2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高一下学期5月月考数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高一下学期5月月考数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知i为虚数单位，复数z=3-i31+ai为纯虚数，则z=( )
A. 0B. -13C. 3D. 10
2.已知两个非零向量a=(1,x)，b=(x2,4x)，则“|x|=2”是“a/​/b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.己知α,β为两个不同平面，m，n为不同的直线，下列命题不正确的是
( )
A. 若m//n,m⊥α，则n⊥αB. 若m⊥α,m⊥β，则α//β
C. 若m⊥α,α⋂β=n，则m/​/nD. 若m⊥α,m⊂β，则α⊥β
4.在▵ABC中cs A=725,sin B=45，则csC=( )
A. -35B. 35C. 117125或35D. -117125或-35
5.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同．从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是( )
A. 2个球颜色相同的概率为12B. 2个球不都是红球的概率为13
C. 至少有1个红球的概率为23D. 2个球中恰有1个红球的概率为12
6.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin2A+2sin2B=2sin2(A+B)+3sinAsinB，则csC=( )
A. -23B. 23C. -34D. 34
7.为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10 , 8 , a , 8 , 7 , 9 , 6 , 8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为
( )
A. 8B. 9C. 8.5D. 9.5
8.在▵ABC中，2BD=BC，3BE=BA，且CE与AD交于点P，若CP=xCA+yCBx,y∈R，则x+y=( )
A. 25B. 35C. 45D. 75
9.如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB//α，设α与SM交于点N，则SNSM的值为
( )
A. 43B. 32C. 23D. 34
10.在▵ABC中，点M是边AC上的点，满足CM=2MA，BM=1，sin∠ABC2= 64，则2AB+BC的最大值为
( )
A. 2 10B. 2 105C. 3 105D. 6 105
11.已知数据x1，x2，…，x60的平均数为a，方差为b，中位数为c，极差为d.由这组数据得到新数据y1，y2，…，y60，其中yi=2xi+1(i=1,2,…,60)，则( )
A. 新数据的平均数是2a+1B. 新数据的方差是4b
C. 新数据的中位数是2cD. 新数据的极差是2d
12.抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“至少一枚点数为1”，B=“两枚骰子点数一奇一偶”，C=“两枚骰子点数之和为8”，D=“两枚骰子点数之和为偶数”，判断下列结论，正确的有
( )
A. A⊆BB. B，D为对立事件
C. A，C为互斥事件D. A，D相互独立
13.关于函数f(x)=1-cs2x+π2-2sin2x的描述正确的是
( )
A. 其图象可由y= 2sin2x的图象向左平移π8个单位长度得到
B. f(x)在0,π2上单调递增
C. f(x)在[0,π]上有3个零点
D. f(x)在-π2,0上的最小值为- 2
14.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列结论中正确的是
( )
A. 若E是直线AC上的动点，则D1E//平面A1BC1
B. 若E是直线BD1上的动点，F是直线BD上的动点，则EF⊥AC
C. 若E是▵ABC内(包括边界)的动点，则直线D1E与平面ABC所成角的正切值的取值范围是 22,1
D. 若E是平面BA1C1内的动点，则三棱锥D1-AEC的体积为定值16
二、填空题（本大题共4小题，共20分。）
15.求函数f(x)= 1-2sin x+ln (cs x- 22)的定义域为 ．
16.已知向量a=(1,2)，b=(-2,4)，则向量a在向量b上的投影向量为 (用坐标表示)．
17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PD=3，∠APD=∠BAD=π3，则三棱锥P-AOD的外接球的体积为 ．
