
ACD
ABD
AD