山东省济宁市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中测试数学试题

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考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的
1．若复数满足，其中为虚数单位，则复数（ ）
A．B．C．D．
2．若，则=（ ）
A．B．C．D．
3．在中，为边上的中线，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．若棱长分别为，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为（ ）
A．27B．C．9D．
7．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A. 40 2海里B. 40 3海里C. 80 3海里D. 80 2海里
8．在中，分别是角所对的边，的平分线交于点，，则的最小值为（ ）
A．16B．32C．64D．128
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分
9．已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．复数的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第四象限
C．若，则 D．若复数z满足，则
10．先将函数的图象向右平移个单位后，再将横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，则关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．图象关于直线对称 D．周期为，图象关于点对称
11．在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，且，则为等边三角形
C．若，则是等腰三角形
D．在中，，则使有两解的的范围是
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是
13．如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是 ．
14．在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题13分）已知z是复数，和均为实数，其中i是虚数单位.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)记，若复数对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.
16．（本小题15分）已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2)．
(1)若|b|=2 5，且a//b，求b的坐标；
(2)若|c|= 10，且2a+c与4a-3c垂直，求a与c的夹角 θ ．
17.（本小题15分）某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m.
已知制作这种油罐的材料单价为1.5万元/m2，则制作一个油罐所需费用为多少万元？
（2）已知该油罐的储油量为0.95吨/m3，则一个油罐可储存多少吨油？
18．（本小题17分）已知f(x)=3cs2x+2sin3π2+xsin(π-x)，x∈R，
（1）求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且f(A)=-3，a=4，求BC边上的高的最大值．
19．（本小题17分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)若恒成立，求的最大值．