18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4 6cs A=absin B+acsin C.若△ABC的面积S= 62，则边a的最小值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共60分。）
19.2022年起，某省将实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分.具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分.A等级排名占比15%，赋分分数区间是86-100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71-85;C等级排名占比35%，赋分分数区间是56-70;D等级排名占比13%，赋分分数区间是41-55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40.现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其频率分布直方图如图所示：
(1)求图中a的值；
(2)求抽取的这100名学生的原始成绩的众数、平均数和中位数；
(3)用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上(含B等级)？(结果保留整数)
20.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27、9、18，现用分层随机抽样的方法从三个协会中抽取6名运动员参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
(2)现从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛．
①列出所有可能的结果；
②求选到的两名运动员来自同一协会的概率．
21.在三棱锥P-ABC中，AC=BC，PA=PB，D、E分别是棱BC、PB的中点．
(1)证明：AB⊥PC；
(2)线段AC上是否存在点F，使得AE//平面PDF?若存在，指出点F的位置；若不存在，请说明理由．
22.在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c2+ac=b2．
(1)证明：B=2C；
(2)求a+bc的取值范围．
23.如图①，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=CD= 2，∠BAD=60∘.将△BCD沿着BD折叠，使得点C到达点C'的位置，且二面角A-BD-C'为直二面角，如图②.已知P,G,F分别是AC',AD,AB的中点，E是棱AB上的点，且C'E与平面ABD所成角的正切值为2 33．
(1)证明：平面PGF//平面C'DB；
(2)求四棱锥P-GFED的体积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数的模，考查复数的运算，属于基础题．
利用复数的乘法法则和纯虚数、模长的定义求解即可．
【解答】
解：由题意可得，因为复数 z=(3-i3)(1+ai)=(3+i)(1+ai)=3-a+(3a+1)i ，
所以3-a=0，且3a+1≠0，
解得a=3 ，即z=10i ，
所以z= 02+102=10 ，
故选：D．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量平行关系的坐标表示，为基础题．
【解答】
解：由a/​/b得x3=4x，即x=±2或x=0，因为b为非零向量，所以x=±2，即|x|=2，
故“|x|=2”是“a/​/b”的充要条件．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间中线线、线面及面面的位置关系，属于基础题．
根据空间中的线线、线面及面面平行与垂直的判定与性质逐一判断即可．
【解答】
解： 对于A，若m/​/n，m⊥α,则n⊥α，所以A正确;
对于B，因为垂直于同一直线的两平面平行，
所以若m⊥α,m⊥β,则α/​/β，所以B正确;
对于C，若m⊥α,α∩β=n,则m⊥n，所以C错误；
对于D，若m⊥α,m⊂β,由面面垂直的判定得α⊥β，所以D正确．
故选C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三角函数中两角和与差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于一般题．
利用平方关系得到 sinA=2425,csB=±35B∈0,π ，再根据A+B+C=π讨论求解．
