陕西省西安市重点高中2024-2025学年高一下学期5月期中考试 数学（含解析）

这是一份陕西省西安市重点高中2024-2025学年高一下学期5月期中考试 数学（含解析），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：由已知，，
则，
故选：C.
2. 若复数为纯虚数，则实数的值为
A. B. C. D. 或
【答案】C
解析：解：因为选C
3. 已知向量，若，则实数的值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】A
解析：向量，则，
由，得，解得，
所以实数的值为1.
故选：A
4. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：，
故选：D.
5. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：由已知，
则，
故选：B.
6. 若已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：因为，
所以，
又因为，则，则.
故选：A.
7. 若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：令，因为，
所以，
得，
所以与的夹角为.
故选：B.
8. 在中，若，且，那么一定是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 非等边等腰三角形D. 等边三角形
【答案】D
解析：由已知在中，，
则，
又在中，，
则，
所以，即，
又，
所以，
由中，，
即，
所以，
由，
所以，即，
所以，即为等边三角形，
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知虚数满足，则（ ）
A. 的实部为B. 的虚部为
C. D. 在复平面内对应的点在第三象限
【答案】ACD
解析：由，得，
所以的实部为的虚部为，
在复平面内对应的点在第三象限，
故选：ACD
10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 的图象关于直线对称
C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
【答案】ABD
解析：由题图可得，，故，所以，
又，即，
所以，，又，所以，所以．
对于A：当时，，故A正确；
对于B：当时，为最小值，
故的图象关于直线对称，故B正确；
对于C：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数：
的图象，故C错误；
对于D：当时，，
则当，即时，单调递减；
当，即时，单调递增，
因为，，，
所以方程在上有两个不相等的实数根时，
的取值范围是，故D正确．
故选：ABD
11. 已知且，点为线段上的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A
B. 若为线段中点，则
C.
D. 的取值范围为
【答案】AC
解析：由，则，
即，所以，
又，所以，且，即，A选项正确；
若为中点，则，，
则，B选项错误；
，C选项正确；
设，，则，
所以，
所以，D选项错误；
故选：AC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数满足，则______．
【答案】
解析：由，
得，
故答案为：.
13. 设，若函数的最小正周期为，则______．
【答案】
详解】由，
则函数的最小正周期，即，
又，所以，
故答案为：.
14. 已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东_______.
【答案】
解析：设海警船的航行方向是北偏东，
由题知，，，
在中，由正弦定理得到，得到，
又，所以，得到，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，且与垂直．
（1）求；
（2）若与互相垂直，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
（1）
由已知向量，，且与垂直，
则，即，
所以，
则，
所以；
（2）
由（1）可得，
所以，
解得.
16. 如图，在中，，为线段的中点，且，，为实数，记，．
（1）请用和表示；
（2）求．
【答案】（1）
（2）2
（1）
由已知，
即，
所以；
（2）
为线段的中点，
，
又，,
,
又，
所以，
即.
17. 设，图象的一条对称轴是直线
（1）求，并求函数的对称中心；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的值域．
【答案】（1），，
（2）
（3）
（1）
由函数，图象的一条对称轴是直线，
则，，
所以，，
又，
则，
所以，
令，，解得，，
即函数的对称中心为；
（2）
令，，
解得，，
即函数单调递增区间为，；
（3）
由，则，
则，
即函数在上的值域为.
18. 在中，角，，的对应边分别为，，，．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
（1）
在中，，
由正弦定理可得，
又，
所以，
即，又，，
所以，即，
又，则；
（2）
在中，由余弦定理可知，
即，化简可得，
解得或（舍），
则的面积.
19. 已知，，函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若，且，求的值；
（3）在锐角中，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
（1）
由，，
则函数；
（2）
由（1）得，
则，
即，
又，所以，
所以，
则；
（3）
由（1），即，
又，，
所以，即，
又在中，由正弦定理可知，
即，，
则三角形的周长为，
又，即，
所以，
则，
即，
即周长的取值范围为.