山东省济南市重点高中2024-2025学年高一下学期5月期中考试 数学（含解析）

这是一份山东省济南市重点高中2024-2025学年高一下学期5月期中考试 数学（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，，若，则（ ）
A．4B．2C．D．
2．下列函数中，以为最小正周期的奇函数为（ ）
A．B．C．D．
3．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．125
4．在平行四边形ABCD中，M为CD的中点，记，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．若，则（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
7．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．B．C．D．
8．记的面积为S，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设，则（ ）
A．z不可能为纯虚数B．z在复平面内表示的点可以在第三象限
C．时，D．时，z与是方程的两个根
10．已知函数，将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．的图象关于点中心对称B．的图象关于y轴对称
C．与在上的单调性相同D．当时，
11．“水城之眼”摩天轮与“水城明珠”大剧场是聊城市东昌湖畔的两大文化地标，其中摩天轮是全球首座建筑与摩天轮结合的城市地标。摩天轮最低点距地面20米，最高点距地面168米，转一周大约需要30分钟，开启后按顺时针方向匀速旋转；明珠剧场可近似看作是直径约80米的半球形．某同学乘坐摩天轮观赏聊城的“湖光水色”，该同学在摩天轮最底部上车，由于建筑物遮挡经7分钟到A处开始观测到明珠剧场的穹顶B，共可观测15.5分钟．则下列说法正确的是（ ）（参考数据：）
A．明珠剧场体积约为13.4万立方米
B．上车5分钟后，该同学距离地面的高度为84米
C．该同学坐上摩天轮开始，转动t分钟后距离地面的高度为H米，则
D．水城之眼中心在地面的投影与明珠剧场的球心距离大约为952米
三、填空题
12．已知向量，则向量在向量上的投影向量为 .
13．已知，，，点C在线段AB的延长线上，且，则的值为 ．
14．已知函数，若在区间上恰有三个零点，则的取值范围为 ．
四、解答题
15．设是虚数，是实数，且．
（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．
（2）若，求证：为纯虚数．
16．已知，，．
(1)求在上的单调递增区间；
(2)若，，求的值．
17．如图，平行四边形ABCD中，E为AB的中点，ED与AC交于点R．
(1)用向量方法证明：；
(2)若，，求的值．
18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)D为BC的中点．
（i）证明：；
（ii）若，求的周长．
19．我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．两个复向量，的线性运算定义为：；两个复向量，相等定义为：，；两个复向量，的积记作，定义为；复向量的模定义为；若复向量与满足，则称复向量与平行．已知．
(1)若复向量，，且．
（i）求m，n的值；
（ii）判断与是否平行，并说明理由；
(2)若复向量，且与平行，求．
1．C
由进行坐标运算即可求解.
【详解】由有：，
故选：C.
2．B
根据三角函数的性质，即可判断选项.
【详解】对于A，是偶函数，故不成立，
对于B，是奇函数，且最小正周期，故成立，
对于C，是奇函数，且最小正周期为，故不成立，
对于D，是偶函数，故不成立.
故选：B
3．B
据复数的模长结合乘法运算可得复数，再由共轭复数的概念和模长公式即可求解.
【详解】，则，则，则.
故选：B.
4．D
结合图形，利用向量的线性运算公式，即可求解.
【详解】，
即.
故选：D
5．D
由诱导公式有，，，最后利用的单调性即可求解.
【详解】由，，
，又，
因为在单调递减，
所以，即，所以.
故选：D.
6．A
利用二倍角正切公式化简即可.
【详解】由，利用降幂公式化简，得，
即，即，解得：.
故选：A.
7．A
首先根据函数的图象，结合函数的性质，求解函数的解析式，再代入求值.
【详解】由图象可知，，，则，
且，得，
则，.
故选：A
8．B
由，即，利用正弦定理和求解和，最后利用两角差的余弦公式即可求解.
【详解】由题意有，所以，
由正弦定理有，又，，
所以，又因为，所以，
又，
所以，
所以，
故选：B.
9．ACD
根据复数的性质计算判断A，应用几何意义判断B，根据模长判断C，根据复数根的性质判断D.
【详解】因为，
若z为纯虚数，则且不等于0，无解，所以z不可能为纯虚数，A选项正确；
若z在复平面内表示的点在第三象限，所以，无解，所以z在复平面内表示的点不可以在第三象限，B选项错误；
时，，C选项正确；
方程的两个根，时，z与是方程的两个根，D选项正确；
故选：ACD.
10．BC
根据图像变换先求出函数的解析式，再根据函数的对称性、单调性、函数值大小比较等性质逐一分析各选项即可得出结论.
【详解】代入得，
所以的图象不关于点中心对称，故选项A错误；
函数为横坐标变为原来的（即周期变为原来的一半），
得到,再向右平移个单位，得到;
化简得.
