2025-2026学年高二数学上学期第一次月考01(人教A版）

这是一份2025-2026学年高二数学上学期第一次月考01(人教A版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
测试范围：人教 A 版 2019 选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何+直线。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
过 A(1, 3) ， B(2, 0) 两点的直线倾斜角为（ ）
π
3
3π
4
2π
3
5π
6
在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点 A1,1,1, B 2, 1, 0 ，若点 P 与点A 关于Oyz 平面对称，则 BP  （ ）
A． 3, 2,1
B． 1, 0,1
C． 1, 0, 1
D． 3, 2, 1
已知a =(1，1，0) , b =(0，1，1) , c =(1，0，1) , p = a - b, q = a +2b - c ，则 p  q  （ ）
A．-1B．1C．0D．-2
5
若两平行直线 x  my  2  0 与2x  4 y  n  0 n  0 之间的距离是，则m  n  （ ）
2
12
C．12D．14
在平行六面体 ABCD  A1B1C1D1 中，点 E 为棱 AA1 的中点，点 F 为棱CC1 上靠近C 的三等分点．若
EF  x AB  y AD  z AA1，x，y，z  R ，则 x  y  z 的值为（）
1
6
11
6
17
6
 1
6
过点 P 0, 1 作直线l ，若直线l 与连接 A2,1 ， B 2 3,1两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范
围为（）
 
A．  π , π 
 6 4 
B．  π , 3π 

 6 4 
C． 0, π    3π , π D．  π , π    3π , π 


6 
 4
 6 2  4
已知点 A1, 2 ，直线 l： λ 2 x  1λ y  2λ 7  0 λ R  ，则 A 到 l 的距离的最大值为（ ）
10
A．3B．
C． 3
D．5
2
三棱锥 A  BCD 中，底面是边长为 2 的正三角形， AC  BC, AD  BD ，直线 AC 与 BD 所成角为45 ，则三棱锥 A  BCD 外接球表面积为（ ）
6πB．
19πC． 8πD．
3
25π 3
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
已知 AB  (2,1, 4), AC  (4, 2, 0), AP  (1, 2,1), AQ  (0, 4, 4) ，则下列说法正确的是（ ）
AP 是平面 ABC 的一个法向量B． A, B,C,Q 四点共面
53
C． PQ ∥ BCD． BC 
已知直线l1 : px  y  2  0 ，直线l2 : x  py  2  0 ，下列说法正确的是（ ）
直线l1 在 y 轴上的截距等于直线l2 在 x 轴上的截距
若点 P 2, 2 在直线l1 上，则点 P 2, 2 也在直线l2 上
若l1//l2 ，则 p  1
若l1  l2 ，则 p  0
在棱长为 2 的正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，点 P 满足 BP  λBC  μBB1 ，且0  λ 1, 0  μ 1，则下列说 法正确的是（ ）
若λ u  1 ，则 AP / / 面 A1C1D
若λ u  1 ，则 AP  BC1
若 λ  μ  1 ，则 P 到平面 A BD 的距离为 2 3
213
若λ 1, 0  μ 1时，直线 DP 与平面 A BD 所成角为θ，则sinθ  3 , 6 
1 33 

第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
→→ →
若a  1, 0,1, b  0, 2, 2 ，则sin a, b  .
–––→
1 –––→
1 –––→–––→
已知t  R ， A 、 B 、C 三点不共线， O 为平面 ABC 外任意一点．若 AP  
x2   y  22
B 、C 、 P 四点共面，则t  ．
OA 
46
OB  tOC ，且A 、
 x  22  y2
已知点 P  x, y  在直线 x  y  0 上，则

