内蒙古赤峰市2025届高三下学期4·20模拟考试数学试卷（含答案）

这是一份内蒙古赤峰市2025届高三下学期4·20模拟考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z对应的向量OZ=(1,2)，则z−i=( )
A. 2 2B. 5C. 3D. 2
2.在等差数列an中，a2=1，则a5−3a3=( )
A. −8B. −6C. −4D. −2
3.已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)，fln2fln3=6，则a=( )
A. 2B. eC. 3D. e2
4.在(x+1)n的展开式中，x2的系数为15，则n的值为( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
5.如图，一个质量为2 kg的木块静止在与水平面成30∘的斜坡上，已知重力加速度g=10 m/s2，重力方向竖直向下，以水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系，那么重力G在斜面正方向(斜面向下为正方向)上的投影向量为( )
A. −5 3,−5B. −5 3,5C. 5 3,−5D. 5 3,5
6.已知函数f(x)满足：①f(x)在(0,+∞)上单调递增；②∀x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)f(y)；③f(x)是偶函数，且f(2)+f−12=18，则f(x)的表达式为( )
A. 2x2B. 4|x|C. ln|x|D. 4x+6
7.已知双曲线H:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，若直线x+y=0与H没有公共点，则H的离心率的取值范围为( )
A. 0, 2B. 1, 2C. 1, 2D. 2,+∞
8.已知函数y=sinωx与y=sinωx+π3(ω>0)的图象相邻三个交点构成的三角形为直角三角形，则此三角形面积为( )
A. 13B. 12C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组数据x1，x2，x3，⋯，x10满足xi−xi−1=3(2≤i≤10)，若去掉x1，x10后组成一组新数据，则新数据与原数据相比( )
A. 极差变小B. 平均数变大C. 方差变小D. 第25百分位数变小
10.将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为V，则下列说法正确的是( )
A. V(x)=4x3−4ax2+a2x (x∈0,a2)
B. 方盒容积的最大值为2a327
C. V(x)在区间a6,a2上单调递增
D. 当a=3时，V1120+V1220+V1320+⋯+V2820+V2920=19
11.如图，棱长为2的正方体ABCD−A′B′C′D′，O为底面A′B′C′D′的中心，M为侧面BCC′B′的中心，N是线段A′D上的动点，P为▵A′BD内(含边界)的动点，则下列说法正确的是( )
A. OM//平面A′BDB. PN⊥AC′
C. |OP|+PC′的最小值为 1143D. 三棱锥A′−ABD的外接球的体积为6π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过点P(−4,0)，Q(0,−2)的椭圆的标准方程为 ．
13.已知二次函数y=14(x−1)2+1的图象是抛物线，则其焦点坐标是 ．
14.已知数列an满足a1=1，an+1−an=an2，[x]表示不超过x的最大整数，则1a1+1+1a2+1+⋯+1a2025+1= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知A是锐角，且cs2A=−12．
(1)若mbc=b2+c2−a2，求实数m的值;
(2)若a= 3，求△ABC面积的最大值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=(x+1)ex．
(1)求f(x)的单调区间及最小值；
(2)令g(x)=f(x)−a，求g(x)的零点个数．
17.(本小题15分)
如图，四边形ABCD为菱形，EF//平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于AC，EF=AC=EC=2．
(1)求证：DE//平面ABF；
(2)若平面ABCD⊥平面ACEF，∠ACE=60°，且四棱锥E−ABCD的体积是2 3．
①求BD的长；
②求直线ED与平面BCE所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有1台玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的1台玩具车和2个不同的玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换．
(1)两人进行一次交换后，设小明手中玩具车的台数为X，求X的分布列及数学期望；
(2)两人进行n次交换后，记小明手中恰有1个玩具车的概率为pn．
①求p2；
②求pn．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，一个动点P到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1，设动点P的轨迹为曲线K．
(1)求曲线K的方程；
(2)若直线l过定点T(−2,1)，其斜率为k.当k分别为何值时，直线l与曲线K：只有一个公共点；有两个公共点；有三个公共点；
(3)过点F做两条互相垂直的弦AB、CD，分别交曲线K于A，B，C，D，令AB、CD的中点分别为M、N，过点F作FG⊥MN，垂足为G，求|OG|的最大值．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.A
5.C
6.B
7.C
8.D
9.AC
10.ABD
11.ABC
12.x216+y24=1
13.(1,2)
14.0
15.解：由A是锐角，且cs2A=−12，得2A=2π3，A=π3．
(1)mbc=b2+c2−a2可变形为b2+c2−a22bc=m2．
依据余弦定理，可知csA=b2+c2−a22bc=m2，即m2=12．
所以m=1．
(2)因为sinA=sinπ3= 32，
所以bc=b2+c2−a2≥2bc−a2，即bc≤a2(当且仅当b=c时，取等号)．
故S△ABC=bc2sinA≤a22⋅ 32=3 34．
即所求△ABC面积的最大值是3 34．

16.解：(1)由f(x)=(x+1)ex求导得：f′(x)=(x+2)ex，
当x< −2时，f′(x) −2时，f′(x)>0，
即f(x)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,+∞)上单调递增．
故f(x)的单调递增区间为(−2,+∞)，单调递减区间为(−∞,−2)；
当x=−2时，f(x)min=f(−2)=−1e2；
(2)由g(x)=f(x)−a=(x+1)ex−a=0可得a=(x+1)ex，
则g(x)的零点个数即函数f(x)=(x+1)ex与直线y=a的交点个数．
由(1)已得f(x)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,+∞)上单调递增，
且当x=−2时，f(x)min=f(−2)=−1e2，
又x→−∞时，f(x)→0−，当x→+∞时，f(x)→+∞，
作出函数f(x)=(x+1)ex的图象．
由图知，当a< −1e2时，直线y=a与函数f(x)=(x+1)ex的图象没有交点，此时函数g(x)无零点；
当−1e2