陕西省西安市重点高中2025-2026学年高一下学期4月测评考试 数学（含解析）

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1．已知平面向量，，若，则实数（ ）
A．1B．-1C．-4D．4
2．若单位向量，满足，则（ ）
A．2B．C．D．1
3．在中，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（ ）
A．30°B．60°
C．30°或60°D．60°或120°
5．如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，为单位向量，它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）．
A．B． C．D．
7．在中，，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为
A．B．C．3D．
二、多选题
9．下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A．B．
C．D．
10．在中，点是边上的四等分点，且，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（ ）
A．B．
C．的最小值为D．
11．已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在上的投影向量为
C．与夹角的余弦值为D．若与垂直，则实数
三、填空题
12．设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值等于__________.
13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______.
14．在锐角中，，，则的取值范围为__________．
四、解答题
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设，.
（1）用，表示，；
（2）若EF⊥EG，，求角A的值.
16．已知向量，，，设函数
(1)求函数的单调递增区间；
(2)设，，分别为的内角，，的对边，若，，的面积为，求的值．
17．已知向量，且与的夹角为.
(1)求；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
18．在中，角的对边分别为，满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的最小值；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
19．如图，平行四边形ABCD中，E为AB的中点，ED与AC交于点R．
(1)用向量方法证明：；
(2)若，，求的值．
参考答案
1．A
【详解】因为，，且，所以，解得.
故选：A.
2．C
【详解】由题意，，
因为，所以，
则，即，
所以.
3．D
【详解】因为，且，所以.
又因为中，，由正弦定理得，
所以.
4．A
【详解】由正弦定理，代入已知条件 ，，，
可得，
由三角形"大边对大角"的性质， ，
因此 .
5．B
【详解】由题意，在中，，，所以.
在中，，，
所以，
由正弦定理，.
又为等腰直角三角形，所以.
故选项B正确.
6．B
【详解】由题意可得向量在向量上的投影向量为
.
7．D
【详解】如图所示：
因为，又，
所以，
又，所以，且，
所以.
8．D
【详解】
，得到，所以，结合
的面积为，得到,得到，所以
，故选D．
9．AC
【详解】选项A，设（为实数），则，
即，则无解，所以不共线，
则能作为它们所在平面内所有向量的基底，故A正确；
选项B，因为，则，即共线，
所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故B不正确；
选项C，设（为实数），则，
即，则无解，所以不共线，
则能作为它们所在平面内所有向量的基底，故C正确；
选项D，是零向量，与共线，
所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故D不正确.
10．ABC
【详解】对于A，，故A正确.
对于B，因为，所以，，
由三点共线可得，.
因为，所以，，
由三点共线可得，.
而，所以有，整理得，故B正确.
对于C，因为，则，
当且仅当，即时取等号，故C正确.
对于D， 因为，
所以，
当且仅当即时取等号.而，故D错误.
11．AC
【详解】对A，，则，故A正确；
对B，在上的投影向量为，故B错误；
对C，与夹角的余弦值为，故C正确；
对D，，若与垂直，
则，解得，故D错误.
12．
【详解】因三点共线，故.
，
.
故答案为：
13．
【详解】由余弦定理可得，，
因为，所以，
故的面积为.
14．
【详解】解：以为原点，所在直线为轴建立坐标系，建立平面直角坐标系，如图所示：
因为，，
所以，，
设点，
因为是锐角三角形，
所以，且，
过点作轴与点，过点作，交轴于点，
则在线段上（不与、重合），
所以，
，，，
则，
由二次函数的性质知，时，，
时，，
所以的取值范围是．
故答案为：．
15．（1），；（2）.
【解析】(1)以，为基底，进行向量加减运算，即得结果；
(2) 以，为基底，结合EF⊥EG进行数量积运算，再利用，得的关系式，即解得角A.
【详解】（1）由平面向量的线性运算可知，
.
（2）由题意，因为EF⊥EG，所以
，解得，
所以，则可化简上式为，解得，又，故.
16．(1)，
(2)
【详解】（1），，
令，，
解得，，
的单调递增区间是，
（2）由（1）知：
，
，即
，
，
，
，
，
的面积为，
，解得，
，
由余弦定理得
，
，
综上所述，结论是：.
17．(1)；
(2).
【详解】（1）由向量，得，且，
由与的夹角为，得，解得，则 ，
于是，所以.
（2）由（1）知向量，
则，
由与的夹角为锐角，得且与不共线，
由，解得且，
所以实数的取值范围为.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以，
由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）因为，
所以，
由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以当时，周长有最小值为；
（3）由正弦定理可得，所以，，
因为，所以，
则
，
因为是锐角三角形，有，即，
所以，，，
因为，
所以，即面积的取值范围是.
19．(1)证明见解析
(2)-6
【详解】（1）证明：因为R在ED上，所以存在，使得，
故，
又因为点R在AC上，且，，
所以，得，
所以，所以．
（2）因为，
和分别是和方向上的单位向量，
设，，则以，为邻边的平行四边形是菱形，
是该菱形的对角线，
，所以 与垂直，所以，
可得，所以平行四边形ABCD是菱形，
所以，，
作于点H，又因为E为AB的中点，
所以在上的投影向量为，
所以．