的最小值为
→
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）
已知a  3, 4, x ， b  2, y, 2 .
若( a  2b )∥( a  b )，求 x，y 的值；
→→→→→
若a  b   a  b ，且 b  5 ，求 x 的值.
16．（15 分）
据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程．
求经过点(1, - 1) ，且与直线 x  y  3  0 平行的直线方程；
已知点 A2, 1 ， B 4, 3 ．求线段 AB 的垂直平分线的方程；
求经过点 P 2, 4 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
17．（15 分）
如图在平行六面体 ABCD  A B C D 中， AB  AD  AA 
2 ， A AB  A AD  BAD  60∘ ．
1 1 1 1
111
求证：直线 A1C  平面 BDD1B1 ；
求直线 A1C 和 BC1 夹角的余弦值．
18．（17 分）
已知V ABC 的三个顶点的坐标为 A1, 0 ， B 3, 2 ， C 2, 4 ．求：
点 D 的坐标，使四边形 ABCD 是平行四边形；
点 C 关于直线 AB 对称点的坐标；
求V ABC 的面积．
19．（17 分）
如图 1，在四边形 ABCD 中， AB  BC 
2 ， AC  AD  2 ， BAD  3π ，如图 2，把V ACD 沿 AC 折起，
4
使点 D 到达点 P 处，且平面 PAC  平面 ABC ， Q 为 PC 的中点.
求证： AC  BQ ；
求二面角 A  BQ  P 的余弦值；
判断线段 AP 上是否存在点M ，使得三棱锥M  ABQ 的体积为 1 ．若存在，求出 AM 的值；若不存在，
6AP
请说明理由.
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
参考答案
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
9
10
11
AD
BD
ACD
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
A
C
B
B
D
A
12． 3
2
13． 1
12
14．4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）
→
【详解】（1）∵ a  3, 4, x ， b  2, y, 2 ，
→→
∴ a  2b  7, 4  2 y, x  4 ， a  b  1, 4  y, x  2 .（2 分）
又( a  2b )∥( a  b )，
∴，（5 分）
7  4  2 y  x  4
14  yx  2
解得 x  3 ， y  8 .（7 分）
3
→→→→→→→→
（2）由a  b   a  b ，得a  b a  b   0 ，（9 分）
→ 2→2
∴ a  b
→→
 0 ，（10 分）
∴ a  b
 5 ，（11 分）
a
即 →2  25 ，∴ 32  42  x2  25 ，（12 分）
解得 x  0 .（13 分）
16．（15 分）
【详解】（1）设与直线 x  y  3  0 平行的直线方程为 x  y  c  0 ，（2 分）
过(1, - 1) ，则11 c  0 ，则c  0 ，（3 分）
所以直线的一般方程为 x  y  0 .（4 分）
（2）因为点 A2, 1 ， B 4, 3 ，中点为1,1 ，（5 分）
kAB
 3 1  2 ，（6 分） 4  23
则垂直平分线的斜率k  kAB  1 ，（7 分）
则k   3 ，（8 分）
2
直线方程为 y 1   3  x 1 ，（9 分）
2
所以直线的一般方程为3x  2 y  5  0 .（10 分）
（3）设直线在两坐标轴上的截距为a ，即直线过0, a, a, 0
当截距a  0 时，直线过0, 0 ， k  4  2 ，（11 分）
2
则 y  2x ，即2x  y  0 ；（12 分）
当截距a  0 时，直线斜率k  a  1，（13 分）
a
则 y  4   x  2 ，即 x  y  6  0 .（14 分）
所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x  y  0 和 x  y  6  0 .（15 分）
17．（15 分）
AB  a
【详解】（1）设  ，

，
AD  b

AA1  c ，
→ → →
  
 
则a, b, c 为空间的一个基底，且 AC  a b c ， BD  b a ， BB
 c ，（2 分）
11
因为 AB  AD  AA1 
2 ， A AB  A AD  BAD  60∘ ，
11
则
22
a  b
2
 c  2
，（3 分）
   
a b  b c  c a  1
，（4 分）
–––→ –––→
→→→→→
–––→ –––→
→→→→
可得 A1C  BD  a  b  c b  a   0 ， A1C  BB1  a  b  c  c  0 ，（6 分）
即 A1C  BD, A1C  BB1 ，且 BD  BB1  B ， BD, BB1  平面 BDD1B1 ，
所以 A1C  平面 BDD1B1 .（7 分）
 
（2）由（1）得 BC1  b  c ，（8 分）
–––→ ––––→
→→→
→→→ →→ →→2
→ →→
→→2
则 A1C  BC1  a  b  c ·b  c   a  b  a  c  b
 b  c  b  c  c
 2 ，（9 分）
    