【解答】
解：因为 cs A=725, A∈(0,π)，所以sinA>0， sin A=2425 ，
因为sin B=45，B∈(0,π)，所以cs B=±35，
当 csB=-35 时，
因为 - 32<-35<-12 ，且 B∈π2,π ，
所以 2π3又因为 sinA=2425 ，且 32<2425<1 ，
所以 π3所以A+B>π，所以三角形不存在，舍去．
当csB=35 时，
csC=-csA+B =-csAcsB-sinAsinB =-725×35-2425×45=35 ．
故选：B．
5.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力，属于基础题．
利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式逐一求解即可．
【解答】
解：甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取1个球，
对于A，2个球颜色相同的概率为P=812×612+412×612=12，故A正确；
对于B，2个球不都是红球的概率为P=1-412×612=56，故B错误；
对于C，至少有1个红球的概率为P=1-812×612=23，故C正确；
对于D，2个球中恰有1个红球的概率为P=812×612+412×612=12，故D正确．
故本题选ACD．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查正弦定理和余弦定理，属于基础题．
【解答】
解：由题意得2sin2A+2sin2B=2sin2(A+B)+3sinAsinB=2sin2C+3sinAsinB，
所以2a2+2b2=2c2+3ab，得csC=a2+b2-c22ab=34．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平均数，百分位数问题，属于基础题．
由已知8组投篮得分的平均分，可算得a=8，将这组数据从小到大排列，计算8×75％=6，进而分析即可得结果．
【解答】
解：∵学生甲8组投篮得分10 , 8 , a , 8 , 7 , 9 , 6 , 8的平均分为8分，
∴10+8+a+8+7+9+6+8=8×8，
∴a=8，
∴将这组数据从小到大排列为6，7，8，8，8，8，9，10，
∵8×75％=6，6为整数，
∴这组数据的75百分位数为8+92=8.5．
故答案选：C．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平面向量基本定理的应用，属中档题．
根据平面向量共线定理得到 AP=λAD ， CP=μCE ，利用 CA 、 CB 分别表示出 CP ，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得 λ 、 μ ，再代入计算可得．
【解答】
解：依题意 A 、 P 、 D 三点共线，故 AP=λAD ，
所以 CP=CA+AP=CA+λAD=CA+λCD-CA
=CA+λ12CB-CA=λ2CB+1-λCA ，
C 、 P 、 E 三点共线，故 CP=μCE ，
则 CP=μCA+AE=μCA+23AB=μCA+23μAB
=μCA+23μCB-CA=13μCA+23μCB ，
所以 13μ=1-λ23μ=λ2 ，解得 λ=45μ=35 ，
所以 CP=15CA+25CB ，又 CP=xCA+yCB ，所以 x=15y=25 ，所以 x+y=35 ．
故选：B．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查线面平行的性质和弧与圆心角之间的关系，属于中档题．
连接MB 交AC于点D ，连接ND,NA,NC ，根据线面平行得性质证明SB//DN，再根据 MC//AB 可得DMDB=MCAB ，进而可得出答案．
【解答】
解：连接 MB 交 AC 于点 D ，连接 ND,NA,NC ，则平面NAC 即为平面α ，

因为 SB//α ，平面 SMB∩α=DN ， SB⊂平面SMB ，所以SB//DN，
因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，
所以∠ABM=∠BMC=∠MBC=∠BAC=30∘ ， MC=BC=12AB ，
所以MC//AB 且MC=12AB ，所以DMDB=MCAB=12 ，
又SB//DN ，所以MNSN=DMDB=12 ，所以SNSM=23 ．
故选：C．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量运算和利用基本不等式求最值，属中档题．
利用向量的线性运算及数量积运算可得2BA+BC2=9+3BA⋅BC，再利用基本不等式进行求解即可．
【解答】
解：∵CM=2MA，∴BM=23BA+13BC，
