湖南省常德市多校2026届高三上学期第一次模拟考试数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效．
一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分．每小题只有一个答案符合题目要求）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可.
【详解】由题意知，
又，所以．
故选：A．
2. 复数的虚部为（ ）
A. -3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数除法运算和复数虚部概念即可求解.
【详解】由题复数，
所以复数的虚部为.
故选：C
3. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得是偶函数，则结合即可得解.
【详解】由题意是偶函数，
所以，解得，
又，所以.
故选：A.
4. 已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用圆柱的体积公式和侧面积公式即可求解.
【详解】设圆柱的高为，底面半径为1，由圆柱的体积为可得：，
所以该圆柱的表面积为，
故选：C.
5. 光束是由一粒一粒运动着的粒子流组成的，这种粒子被称为光量子，简称光子．已知在某次光学实验中，实验组相关人员用感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A，B，通过数学建模与数据分析得知，在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为，设光子相对光子的位移为，则在上的投影向量的坐标表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量坐标的线性运算先求，再利用投影向量的定义即可求解.
【详解】由向量，可得，
所以在上的投影向量为．．
故选：C．
6. 盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B，根据题意可得，结合全概率公式运算求解.
【详解】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B，
则，
所以.
故选：C.
7. 已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】已知函数，数列满足，结合分段函数的性质讨论，若为递增数列，则，与矛盾，不满足充分性；若，满足，可以推出为递增数列，故满足必要性，所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件.
【详解】已知函数，数列满足.
①充分性：
若为递增数列，则对于所有，满足，即.
当时，成立，即
：，
：，
：，
：需要满足，即，
当，，要使在时单调递增，则.
综上，若数列递增，则，
所以“数列递增”不能推出“”，不满足充分性.
②必要性：
若，则，由①知当时为递增数列，
所以“”能满足“数列递增”，
即“数列递增”是“”的必要条件.
所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
8. 已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围.
【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即，
且双曲线的渐近线方程为，
设为圆上一点，且圆心为，半径，
则的中点在其渐近线上，可得，
即，所以点在直线上，
因为圆心到直线的距离为，
因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点，
所以，即，可得，可得，所以，
又因为双曲线的离心率，所以，
所以双曲线的离心率的取值范围为.
故选：B.
二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分，两个选项的对一个得3分，三个选项的对一个得2分，有错误选项不得分．）
9. 人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为，A型的基因类型为或，B型的基因类型为或，型的基因类型为，其中，a和b是显性基因，i是隐性基因.则下列说法正确的是（ ）
A. 若父亲的血型为型，则孩子的血型可能为O型
B. 若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有26种
C. 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为
D. 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，则孩子也是型的概率为
【答案】BC
【解析】
【分析】若父亲的血型为型，母亲的血型任意，列出孩子的基因类型所有情况，即可判断A；若父母的血型不相同，列出所有情况计算即可判断B；若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，可得父亲的基因类型及计算出相应概率，再根据父亲、母亲的基因类型可得孩子的基因类型及计算出相应概率，进而可判断C，D.
【详解】若父亲的血型为型，即基因类型为，
则母亲的可以是：，，，，，，
则孩子的血型的基因类型为，，，，，没有，即孩子的血型不可能为O型，故A错误；
若父母的血型不相同，
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，，共5种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；
当父亲血型基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，，共5种，
所以父母血型的基因类型组合有种，故B正确；
若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，即基因类型为，
则父亲血型的基因类型可能是，，，其对应的概率分别为，，，
当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，
对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；
当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，
对应的概率分别为，，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；
当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，
对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；
综上，若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为，故C正确，D错误.
故选：BC.
10. 已知无穷数列满足，设其前n项和为，记，则（ ）
A. 存在等差数列，使得是递增数列；
B. 存在等比数列，使得是递增数列；
C. 若是递减数列，则且；
D. 若是递减数列，则可能存在且，使得．
【答案】BC
【解析】
【分析】利用等差求和公式，结合作差即可求解A,据特例即可求解B，利用单调性得，即可由迭代法求解C，根据单调性得，即可判断D.