，故是偶函数，选项B正确；
时，，在上单调递增；
时，时，，在上单调递增，
因此两函数单调性相同，选项C正确.
令,
取，则： ，
因此存在点使，即,选项D错误.
故选：BC
11．ACD
根据已知结合球的体积公式计算，即可判断A；设转动t分钟后距离地面的高度为H米，.根据已知计算得出，即可判断C项；代入，即可验证B项；作出大致图象，结合题中给的数值，结合三角形相似推得，进而在三角形中得出，进而化简求值即可判断D项.
【详解】对于A项，由已知明珠剧场可近似看作是直径约80米的半球形可得，
明珠剧场体积约为.故A正确；
对于C项，由已知可设该同学坐上摩天轮开始，转动t分钟后距离地面的高度为H米，则.
则由已知可得，，，，
所以，，，.
所以，.
又，
所以，.
又，
所以，
所以，.
故C正确；
对于B项，当时，.故B错误；
对于D项，如图，设半球的圆心为，连接，
过点作截面圆的切线，分别过点作的垂线.
过点作，且满足，垂足为.
易知
因为，
所以，，
故，，
，
则.
.
所以，，即，
解得.
又，
所以，，故D正确.
故选：ACD.
12．
设，利用数量级的坐标运算得的坐标，再利用投影向量的公式求解即可.
【详解】解：设，因为
所以
所以
则向量在向量上的投影向量为：.
故答案为：.
13．18
先求出，的坐标，由可得，进而代值计算即可.
【详解】因为，，，
所以，
由，则，
则，解得，
则.
故答案为：18.
14．
首先求的范围，再根据端点的基本范围，结合零点的情况，列式求解.
【详解】由，则，，
此时，
若函数的三个零点都在轴的负半轴，则，不等式的解集为，
若函数的零点有2个负零点，1个是原点，则，不等式的解集为，
若函数的零点1个是负零点，1个是原点，1个正零点，则，不等式的解集为，
若函数的零点1个是原点，2个正零点，则，得.
所以的取值范围是.
故答案为：
15．（1）；（2）略
【详解】分析：（1）设z1=a+bi，（a，b∈R，且b≠0），则=（a+）+（b﹣），由z1是实数，得a2+b2=1，由此求出z1的实部的取值范围为[﹣，]．
（2）ω====，由此能证明ω=是纯虚数．
详解：(1)解:设.则
,
因为.所以，又，所以.所以.
所以,
又,即.解得.
所以的实部的取值范围的取值范围为.
(2)证明:,
因为.所以,
所以为纯虚数.
16．(1)，
(2)
【详解】（1）有题意有
．
因为，所以，
当或，即或，单调递增，
所以在上的单调递增区间为，．
（2）由（1）知，，
因为，所以，即．
因为，所以，所以，
所以
．即．
17．(1)证明见解析
(2)-6
（1）存在，使得，利用向量的线性运算可得，
又由点R， A，C三点共线，且，可得，解得值，从而得证.
（2）由题设得四边形ABCD是菱形，，数形结合，作于点H，利用投影向量的概念即可得在上的投影向量为，由向量的线性运算即可求解．
【详解】（1）证明：因为R在ED上，所以存在，使得，
故，
又因为点R在AC上，且，，
所以，得，
所以，所以．
（2）因为，
和分别是和方向上的单位向量，
设，，则以，为邻边的平行四边形是菱形，
是该菱形的对角线，
，所以 与垂直，所以，
可得，所以平行四边形ABCD是菱形，
所以，，
作于点H，又因为E为AB的中点，
所以在上的投影向量为，
所以．
18．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式即可求解；
（2）（i）在中由余弦定理有，在中由余弦定理有，利用即可得证；
（ii）由余弦定理得得，由代入（i）得即可求,进而得的周长.
【详解】（1）由，得，
所以由正弦定理得，
因为中，，所以，
即，所以，
又因为中，，所以，因为，所以．
（2）（i）证明：因为D为BC的中点，
所以在中，由余弦定理得；
在中，由余弦定理得，
因为,所以，
所以，即．
（ii）当时，
在中，由余弦定理得，所以，
又由（i）知，，所以，
所以，解得，
所以的周长为．
19．(1)（i）；（ii）平行，理由见解析
(2)
（1）（ⅰ）根据复向量的线性公式，以及复向量相等的定义，即可列式求解；
（ⅱ）根据复向量平行的定义，结合复向量的积的定义，即可判断；
（2）首先设，根据复向量平行的定义，以及复向量积的定义，结合运算公式，利用待定系数法，即可求解
【详解】（1）（i）由题意得，
所以所以解得所以
（ii）由（i）知，所以，，
因为，得，
因为，
，
同理得，
所以，故与平行．
（2）设，
则，
得，
又，
，
若与平行，则，即，
化简整理得，所以，，所以．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
D
D
A
A
B
ACD
BC
题号
11









答案
ACD