分式方程——初中数学中考一轮分层训练(学生版)练习含答案

这是一份分式方程——初中数学中考一轮分层训练(学生版)练习含答案试卷主要包含了基础题，能力题，拓展题等内容，欢迎下载使用。
一、基础题
1．（2025·高要模拟）方程2x−1=3x的解是（ ）
A．x=−3B．x=3C．x=−6D．x=6
2．（2025八上·廉江期末）某校用500元钱到商场去购买“84“消毒液，经过还价，每瓶便宜1.5元，结果比用原价多买了10瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（ ）
A．500x﹣500x−1.5＝10B．500x−1.5﹣500x＝10
C．500x﹣500x−10＝1.5D．500x−10﹣500x＝1.5
3．（2025八下·深圳期末）已知关于x的方程ax−2−1=0的解是非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≤−2B．a≤−2且a≠−4
C．a≥−2D．a≥−2且a≠0
4．（2025八下·南山期中）如果关于x的方程4xx−2−1=k2−x有增根，则k的值为（ ）
A．-10B．-8C．-6D．-4
5．（2024八上·湛江期末）以下是解分式方程1−x2−x−3=1x−2，去分母后的结果，其中正确的是（ ）
A．1−x−3=1B．x−1−3x+6=1
C．1−x−3x+6=1D．1−x−3x+6=−1
6．（2024九上·揭东开学考）若关于x的方程2+xx−3=1−m3−x无实数解，则m的值为 .
7．（2023·连平模拟）解分式方程22x−3+2x2x+3=1．
8．（2019七上·利辛月考）解方程： 1−2x3=3x+17−3
9．（2025·光明模拟）王老师准备购买 A、B 两种型号的圆珠笔. 已知 A 型圆珠笔单价是 B 型圆珠笔单价的 1.5 倍. 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支.
（1） 求 A、B 两种型号的圆珠笔单价各是多少；
（2） 王老师想购买 A、B 两种型号的圆珠笔共计 15 支，要求 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元. 求 A 型圆珠笔最多可购买多少支？
二、能力题
10．（2023·广州）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/ℎ，动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同.设动车提速后的平均速度为xkm/ℎ，则下列方程正确的是（ ）
A．360x=480x+60B．360x−60=480x
C．360x=480x−60D．360x+60=480x
11．（2020·齐齐哈尔）若关于x的分式方程 3xx−2 ＝ m2−x +5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣10B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6D．m＞﹣10且m≠﹣6
12．（2018·齐齐哈尔）若关于x的方程 1x−4 + mx+4 = m+3x2−16 无解，则m的值为 ．
13．（2024八下·南山期末）若关于x 的一元一次不等式组x−23＜x+1x+m≤3至少有2个整数解，且关于y 的分式方程y−my−2+1=−12−y的解是非负整数，则满足条件的整数m 的和是
14．（2024九上·深圳开学考）若关于x的方程2xx−2−1=mx−2解为正数，则m的取值范围是 ．
15．（2024九上·深圳开学考）若分式方程4(x+1)(x−1)−ax−1=1有增根，则它的增根是 ．
16．解方程：x2x−3+53x−2=4．
17．（2011·深圳）解分式方程： 2xx+1+3x−1=2 ．
18．（2025·广东）在解分式方程 1−xx−2=12−x−2时，小李的解法如下：
第一步：1−xx−2 ⋅x−2=− 1x−2 ⋅x−2−2，
第二步： 1-x=-1-2，
第三步： - x=-1-2-1，
第四步： x=4.
第五步： 检验： 当x=4时， x-2≠0.
第六步：∴原分式方程的解为x=4，
小李的解法中哪一步是去分母?去分母的依据是什么?判断小李的解答过程是否正确，若不正确，请写出你的解答过程.
19．（2025·广州）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
（1）若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．求用智能机器人采换的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
（2）若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
20．（2025九下·乳源月考）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
（1）两种棋的单价分别是多少？
（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
三、拓展题
21．（2025八下·坪山期末）导航显示从坪山文化聚落驾车到罗湖口岸，通常有如下两条路线：
22．（2025八下·禅城期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：xx2+1=14，求代数式x2+1x2的值．
解：∵xx2+1=14，∴x2+1x=4即x2x+1x=4
∴x+1x=4，∴x2+1x2=x+1x2−2=16−2=14．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x=3y=4z，且xyz≠0，求xy+z的值．
解：令2x=3y=4z=kk≠0则x=k2，y=k3，z=k4，∴xy+z=12k13k+14k=12712=67
根据材料回答问题：
（1）已知xx2−x+1=15，则x+1x=______．
（2）已知a5=b4=c3abc≠0，求3b+4c2a的值．
（3）解关于x，y的方程组xy2x+3y=14xy4x+5y=16．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：2x=3x−1，
去括号得：2x=3x−3，
移项并合并同类项得：−x=−3，
系数化为1得：x=3，
检验，当x=3时，xx−1≠0，
所以原分式方程的解为x=3，
故答案为：B．
【分析】
根据解分式方程的步骤：先去分母得2x=3x−1，然后去括号，移项并合并计算可得x=3，最后检验根，即可解答．
2．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原价每瓶x元， 现价每瓶为x−1.5元，
由题意可得：原价可买500x瓶，经过还价，可买500x−1.5瓶．
方程可表示为：500x−1.5−500x=10．
故选：B.