又cs∠ABC=1-2sin2∠ABC2=1-34=14，
因为BM2=23BA+13BC2，BM=1，
所以49BA2+19BC2+2×23×13×BA⋅BC=1，
即49BA2+19BC2+49BA⋅BC⋅cs∠ABC=1，
则4BA2+BC2+BA⋅BC=9，
故2BA+BC2=9+3BA⋅BC，
根据基本不等式可得2BA+BC2≤9+322BA+BC22，
解得：2BA+BC≤6 105，
当且仅当2BA=BC，即BA=3 1010，BC=3 105时取等号，
故2AB+BC的最大值为6 105．
故选：D．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查了数据的数字特征，是基础题．
根据平均数、方差、中位数、极差的定义求解．
【解答】
解：对于选项A：因为a=x1+x2+…+x6060，所以新数据的平均数为y1+y2+…+y6060=2(x1+x2+…+x60)+6060=2a+1，故选项A正确；
对于选项B：因为b=(x1-a)2+(x2-a)2+…+(x60-a)260，所以新数据的方差为[y1-(2a+1)]2+[y2-(2a+1)]2+…+[y60-(2a+1)]260=[2(x1-a)]2+[2(x2-a)]2+…+[2(x60-a)]260=4b，故选项B正确；
对于选项C：因为数据x1，x2，…，x60的中位数为c，所以新数据的中位数是2c+1，故选项C错误；
对于选项D：设数据x1，x2，…，x60中xn最大，xm最小(其中1≤n≤60，1≤m≤60，n∈N*，m∈N*)，则xn-xm=d，所以新数据的极差是yn-ym=2xn+1-(2xm+1)=2d，故选项D正确．
故选：ABD．
12.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查互斥事件与对立事件及相互独立事件的判断，涉及古典概型的概率计算．
根据题意，写出各事件包含的基本事件，再利用对立事件，互斥事件，相互独立事件的定义，逐项分析即可判断．
【解答】
解：根据题意，事件A包含的基本事件有
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(6,1)，(5,1)，(4,1)，(3,1)，(2,1)；
事件B包含的基本事件有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)；
事件C包含的基本事件有(2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(4,4)；
事件D包含的基本事件有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)．
对于选项A，由于事件A中的元素(1,1)，(1,3)，(1,5)，(5,1)，(3,1)均不在事件B中，故选项A错误;
对于选项B，事件B与事件D互斥，且并集为必然事件，故B，D为对立事件，故选项B正确;
对于选项C，显然事件A与事件C不可能同时发生，故 A，C为互斥事件，故选项 C正确;
对于选项D，由题知P(A)= 1136，P(D)= 12，
事件A∩D包含的基本事件有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(5,1)，(3,1)，P(A∩D)= 536，
显然P(A∩D) ≠P(A)P(D)，故选项D错误．
故选BC．
13.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了正弦型函数的图像变换、单调性、零点、最值问题，属于一般题．
利用诱导公式和三角恒等变换对函数f(x)进行化简，结合三正弦型函数的图像变换，单调性，零点，值域逐项判定即可。
【解答】
解：f(x)=1-cs (2x+π2)-2sin2x=sin 2x+cs 2x= 2sin (2x+π4)，
对于A，由y= 2sin 2x的图象向左平移π8个单位长度，得到y= 2sin [2(x+π8)]= 2sin (2x+π4)，故选项 A正确；
对于B，令2kπ-π2⩽2x+π4⩽2kπ+π2，k∈Z，解得kπ-3π8⩽x⩽kπ+π8，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8，k∈Z，
所以f(x)在0,π8上单调递增，在π8,π2上单调递减，故选项 B不正确；
对于C，令f(x)=0，得2x+π4=kπ，k∈Z，解得x=kπ2-π8，k∈Z，
因为x∈[0,π]，所以k=1，x=38π；k=2，x=78π，所以f(x)在[0,π]上有2个零点，故选项C不正确；
对于D，因为x∈[-π2,0]，所以2x+π4∈[-3π4,π4]，所以sin (2x+π4)∈[-1, 22]，
所以f(x)∈[- 2,1]，所以f(x)在-π2,0上的最小值为- 2，故选项 D正确．