–––→ 2  →→→ 2→2→2→2
→  →  →  → 
→  →  4 ，（11 分）
A1Ca bcabc
–––→
2a b2a c
2b c
6
即 A1C  2 ，（12 分）
––––→ 2
→→ 2→2→2→ →
––––→
则 BC1

 b  c   b

 c  2b  c  6 ，即 BC1 
–––→ ––––→
A1C  BC1
，（13 分）
6
2
2  6
设 AC 与 BC 的夹角为θ，则csθ –––→ ––––→ 
，（14 分）
11A1C  BC16
所以直线 A1C 和 BC1 夹角的余弦值为 6 .（15 分）
6
18．（17 分）
【详解】（1）设 D  x, y  ，由 ABCD 为平行四边形知 AB  DC ，（2 分）
即2, 2  2  x, 4  y  ，则2  x  2 ，解得x  0 ，即 D 0, 2 .（4 分）


4  y  2 y  2
（2）直线 AB 的方程为 y  0  x 1 ，即 x  y 1  0 ，（6 分）
0  21 3
点C 2, 4 关于直线 AB 对称点的坐标为C  x0 , y0  ，
 4  y0  1
 2  x
x0  5
所以0
，解得： 
，（10 分）
 x0  2  y0  4 1  0
 y0  1

22
故 C 关于直线 AB 对称点的坐标为5,1 .（11 分）
1 32  0  22
（3） AB 
 2
，（12 分）
2
直线 AB 的方程 x  y 1  0 ，（13 分）
2
2  4 1
点C 2, 4 到直线 AB： x  y 1  0 的距离为d  3 2 ，（15 分）
2
∴ S 1  2 2  3 2  3 .（17 分）
△ ABC22
19．（17 分）
【详解】（1）在图 1 中，由 AB  BC 
2 ， AC  2 ，得 AB2  BC 2  AC 2 ，则 AB  BC ，（1 分）
所以BAC  π ，由BAD  3π ，得CAD  3π ，即 DA  AC ，（2 分）
444
在图 2 中， PA  AC ，取 AC 的中点O ，连接QO, BO ，由Q 为 PC 的中点，
得QO / / PA ，则QO  AC ，由 AB  BC 
2 ，得 BO  AC ，（3 分）
而 BO ∩ QO  O ， BO, QO  平面 BOQ ，则 AC  平面 BOQ ，又 BQ  平面 BOQ ，所以 AC  BQ .（4 分）
由已知及（1）得平面 PAC  平面 ABC ，平面 PAC ∩ 平面 ABC  AC ， QO  AC ，于是QO  平面 ABC ，直线OB, OA, OQ 两两垂直，
以O 为坐标原点，直线OB, OA, OQ 分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,1, 0), B(1, 0, 0), Q(0, 0,1), P(0,1, 2) ，
AB  (1, 1, 0), AQ  (0, 1,1), QB  (1, 0, 1), QP  (0,1,1) ，（5 分）
设平面 ABQ 的法向量为n (x, y, z)，
→ –––→
n·AB  x  y  0
则→ –––→，令
n·AQ   y  z  0
y  1，则
x  1, z  1 ，
所以平面 ABQ 的一个法向量为n  (1,1,1) ，（7 分）
设平面 PBQ 的法向量为m  (m, n, s) ，
 → –––→
m  QB  m  s  0
n  1, s  1
则 → –––→
，令m  1，则，
m  QP  n  s  0
所以平面 PBQ 的法向量为m  (1, 1,1) ，（9 分）
111  111
→ →m  n1111
则cs m, n  →→
m  n
 3 ，（10 分）
由图知二面角 A  BQ  P 为锐二面角，所以二面角 A  BQ  P 的余弦值为 1 .（11 分）
3
1
假设线段 AP 上是否存在点M ，使得三棱锥的体积为 6 ，
2
在V ABQ 中， AB  AQ  BQ ，所以S 1  2  2  3  3 ，（12 分）
V ABQ222
因为三棱锥M  ABQ 的体积为 1 ，设点M 到平面 ABQ 的距离为d ，
6
所以 1  3  d  1 ，所以d 3 ，所以点M 到平面 ABQ 的距离为 3 ，（13 分）
32633
AM  λAP
令 AM  λ0  λ 1 ，由（2）得， ––––→–––→  λ(0, 0, 2) ，
AP
又平面 ABQ 的法向量为n  (1,1,1) ，（14 分）
→ ––––→
则点M 到平面 ABQ 的距离为d 
n  AM
→
n
 2λ
3 ，解得λ 1 ，（16 分）
32
3
线段 AP 上是否存在点M ，使得三棱锥M  ABQ 的体积为 1 ，且 AM  1 .（17 分）
6AP2