四川省广元市重点高中2024-2025学年高一下学期4月期中测试 数学（含解析）

这是一份四川省广元市重点高中2024-2025学年高一下学期4月期中测试 数学（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A．1B．-1C．0D．
2．下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．在中，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知角的终边过点，则（ ）
A．B．C．7D．
5．要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
6．如图为地动仪的模型图，地动仪共有东、南、西、北、东南、西南、东北、西北八个方位，每个方位上均有一个含龙珠的龙头，且每个龙头下方均有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠即落入蟾蜍口中，由此便可测出地震的方向．在相距的，两地各放置一个地动仪，在的南偏西方向，若地地动仪正东方位的龙珠落下，地地动仪东南方位的龙珠落下，则震中的位置距离地（ ）
A．B．
C．D．
7．在中，角所对的边分别为，已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．设均为单位向量，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．如图所示，点M，N是函数的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，则（ ）
A．
B．
C．，
D．的单调增区间为
10．若向量，，则（ ）
A．B．
C．在上的投影向量为D．与的夹角为
11．是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上的投影向量等于.
C．
D．的最小值为
三、填空题
12．在中，角所对应的边分别为．若，则 ．
13．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标 .
14．在下列各式中，
①如果，，，，成等比数列，那么；
②中，若，且 ，则是等边三角形；
③若两个正实数、满足，并且 恒成立，则实数的取值范围是；
④若等比数列的前项和，则 的值为；
⑤若，，则 有最大值为．
其中正确的有 ．（填上你认为正确的所有序号）
四、解答题
15．已知向量，满足的夹角.
(1)求的值；
(2)求.
16．已知向量，，设函数，.
(1)求函数的解析式；
(2)求的单调递减区间和对称轴方程；
17．在中，内角对应的边分别是，且．
(1)求角A的大小；
(2)若的面积是，求的周长；
(3)若为锐角三角形，求的取值范围．
18．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
(1)求证：；
(2)若，求a边的范围；
(3)求的取值范围．
19．函数（，，）的部分图像如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为，，且，求的值.
1．B
本题考查向量垂直的坐标表示，代入求值即可.
【详解】，
又，
，即，
解得：.
故选：B.
2．C
根据向量作基底的条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】能作为基底的向量不可以是共线向量，
对A：，，，故//，不可作基底，故A错误；
对B：，，，故//，不可作基底，故B错误；
对C：，，，故，不共线，可以作基底，故C正确；
对D：，，，故//，不可作基底，故D错误；
故选：C.
3．A
利用余弦定理代入计算即可.
【详解】由余弦定理可知，
又因为，所以可得.
故选：A
4．B
根据正切函数定义求出，利用两角和的正切公式求解.
【详解】由题意，可得，
.
故选：B.
5．B
变形函数的解析式，根据变换规则求解即可.
【详解】因为，
所以只需将的图象向左平移个单位即可，
故选：B.
6．B
根据正弦定理解三角形即可得到答案.
【详解】如图：
由题意：中，，，.
由正弦定理可得：.
故选：B
7．D
由正弦定理化简已知式可得，再由余弦定理可知，最后由正弦定理即可得出答案.
【详解】由正弦定理可得：，
所以由余弦定理可得：，
所以，再由正弦定理可得：.
故选：D.
8．C
由向量数量积的运算律和模长的计算求解即可.
【详解】，即，则，
所以.
故选：C.
9．BCD
根据题意求出从而求得此函数表达式，再运用三角函数相关知识对各选项逐一分析即可.
【详解】因为当的面积最大时在最高点，此时在中，，
所以，，即，，
因为函数经过，则，
即，又，所以取.
所以函数表达式为.B正确.
对于A，，错误；
对于C，取得函数最小值，所以的图象关于直线对称，即，，正确；
对于D，令，解得，所以的单调增区间为，正确；
故选：BCD.
10．ABC
利用向量模与数量积的坐标表示判断AB，利用投影向量公式判断C，利用向量夹角公式判断D，从而得解.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，又，所以，故B正确；
对于C，易得，
所以在上的投影向量为，故C正确；
对于D，因为，
又，所以，故D错误.
故选：ABC.
11．ACD
根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A，根据投影向量的定义，判断B；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.
【详解】A.以为邻边作平行四边形，交于点，是的中点，
因为是的重心，所以三点共线，且，
所以，，所以，故A正确；

B.在上的投影向量等于，故B错误；
C.如图，因为，所以,
即，即,
因为点是的重心，，故C正确；
D. 取的中点，连结，取中点，则，，
,
则，
,
显然当重合时，，取最小值，故D正确.

故选：ACD
12．
【详解】因为，所以．
故答案为：.
13．
【详解】在方向上的投影向量为，
故答案为：.
14．②③⑤
【详解】解：①，，，，成等比数列，
，，
，①不正确；
②由可得：，
根据余弦定理：，则，
由可得：，
，
，
，，为三角形的内角，
，即，
，即为等边三角形，②正确；
③由恒成立得
，
由题得，
，
当且仅当时，即，时等号成立，
，
解得：，
，③正确；
④易得等比数列公比不为1，
则，
，
，，
，④不正确；
⑤，
，
，
令，则，
则上式，当时取最大值，
代入得，⑤正确．
综上：正确的有②③⑤．
故答案为：②③⑤
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
则
.
（2）
.
16．(1)
(2)减区间，对称轴方程,
【详解】（1）因为向量，，则
.
（2）令，，则，
的单调递减区间为，.
令，，解得，.
对称轴方程，.
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由正弦定理可得，
即，因为，所以，
则，即.
（2）因为，所以，
由余弦定理可得，
即，所以，
则，所以，
则的周长为.
（3）由可得，
则
，
且为锐角三角形，则，解得，
所以，则，
所以，
即的取值范围是.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)．
【详解】（1）解：因为，
所以，
由正弦定理可得，
又因为，
代入可得，
即，
因为，，则，故，
所以或，即或（舍去），
所以．
法二：由正弦定理可得：，
则，
则，
又，故，
因为，，则，故，
所以或，即或（舍去），
（2）因为为锐角三角形，，
所以，
由，解得，
又故．
（3）由（2）知．
由，
，
令，则在上单调递增，所以，
所以的取值范围为．
19．(1)
(2)
(3)
（1）根据函数的最低点求得的值，根据图象得到函数的周期，并求得的值，代入点求得的值.由此求得函数的解析式；
（2）利用余弦函数的性质，即可求出函数的单调增区间；
（3）令，则，利用的图象可得，，又，从而得到，再利用，即可求得结果.
【详解】（1）由图象可得，，，
，则，
，又图象过点，
所以，解得，
又，，
所以函数的解析式为.
（2）由余弦函数可知，，
，，
所以函数的单调递增区间为.
（3）由题可得，，
又因为，所以，
令，则，
设直线与的图象交点横坐标自左向右依次为，
由的图象可知，，，
且，
，又由图象知，所以，
又，，
所以，又
，
.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
B
B
B
D
C
BCD
ABC
题号
11









答案
ACD