【分析】 设原价每瓶x元， 现价每瓶为x−1.5元，根据“结果比用原价多买了10瓶”，列出方程即可．
3．【答案】D
【知识点】解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：ax−2−1=0
去分母可得：a-x+2=0
整理得：x=a+2
∵方程的解为非负数
∴a+2≥0，且a≠0
解得：a≥−2且a≠0
故答案为：D
【分析】去分母转换为整式方程，再解方程可得x=a+2，再根据方程的解为非负数，建立不等式，解不等式即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】
解： 方程两边同乘(x−2)，得：4x − (x−2)= -k，
化简：4x-x+2=-k，
解得：x=−k−23，
∵方程4xx−2−1=k2−x有增根，
∴x=2，
∴−k−23=2，
解得：k=-8，
故答案为：B.
【分析】 增根的产生是由于分式方程化为整式方程后，解使得原分母为零 ；因此先去分母解分式方程得x=−k−23，再把增根x=-2代入即可求得k的值；解答即可.
5．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边都乘（x-2），得：x−1−3x−2=1,
去括号，得x−1−3x+6=1.
故答案为：B.
【分析】首先方程两边都乘最简公分母，可得x−1−3x−2=1,再根据去括号法则去掉括号，即可得出答案。
6．【答案】6
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程2+xx−3=1−m3−x无实数解 ，
∴x−3=0即x=3.
将原方程变形得：
2+xx−3=m−1x−3，
方程两边两边都乘以 (x−3) 得：
2+x=m−1
解得：
x=m−3
∴x=m−3=3
∴m=6
故答案为：6.
【分析】根据关于x的方程2+xx−3=1−m3−x无实数解得x=3，解方程2+xx−3=1−m3−x得x=m−3，最后得x=m−3=3，解出m便可.
7．【答案】解：22x−3+2x2x+3=1
去分母得：22x+3+2x2x−3=2x−32x+3
去括号得：4x+6+4x2−6x=4x2−9
移项、合并得：−2x=−15
解得：x=152
经检验x=152是分式方程的解．
∴此分式方程的解为x=152.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】把22x−3+2x2x+3=1两边同乘（2x−3）（2x+3）去分母、去括号、移项、合并得：−2x=−15解得：x=152，在检验后即可得解.
8．【答案】解：去分母得：7(1-2x)=3(3x+1)-3×21，
去括号得：7-14x=9x+3-63，
解得x= 6723
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据等式的基本性质，通过去分母，移项，合并同类项，等号两边同除以未知数的系数，即可求解，特别要注意，要检验求出的值，是否为增根.
9．【答案】（1）设 B 型圆珠笔单价为 x 元/支，则 A 型圆珠笔单价为 1.5x 元/支
根据题意可得：60x−601.5x=5
解得：x=4
经检验：x=4是原方程的解.
（2）解：设 A 型圆珠笔购买 a 支，则 B 型圆珠笔可购买(15-a) 支
根据题意可得：6a+4(15−a)≤80
解得：a≤10
答：A 型圆珠笔最多可购买10 支.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设 B 型圆珠笔单价为 x 元/支，则 A 型圆珠笔单价为 1.5x 元/支，根据 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支。可得出方程：60x−601.5x=5，解方程，并进行检验，即可得出答案；
（2）设 A 型圆珠笔购买 a 支，则 B 型圆珠笔可购买(15-a) 支，然后根据 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元 ，即可得出：6a+4(15−a)≤80，解不等式可得出：a≤10，取最大整数解即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设动车提速后的平均速度为xkm/h，则动车提速前的平均速度为（x-60）kn/h，
由题意得 360x−60=480x.
故答案为：B.
【分析】设动车提速后的平均速度为xkm/h，则动车提速前的平均速度为（x-60）kn/h，根据路程除以速度等于时间及动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同列出方程即可.