【详解】对于A,当为等差数列时，设首项和公差分别为，则，
则，当时，，
由于，
由于，故当时，，
故，不满足为递增数列，故A错误，
对于B, 当为等比数列时，设，则，
，由于单调递减，故为递增数列，故B正确，
对于C, 是递减数列，则时，，
即，故，故C正确，
对于D, 是递减数列，则时，，
即，
故不存在且，使得．故D错误，
故选：BC
11. 已知函数，下列选项正确的是（ ）
A. 有最大值
B.
C. 若时，恒成立，则
D. 设为两个不相等的正数，且，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利用作差法比较大小；对于C：利用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明.
【详解】对于选项A：由题意可得：函数的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以有最大值，故A正确；
对于选项B：因为，
则，
所以，故B错误；
对于选项C：构建，则，
因为，且当时，恒成立，
则，解得，
若，则当时恒成立，
则在上单调递减，则，符合题意
综上所述：符合题意，故C正确；
对于选项D：因为，
整理得，即，
由选项A可知：函数在上单调递增，在上单调递减，
当x趋近于0时，趋近于0，且令，解得，
不妨设，
构建，
因为在上恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以，即，
可得，
注意到在上单调递减，且，
所以，即，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．）
12. 展开式中，常数项为_____（用数字作答）.
【答案】
【解析】
【分析】由二项式展开式通项公式即可计算求解.
【详解】由题可得二项式展开式通项公式为，
所以当时得展开式常数项为.
故答案为：
13. 已知椭圆的上顶点为，直线交于两点.若的重心为，则实数的值是__________.
【答案】##0.75
【解析】
【分析】根据椭圆方程求出上顶点的坐标，再设出，，利用三角形重心坐标公式得到与的值，然后联立直线与椭圆方程，根据韦达定理求出与关于、的表达式，进而求出的值.
【详解】已知椭圆，上顶点坐标为.
设，，因为的重心为，所以，.
由可得；由可得.
直曲联立，将直线代入椭圆，可得.
展开并整理得.
根据韦达定理可知.
又因为，，所以.
由可得 ①；由可得 ②.
由②可得，将其代入①可得：
，则，解得
当时，代入②可得， ，此时直线与椭圆有两个交点，符合题意.
故答案为：.
14. 函数 的值域为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】换元，化简得，再换元得，
令，利用得出的最大值与最小值，进而得到的值域
【详解】
令，则，
由于是奇函数且周期为，只需考虑 （值域对称）.
令，，则，（时，）
变为
令
对求导得：
，
令，得或，
当时，，
当时，，
当时，
的最大值是，
的最大值为
由于是奇函数，
故最小值为，
值域为
故答案为：
四、解答题（本题共5个小题，共77分）
15. 已知向量，函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）在中，分别是角的对边，的面积为，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式与辅助角公式可得，再利用正弦型函数性质计算即可得解；
（2）由计算可得，再利用面积公式与余弦定理计算即可得解.
【小问1详解】
，
令，解得，
故函数的单调递减区间为；
【小问2详解】
，则，则，
即，又，故，
则，故，
，
即，则，
即有，故的周长为.
16. 如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．
（1）证明：平面；
（2）求面与面所成的二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先应用线面平行判定定理得出平面及平面，
再应用面面平行判定定理得出平面平面，进而得出线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点的坐标表示出来，然后将平面及平面的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值.
【小问1详解】
设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为平面平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
【小问2详解】
因为，所以，又因为，所以，
以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系.
因为，平面与平面所成二面角为60° ，
所以.
则，，，，，.
所以.
设平面的法向量为，则
，所以，令，则，则.
设平面的法向量为，
则，所以，
令，则，所以.
所以.
所以平面与平面夹角正弦值为.
17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为分别是的左、右焦点，是上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点.当轴时，.
（1）求椭圆的方程.
（2）证明：为定值.