故选：AD．
14.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查空间几何体里线面关系的判定与证明、直线与平面所成角、棱锥体积，属于一般题．
对于A：连接D1A,D1C，证明出平面D1AC//平面A1BC1，利用面面平行的性质即可证明；对于B：连接B1D1，证明出AC⊥面BDD1B1，利用线面垂直的性质即可证明；对于C：判断出∠DED1即为直线D1E与平面ABC所成角，得到tan∠DED1=1DE，求出DE的范围，即可求出tan∠DED1的范围，即可判断；对于D：利用等体积法转化得到VD1-AEC=VE-D1AC=VB-D1AC=VD1-ABC，即可求得．
【解答】
解：对于A：连接D1A,D1C．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC//A1D1，BC=A1D1，
所以四边形BCD1A1 为平行四边形，所以A1B//D1C．
又D1C⊄平面A1BC1，A1B⊂平面A1BC1，所以D1C//平面A1BC1．
同理可证：D1A//平面A1BC1．
因为D1A∩D1C=D1，D1A⊂平面D1AC，D1C⊂平面D1AC，
所以平面D1AC//平面A1BC1．
因为E是直线AC上的动点，所以D1E⊂平面D1AC，所以D1E//平面A1BC1，故 A正确；

对于B：连接B1D1．
因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以ABCD为正方形，所以AC⊥BD，
又BB1⊥面ABCD,AC⊂面ABCD，所以BB1⊥AC．
因为BD⊂面BDD1B1，BB1⊂面BDD1B1，BD∩BB1=B，所以AC⊥面BDD1B1．
因为E是直线BD1上的动点，F是直线BD上的动点，所以EF⊂面BDD1B1．
所以AC⊥EF，故 B正确；

对于C：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥面ABCD．
对于平面ABC，DD1为垂线，D1E为斜线，DE为射影，
所以∠DED1即为直线D1E与平面ABC所成角，所以tan∠DED1=DD1DE=1DE．
设AC∩BD=O，则AC⊥BD．
因为E是▵ABC内(包括边界)的动点，所以当E与O重合时，DE=DB2= 22最小，
当E与B重合时，DE=DB= 2最大，
所以tan∠DED1=1DE∈ 22, 2，故 C错误；

对于D：三棱锥D1-AEC的体积VD1-AEC=VE-D1AC．
由A的证明过程可知：平面D1AC//平面A1BC1，
所以平面A1BC1内任一点到平面D1AC的距离都相等．
因为E是平面BA1C1内的动点，
所以VE-D1AC=VB-D1AC=VD1-ABC=13S▵ABC⋅DD1=13×12×1×1×1=16．
即三棱锥D1-AEC的体积为定值16，故 D正确．
故选：ABD．
15.【答案】(-π4+2kπ,π6+2kπ],k∈Z
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域，属于一般题．
由三角函数定义域以及对数函数定义域可解得其定义域．
【解答】
解：根据题意可得 1-2sin x⩾0 ，解得 sin x⩽12 ，
所以 x∈[-7π6+2kπ,π6+2kπ],k∈Z ；
又 cs x- 22>0 ，即 cs x> 22 ，解得 x∈(-π4+2kπ,π4+2kπ),k∈Z
取交集部分可得， fx 的定义域为 (-π4+2kπ,π6+2kπ],k∈Z ．
故答案为： -π4+2kπ,π6+2kπ,k∈Z
16.【答案】-35,65
【解析】【分析】
本题考查投影向量的坐标表示，属于较易题．
利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算即可求得．
【解答】
解：向量 a 在向量 b 上的投影向量为 |a|cs ⟨a,b⟩⋅b|b|=|a|⋅a⋅b|a|⋅|b|⋅b|b|=a⋅b|b|2⋅b
=620b=310(-2,4)=(-35,65) ．
故答案为： -35,65 ．
17.【答案】36π
【解析】【分析】
本题考查与棱锥相关的球的切、接问题，关键是找到外接球球心，属于一般题．
根据棱锥的性质，结合线面垂直的性质证明 PA 的中点就是三棱锥 P-AOD 的外接球球心，得出半径后可求体积．
【解答】
解：取 PA 中点 M ， DA 中点 E ，连接 ME,EO ，则 ME//PD 且ME=12PD=32，
因为四边形 ABCD 是菱形，则 AO⊥OD ，且E是AD中点，所以 E 是 ▵AOD 的外心，即ED=EA=EO，
又 PD⊥ 底面 ABCD ， AD⊂ 平面 ABCD ，所以 PD⊥AD ，
又 PD=3 ， ∠APD=π3 ，所以 PA=3csπ3=6 ，AD=3 3，所以MP=3，