11．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：去分母得 3x=−m+5(x−2) ，
解得 x=m+102 ，
由方程的解为正数，得到 m+10>0 ，且 x≠2 ， m+10≠4 ，
则m的范围为 m>−10 且 m≠−6 ，
故答案为：D．
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
12．【答案】﹣1或5或﹣ 13
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：x+4+m（x﹣4）=m+3，
可得：（m+1）x=5m﹣1，
当m+1=0时，一元一次方程无解，
此时m=﹣1，
当m+1≠0时，
则x= 5m−1m+1 =±4，
解得：m=5或﹣ 13 ，
综上所述：m=﹣1或5或﹣ 13 ，
故答案为：﹣1或5或﹣ 13 ．
【分析】方程两边都乘以（x+4)(x-4)约去分母，将分式方程转化为整式方程，整理得（m+1）x=5m﹣1，当m+1=0时，一元一次方程无解，此时m=﹣1；当m+1≠0时，则x=5m−1m+1=±4，解得m=5或-−13 ，综上所述得出答案。
13．【答案】-1
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：x−23−2且m≠4
【知识点】分式方程的解及检验；已知分式方程的解求参数；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：方程2xx−2−1=mx−2两边同乘x -2得2x-(x - 2)=m，
去括号得2x - x + 2 = m
合并同类项得x + 2 = m
解得x = m - 2.
因为方程的解为正数，所以x>0，即m - 2>0，解得m>2.
又因为分母不能为0，所以x−2≠0即，解得m≠4
所以m的取值范围是m>−2且m≠4
故填：m>−2且m≠4.
【分析】本题围绕分式方程展开，着重考查分式方程的求解以及根据解的条件确定参数取值范围.首先通过去分母、去括号、合并同类项等步骤解分式方程，得到方程的解x = m - 2.然后根据方程的解为正数这一条件，得到m - 2>0，从而确定m的一个取值范围.同时，由于分式方程分母不能为零，所以x−2≠0，即m−2−2≠0，进一步确定m的取值范围.本题充分体现了分式方程解的条件在确定参数取值范围中的应用，是对学生代数运算能力和逻辑推理能力的全面考查.
15．【答案】x=1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：将分式方程去分母，得4-a（x+1）=（x+1）（x-1），
∵分式方程4(x+1)(x−1)−ax−1=1有增根，
∴（x+1）（x-1）=0，
∴x+1=0或x-1=0，
∴x=-1或x=1，
当x=-1时，有4=0，舍去，
当x=1时，有4-2a=0，即a=2，
∴它的增根是x=1，
故答案为：x=1.
【分析】先将分式方程化为整式方程，根据分式方程有增根的条件得（x+1）（x-1）=0，从而求出x=-1或x=1，将x的值分别代入整式方程中，发现当x=-1时，有4=0不成立，故x=-1不是增根，即可求解.
16．【答案】解：去分母得：3x2﹣2x+10x﹣15=4（2x﹣3）（3x﹣2），
整理得：3x2﹣2x+10x﹣15=24x2﹣52x+24，即7x2﹣20x+13=0，
分解因式得：（x﹣1）（7x﹣13）=0，
解得：x1=1，x2=137，
经检验x1=1与x2=137都为分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
17．【答案】解：去分母，得2x（x﹣1）+3（x+1）=2（x+1）（x﹣1），
去括号，得2x2﹣2x+3x+3=2x2﹣2，
移项，合并，解得x=﹣5，
检验：当x=﹣5时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴原方程的解为x=﹣5
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】公分母为（x+1）（x﹣1），去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
18．【答案】解：第一步出错
等式的性质：等式的两边同时乘(或除以)同一个不为0的数(或式子)，等式仍然成立.
过程不正确，正确解析如下：
1−xx−2⋅x−2=−12−x⋅x−2−2x−2
1-x=-1-2x+4
x=2
检验： 当x=2时， x-2=0
∴原分式方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】小李解法中的第一步是去分母操作。去分母是将分式方程转化为整式方程的关键步骤，依据是等式的基本性质：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数（或式子），等式仍然成立 。在分式方程中，为了消去分母，需要在方程两边同时乘以各分母的最简公分母。小李没有对方程最右边的常数项乘以最简公分母x-2。
19．【答案】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．
∴用智能机器人采换的成本是(1−30%)a=0.7a（元）；
（2）解：设一个工人每天采摘该种水果x千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天5x千克；
∴40005x=40004x−1，
解得：x=200，
经检验x=200是原方程的解且符合题意；
∴5x=1000（千克），
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）设一个工人每天采摘该种水果x千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天5x千克，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是x+8元，根据题意得：
1000x=1200x+8
解得：x=40，
经检验x=40是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x+8=48．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是48元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋30−m副，根据题意得：
m≤330−m，
解得：m≤2212，
w=40m+4830−m=−8m+1440，
∵−8