（3）记点的轨迹为，动直线与交于两点，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据条件列出关于方程组，由此可求解出椭圆的方程；
（2）延长交椭圆于点，设出点坐标，联立与椭圆的方程，可得点坐标，则点坐标可知，联立的直线方程可得点坐标，根据点到点的距离公式进行化简计算，即可完成证明；
（3）判断出的轨迹并求出轨迹方程，计算出到的距离并通过弦长公式表示出，由此可表示出的面积，结合基本不等式求解出面积的最大值.
【小问1详解】
当轴时，，所以，
此时由对称性可知，
因为轴，为的中点，所以为的中点，
所以，且，
所以，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
证明：延长交椭圆于点，由对称性可知关于原点对称，
设，，所以，
联立，可得，且，
所以，
所以，所以，
所以，所以，所以，
因为，，即，
联立的方程可解得，
所以，
因为在轴上方，所以且，所以，
又因为，所以，解得，所以，
又因为时，恒成立，
所以，
所以为定值.
【小问3详解】
由（2）可知，为以为焦点，以为长轴长的半椭圆，
设半椭圆的方程为，所以，
所以，设，
联立和的方程，可得，
则，
且，即，
到直线的距离为，
，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为.
18. 已知函数.
（1）若函数在点处的切线与轴平行，求的值；
（2）当时，设的极大值为，求证：；
（3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成为等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）不存在.
【解析】
【分析】（1）直接求导得，解出即可；
（2）求导得，分，和讨论即可；
（3）首先分析得有两个零点，再假设相关零点，分和讨论即可.
【小问1详解】
，
.
【小问2详解】
，
当时，令，则或，
则当，；当，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故.
当时，在上递增，不存在极大值.
当时，令，则或，
则当，；当，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故.
，
设，，，
当，；当，；
则在上单调递减，在上单调递增.
.证毕！
【小问3详解】
由于，
所以与的零点个数相同.
依题意共有个不同的零点，所以有两个零点.
，
当，则在上恒成立，则在上单调递增，不符合题意.
当，则在上，在上；
则在上单调递增，在上单调递减，
而，
所以有.
不妨设的两个零点为，
的两个零点为，
则有，.
若四个零点成等差数列，则有两种情况.
①当时，
有
可得①
即，可得.
即，②
代回原式可得
代入①可得，即
这与②矛盾，故不存在.
②当时，
有
可得③
即，可得.
即，④
代回原式可得
代入③可得，即
这与④矛盾，故不存在.
综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列.
19. 设函数，证明：
（1）对每个，存在唯一的，满足；
（2）对于任意，由（1）中构成数列满足.
【答案】见解析
【解析】
【分析】（1）根据判断得函数在0,+∞上是增函数再根据零点存在性定理可证；
（2）由在内单调递增知，，故为单调递减数列，再减变形化简，利用放缩法得证.
【详解】（1）对每个，当时，，
则在内单调递增，
而，当时，，
故，
又，
所以对每个，存在唯一的，满足
（2）当时，，并由（1）知
由在内单调递增知，，故为单调递减数列，
从而对任意,
对任意，
①
②
①②并移项，利用，可得
.
综上可得，对于任意，由（1）中构成数列满足.
本题考查的是数列函数，而且含双变量，考生在做题的过程中需要冷静的处理好每个变量.第（1）题考查函数的零点问题，要证明对每个，函数在某个区间上只有一个零点，一方面要证明函数是单调的，求导即可，另一方面要判断的正负问题，此题难点在于判断的正负时，要利用放缩的思想，将这个数列函数放缩到可以利用等比数列求和，从而证明此函数在指定区间内只有一个零点；第（2）题要将数列从数列函数中分离出来，就要通过函数的单调性，由，在内单调递增，确定，则不等式左半边成立，右半边通过作差，数列放缩确定最终.本题属于较难题.
【考点定位】考查函数的导数及其应用，函数零点的判定，等比数列的求和，不等式的放缩等知识.