因为 PD⊥ 底面 ABCD ，所以 ME⊥ 平面 ABCD ，
因为OE⊂平面ABCD，所以ME⊥OE，因为ME=32，OE=3 32，所以MO= ME2+OE2= 94+274=3，同理可得MD=3，MA=3，
所以 M 到 P,A,D,O 四点距离相等，即为三棱锥 P-AOD 的外接球球心．
所以三棱锥 P-AOD 的外接球体积为 V=4π3×33=36π ．
故答案为： 36π ．
18.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查三角形面积公式，利用余弦定理解决最值问题。
由正弦定理化简已知条件可推得， sinA=2 6csA .根据 sin2A+cs2A=1 ，可求得 csA=15 ， sinA=2 65 .由面积公式可求得 bc=52 ，根据余弦定理可得出 a2=b2+c2-2bccsA ，由基本不等式，即可得出a的取值范围 ．
【解答】
解：由正弦定理 asinA=bsinB=csinC 可得， bsinC=csinB ， asinB=bsinA ．
由已知可得， 4 6bccs A=acsin B+absin C=2acsin B=2bcsin A ，
所以 sin A=2 6cs A ．
又 00， 可得 csA>0 ．
因为 sin2A+cs2A=25cs2A=1 ，
所以 csA=15 ， sin A= 1-cs2A=2 65 ．
因为 ▵ABC 的面积 S=12bcsin A= 65bc= 62 ，
所以 bc=52 ．
由余弦定理可得， a2=b2+c2-2bccs A =b2+c2-2×52×15⩾2bc-1=4 ，
当且仅当 b=c= 102 时，等号成立．
所以 a2≥4 ，可得 a 的最小值为 2 ．
故答案为： 2 ．
19.【答案】解：(1)由题意 (0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1 ，解得 a=0.030 ；
(2)抽取的这100名学生的原始成绩的众数的估计值为 70+802=75 分；
抽取的这100名学生的原始成绩的平均数的估计值为：
(45×0.010+55×0.015+65×0.015+75×0.030+85×0.025+95×0.005)×10=71 分；
由频率直方图可得前三组的频率和为 (0.010+0.015+0.015)×10=0.4<0.5 ，
前四组的频率和为 (0.010+0.015+0.015+0.030)×10=0.7>0.5 ，故中位数落在第四组，
设中位数为x，则 (x-70)×0.030=0.5-0.4 ，解得 x=2203 ，
故抽取的这100名学生的原始成绩的中位数的估计值为 2203 分；
(3)由已知等级达到B及以上所占排名等级占比为 0.15+0.35=0.50 ，
由(2)可得，中位数 x=2203≈73.3 ，
故原始分不少于74分才能达到赋分后的B等级及以上．

【解析】本题考查频率分布直方图和相关的平均数、中位数、众数的知识，属于一般题．
(1)由各组频率之和为1列方程求解即可；
(2)由频率分布直方图中众数、平均数和中位数的计算公式代入即可得出答案；
(3)已知等级达到B及以上所占排名等级占比为 0.50 ，即为频率分布直方图的中位数，求解即可．
20.【答案】解：(1)甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27、9、18，现用分层随机抽样的方法从三个协会中抽取6名运动员参加比赛，
则甲乒乓球协会抽取运动员人数为 2727+9+18×6=3，
乙乒乓球协会抽取运动员人数为 927+9+18×6=1，
丙乒乓球协会抽取运动员人数为 1827+9+18×6=2，
故甲、乙、丙三个乒乓球协会分别抽取运动员人数为 3 、 1 、 2 ；
(2)设甲乒乓球协会分别抽取的 3 名运动员编号为 a1,a2,a3 ，
乙乒乓球协会分别抽取的1名运动员编号为 b ，
丙乒乓球协会分别抽取的 2 名运动员编号为 c1,c2 ，
①选出两人共有15种结果，
a1,a2,a1,a3,a1,b,a1,c1,a1,c2 ，
a2,a3,a2,b,a2,c1,a2,c2 ，
a3,b,a3,c1,a3,c2 ，
b,c1,b,c2 ，
(c1,c2)
②两名运动员来自同一协会的结果： (a1,a2),(a1,a3), a2,a3, (c1,c2) ，共有 4 种；
所以选到的两名运动员来自同一协会的概率为 415 ．

【解析】本题考查分层抽样，考查古典概型及其计算，属于中档题．
(1)根据分层随机抽样的概念，然后计算可得答案；
(2)①列出所有的情况；
②在所有情况中，得出来自同一协会的情况，然后求解即可，
21.【答案】解：(1)取 AB 的中点 H ，连接 PH ， CH ，如图，因为 AC=BC ， PA=PB ，H为AB中点，所以 CH⊥AB ， PH⊥AB ，
