湖南省常德市2021-2022学年高三3月模拟考试数学试题及答案

科目：数学

(试题卷)

注意事项：

    1．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

    2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不留痕迹；回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

    3．本试卷共 4页．如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负．

    4．考试结束后，将本答题卷和答题卡一并交回．

姓    名                         

准考证号                         

祝 你 考 试 顺 利 ！

2022年常德市高三年级模拟考试

数  学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，若，则

A．                          B． 

C．                        D．

2.若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于

A．第一象限                          B．第二象限       

C．第三象限                          D．第四象限

3.设为等比数列的前项和，若，，则

A．               B．               C．             D．

4.已知直线，，则“”是“”的

A．充分不必要条件                      B．必要不充分条件

C．充要条件                            D．既不充分也不必要条件

5.函数的图象大致是

6.已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线的离心率为

A．               B．               C．            D．

7.已知，，则

A．             B．             C．            D．

8.将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则

A．事件A与B相互独立              B．事件A与C相互独立

C．                    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数，则

A．函数的周期为                 B．函数的图象关于原点对称                  

C．的最大值为2                    D．函数在区间上单调递增 

10.下列不等式一定成立的是

A．                   B．

C．                            D．

11.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则

A．焦点的坐标为

B．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点

C．直线与抛物线相交所得弦长为8

D．抛物线与圆交于两点，则

12.如图所示，三棱锥中，,，为线段上的动点(不与重合)，且,则

A．

B．

C．存在点，使得

D．三棱锥的体积有最大值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知平面向量，，，则_________.

14.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为_________.

（附：若随机变量服从正态分布，则，）

15.已知是球的球面上的四点，为球的直径，球的表面积为，

且，，则直线与平面所成角的正弦值是_________.

16.设函数的两个极值点为，若，则实数的取值范围是_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17． (本小题满分10分)

如图，中，角，，的对边分别为，，，且．

(Ⅰ)求角的大小；

(Ⅱ)已知，若为外接圆劣弧上一点，

求的最大值．

18．(本小题满分12分)

设各项非负的数列的前项和为，已知，且成

等比数列．

(Ⅰ)求的通项公式；

(Ⅱ)若，数列的前项和.

19．(本小题满分12分)

为了研究注射某种抗病毒疫苗后是否产生抗体与某项指标值的相关性，研究人员从某地区10万人中随机抽取了200人，对其注射疫苗后的该项指标值进行测量，按，，，，分组，得到该项指标值频率分布直方图如图所示. 同时发现这200人中有120人在体内产生了抗体，其中该项指标值不小于60的有80人.

(Ⅰ)填写下面的列联表，判断是否有95%的把握认为“注射疫苗后产生抗体与指标值不小于60有关”.

(Ⅱ)以注射疫苗后产生抗体的频率作为注射疫苗后产生抗体的概率，若从该地区注射疫苗的人群中随机抽取4人，求产生抗体的人数的分布列及期望.

附：，其中n＝a＋b＋c＋d.

20．(本小题满分12分)

如图，三棱柱的底面是等边三角形，平面平面，，，，为的中点.

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)试问线段是否存在点，使得二面角的平面角的余弦值为，若存在，请计算的值；若不存在，请说明理由.

21．(本小题满分12分)

已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足，设动点的轨迹为曲线．

(Ⅰ)求曲线的方程；

(Ⅱ)过点作直线的垂线，交曲线于点(异于点)，求面积的最大值．

22．(本小题满分12分)

已知函数（是自然对数底数）.

(Ⅰ)当时，讨论函数的单调性；

(Ⅱ)当时，证明：.