湖南省常德市2024届高三下学期3月模拟考试（二模）数学试卷(含答案)

这是一份湖南省常德市2024届高三下学期3月模拟考试（二模）数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知等差数列的前项和为,,,则( )
A.13B.14C.15D.16
3．已知奇函数是定义域为R的连续函数,且在区间上单调递增,则下列说法正确的是
A.函数在R上单调递增B.函数在上单调递增
C.函数在R上单调递增D.函数在上单调递增
4．如图,现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角,缺失部分为正三棱锥,
且E,F,G分别为棱,,靠近的四等分点,若将该玉石打磨成一个球形饰品,则该球形饰品的体积的最大值为( )
A.B.C.D.
5．已知,,则( )
A.B.C.D.
6．已知平面向量a,b均为单位向量,且夹角为,若向量与a,b共面,且满足,则( )
A.B.C.D.
7．已知,则( )
A.9B.10C.18D.19
8．设有甲,乙两箱数量相同的产品,甲箱中产品的合格率为90%,乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件,经检验不合格,放回原箱后在该箱中再随机取一件产品,则该件产品合格的概率为( )
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.数据6,5,3,4,2,7,8,9的上四分位数(75%分位数)为7
B.样本数据与样本数据满足,则两组样本数据的方差相同
C.若随机事件,满足:,则,相互独立
D.若,且函数为偶函数,则
10．过点的直线l交抛物线于A,B两点,线段AB的中点为,抛物线的焦点为F,下列说法正确的是
A.以AB为直径的圆过坐标原点B.
C.若直线l的斜率存在,则斜率为D.若,则
11．若函数的零点为,函数的零点为,则( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知曲线在处的切线l与圆相交于A,B两点,则____________.
13．若复数z满足:,则________.
14．已知双曲线的左,右焦点分别为,,过的直线与双曲线的左,右两支分别相交于M,N两点,直线与双曲线的另一交点为P,若为等腰三角形,且的面积是的面积的2倍,则双曲线C的离心率为_________.
四、解答题
15．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角C;
（2）若a,b,c成等差数列,且的面积为,求的周长.
16．某市组织宣传小分队进行法律法规宣传,某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数,得到下表:
（1）从这9天的数据中任选4天的数据,以X表示4天中每天普及人数不少于240人的
天数,求X的分布列和数学期望;
（2）由于统计人员的疏忽,第5天的数据统计有误,如果去掉第5天的数据,试用剩下
的数据求出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程.
(参考数据:
,,,
附:对于一组数据,,……,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,)
17．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,,.
（1）证明:平面PAD;
（2）已知三棱锥的体积为,点N为线段AP的中点,设平面NCD与平面PBD的交线为l,求直线l与平面PAB所成角的正弦值.
18．已知O为坐标原点,椭圆的上,下顶点为A,B,椭圆上的点P位于第二象限,直线PA,PB,PO的斜率分别为,且.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过原点O分别作直线PA,PB的平行线与椭圆相交,得到四个交点,将这四个交点依次连接构成一个四边形,则此四边形的面积是否为定值?若为定值,请求出该定值;否则,请求出其取值范围.
19．已知函数.
（1）判断函数在区间上极值点的个数并证明；
（2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，设为数列的前n项和.
①证明：；
②问是否存在使得？若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：因为集合,
则.故选:C.
2．答案：D
解析：等差数列中,,,
解得,,,
则.
故选:D.
3．答案：C
解析：
4．答案：B
解析：
5．答案：A
解析：因为,所以,因为,所以,则.故选:A.
6．答案：B
解析：因为向量与,共面,所以设,
因为向量,均为单位向量,且夹角为,所以,
因为,所以,
即,解得,
所以,
,
所.
故选:B.
7．答案：D
解析：由于,
所以,
两边取导数,故,
故,
令,故,
故选:D.
8．答案：A
解析：
9．答案：BC
解析：对于A,将数据从小到大排列为2,3,4,5,6,7,8,9,
因为,所以上四分位数(75%分位数)为,故A错误;
对于B,设样本数据的方差为,
因为,所以由方差的性质可得样本数据的方差为,
所以两组样本数据的方差相同,故B正确;
对于C,因为,所以,即,
所以,所以A,B不相互独立,故C正确;
对于D,因为为偶函数,所以,
即,
所以区间与区间关于对称,
所以,故D错误.
故选:BC.
10．答案：ABC
解析：
11．答案：BCD
解析：
12．答案：
解析：由题意,切点为,,,
切线方程为:,
代入整理后得,
显然,
设,,则,,
所以,
故答案为:.
13．答案：
解析：
14．答案：或
解析：设,,
由双曲线的定义可得,,
由的面积是的面积的2倍,可得,
又为等缕三角形,可得,或,
当,即,可得,,,,
在中,,
在中,,
化为,即;
当,即,可得,,,
在中,,
在中,,化为,即.
故答案为:或.
15．答案：（1）见解析
（2）15.1
解析：（1）由正弦定理,
...
由余弦定理.
又,...
（2）由a,b,c成等差数列,①
的面积为,,即②
由（1）③
由①②③解得:,,
,故的周长为15.1
16．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）每天普及人数不少于240人的天数为3天,则X的所有可能取值为0,1,2,3..
,,
,
故X的分布列为
.
（2）设原来数据的样本中心点为,去掉第5天的数据后样本中心点为
,
.
故
,
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:取AD的中点O,,..
又平面平面ABCD,平面平面,平面ABCD.
又平面ABCD,.
,,
,,.
又,PO,平面,平面PAD..
(法二:,,
,,.
又平面平面ABCD,平面平面,平面ABCD
平面PAD..
（2）,
.
取PB的中点M,又为的中点,,又,
平面NCD即为平面MNDC,
为平面NCD与平面PBD的交线l
取AB的中点Q,连结OQ,由（1）可知,OA,OP,OQ两两垂直.如图建立空间直角坐标系,
则,,,,
设平面的法向量为,,
则,
取,则,,
设直线l与平面PAB夹角为,
则
故直线l与平面PAB夹角的正弦值
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题易得,
设,,则,,.
,
化简得:①
又在椭圆上,②
由①②得
又,.
故椭圆C的标准方程.
（2）设直线PA的平行线与椭圆相交于点E,F（E在上方）;直线PB的平行线与椭圆相交于点G,H(G在上方).
直线EF的方程为,直线GH的方程为.
又,
联立,解得
联立,解得
设直线EF的倾斜角为,直线GH的倾斜角为,
,
则,,,
四边形面积为
故该四边形的面积为定值
19．答案：（1）函数在区间内恰有两个极值点，证明见解析
（2）①证明见解析；②不存在，理由见解析
解析：（1），设，又，
当时，在上单调递减，
，在上无零点；
当时，在上单调递增，
，在上有唯一零点；
当时，在上单调递减，
，在上有唯一零点.
综上，函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，
故函数在区间内恰有两个极值点.
（2）①由（1）知在无极值点；在有极小值点，即为；
在有极大值点，即为，
同理可得，在有极小值点，在有极值点，
由得，，
，
，
由函数在单调递增得，
，
由在单调递减得，
.
②同理，
，
由在上单调递减得，
，且，
当n为偶数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，
即，结论成立；
当n为奇数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，
即，结论也成立，
综上，对一切成立，故不存在使得.
时间(天)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
每天普及的人数y
80
98
129
150
203
190
258
292
310
X
0
1
2
3
P