而 CH⊂ 平面 PHC ， PH⊂ 平面 PHC ， CH∩PH=H ，所以 AB⊥ 平面 PHC ，又 PC⊂ 平面 PHC ，所以 AB⊥PC ．
(2)存在.当 AC 上的点 F 满足 CFAF=2 时， AE// 平面 PDF．
证明：连接 CE 交 PD 于 G ，连接 FG ， D 、 E 分别是 BC 、 PB 的中点，
则 G 是△ PBC 的重心，有 CGGE=2 ，即有 CGGE=CFAF ，因此 FG//AE ，
而 AE⊄ 平面 PFD ， FG⊂ 平面 PFD ，
所以 AE// 平面 PFD ．

【解析】本题考查了空间几何体中的线面垂直和平行的判定，属于一般题．
(1)取 AB 的中点 H ，利用线面垂直的判定、性质推理作答．
(2)借助三角形重心性质，利用线面平行的判定推理作答．
22.【答案】解：(1)
∵ c2+ac=b2 ，
∴ c2-b2=-ac ，
∴由余弦定理得： csB=a2+c2-b22ac=a2-ac2ac=a-c2c ，即： 2c⋅csB=a-c ，
由正弦定理得： 2sinC⋅csB=sinA-sinC ，
∴ 2sinC⋅csB=sin(B+C)-sinC=sinBcsC+sinCcsB-sinC ，
整理得： sinBcsC-sinCcsB-sinC=0 ，即： sin(B-C)=sinC ，
又∵ B、C∈(0,π) ，
∴ B-C=C ，即： B=2C ．
(2)
∵ B=2C ，
∴ A=π-3C ，
又∵ sin2C=2sinC⋅csC ， sin3C=sin(C+2C)=sinC⋅cs2C+csC⋅sin2C=sinC⋅cs2C+2sinC⋅cs2C ， sinC≠0 ，
∴由正弦定理得： a+bc=sinA+sinBsinC=sin(π-3C)+sin2CsinC=sin3C+sin2CsinC =sinC⋅cs2C+2sinC⋅cs2C+2sinC⋅csCsinC=cs2C+2cs2C+2csC
=2cs2C-1+2cs2C+2csC=4cs2C+2csC-1 ，
又∵ 0∴ 12令 t=csC ，则 a+bc=4t2+2t-1 ， 12∵ y=4t2+2t-1 对称轴为 t=-14 ，
∴ y=4t2+2t-1 在 (12,1) 上单调递增，
当 t=12 时， y=4×14+2×12-1=1 ；当 t=1 时， y=4+2-1=5 ，
∴ 1
【解析】本题考查利用正弦定理解决范围问题，利用余弦定理解三角形。
(1)运用余弦定理得 2c⋅csB=a-c ，再运用正弦定理边化角化简计算即可．
(2)运用三角形内角范围求得角C的范围，进而求得 csC 范围，运用边化角将问题转化为求关于 csC 的二次函数在区间上的值域，进而即可得解．
23.【答案】解：(1)∵P,G,F 分别为 AC',AD,AB 的中点， ∴PG//C'D ， PF//BC' ，
∵PG,PF⊄ 平面 C'DB ， C'D,BC'⊂ 平面 C'DB ，
∴PG// 平面 C'DB ， PF// 平面 C'DB ，
又 PG∩PF=P ， PG,PF⊂ 平面 PGF ，
∴ 平面 PGF// 平面 C'DB ．
(2)取 BD 的中点 M ，连接 C'M,EM ，
∵AB=AD=2 ， ∠BAD=60∘ ， ∴▵ABD 为等边三角形， ∴BD=2 ，
又 BC'=C'D= 2 ，
∴BC '2+C'D2=BD2 ， ∴△C'DB 为等腰直角三角形，
∴C'M=12BD=1 ， C 'M⊥BD ；
∵ 二面角 A-BD-C' 是直二面角，即平面 C 'DB⊥ 平面 ABD ，
平面 C'DB∩ 平面 ABD=BD ， C'M⊂ 平面 C'DB ，
∴C 'M⊥ 平面 ABD ，
∴∠C 'EM 即为 C'E 与平面 ABD 所成角，
∴tan∠C 'EM=C 'MEM=1EM=2 33 ，解得： EM= 32 ；
在 △EMB 中，由余弦定理得： EM2=BM2+BE2-2BM⋅BEcs 60∘ ，
即 34=1+BE2-BE ，解得： BE=12 ，
∴E 为线段 AB 上靠近点 B 的四等分点，
∴S四边形GFED=S△ABD-S△AGF-S△BDE=S△ABD-14S△ABD-14S△ABD=12S△ABD
=12×12×22× 32= 32 ，
∴V四棱锥P-GFED=13×S四边形GFED×12C'M=13× 32×12×1= 312 ．

【解析】本题考查面面平行的判定，考查棱锥的体积，考查二面角，考查直线与平面所成的角等，属于较难题．
(1)利用三角形中位线性质和线面平行的判定可证得 PG// 平面 C'DB ， PF// 平面 C'DB ，由面面平行的判定可证得结论；
(2)取 BD 的中点 M ，根据已知的长度关系和面面垂直性质可证得 C'M⊥ 平面 ABD ，结合线面角定义可得 tan∠C 'EM=2 33 ，由此可确定 E 点位置，从而求得 S四边形GFED ，利用棱锥体积公式可求得结果．