浙江省强基联盟2026届高三下学期3月联考（二模）数学试题 含解析

这是一份浙江省强基联盟2026届高三下学期3月联考（二模）数学试题 含解析
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线的方程为，则该直线的斜率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题知，所以直线的斜率为．
2. 已知i为虚数单位，下列各式的运算结果中，虚部为1的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】对于A，，虚部为零，故A错误；
对于B，，虚部为，故B错误；
对于C，，虚部为零，故C错误；
对于D，因为，虚部为，故D正确.
3. 某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（ ）
A. 2位B. 3位C. 4位D. 5位
【答案】B
【解析】
【详解】参加竞赛的总人数：45−15=30（位），
根据容斥原理计算同时参加两科竞赛的人数：18+15−30=3（位）.
4. 已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，，，下列条件是“”的充分条件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用面面垂直的判定定理求解.
【详解】因为，，由面面垂直的判定定理可得．选项D正确.
5. 若，，则的值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对进行变换可得，再结合两角差的正切展开公式求解.
【详解】因为，
所以．
6. 在某地区的一个电视节目中某“专家”说1枚防空导弹的拦截率为70%，连发3枚这种防空导弹就有210%的拦截率．你认为发射3枚拦截率为70%的导弹，至少1枚拦截成功的概率为（ ）
A. 210%B. 100%C. 97.3%D. 70%
【答案】C
【解析】
【详解】因为一枚都没拦截成功的概率，
所以至少一枚拦截成功的概率为．
7. 已知正三棱柱存在内切球，则直线与平面所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设正三棱柱底面的边长为a，所以内切圆的半径，
因为正三棱柱存在内切球，所以正三棱柱的高．
取中点D，连接，，易证平面，所以为所求角．
在中，，，于是，
所以．
8. 在平面直角坐标系中，曲线上的点列满足：以为圆心的圆与轴相切，且．若与外切，则为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题知以为圆心且与轴相切的圆方程为．
由题意可得满足曲线，所以，
因为与外切，所以．
两边平方整理得，
所以．两边除以，得，
所以为等差数列．于是，所以．
二、选择题：本题共3小题，每小题，共1．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则在上投影向量的模为D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据共线，垂直以及模长公式的坐标公式，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A选项，当时，，故A选项正确；
对于B选项，当时，，故B选项不正确；
对于C选项，若，在上的投影向量为，
于是在上的投影向量的模为，故C选项正确；
对于D选项，若，则，所以，所以D选项正确．
10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 与的值域相同B. 与的奇偶性相同
C. 与有相同的零点D. 与在上的单调性相同
【答案】BD
【解析】
【详解】对于A选项，，，
于是的值域为，的值域为，故A选项不正确；
对于B选项，，所以为偶函数，
，所以为偶函数，故B选项正确；
对于C选项，由于的值域为，所以没有零点，
令，得，所以，．故C选项不正确；
对于D选项，因为在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性可知在单调递减，
因为在上单调递增，在上单调递减，
由复合函数的单调性可知在单调递减，故D选项正确．
11. 已知曲线C由曲线和曲线组合而成，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线C关于y轴对称
B. 曲线C上两点之间距离的最大值为8
C. 曲线C所围成的图形的面积等于16
D. 曲线C绕x轴旋转一周所形成几何体的体积为
【答案】BC
【解析】
【分析】计算可得关于点中心对称，曲线C的关于轴对称，作出示意图，逐项判断可得每个选项的正误.
【详解】设，
因为，
.
所以曲线C在第一象限图像关于点中心对称，
又，
又在上单调递减，所以在上单调递减，
故的图像如图所示，
在方程和将代换，
方程不变，所以曲线关于轴对称，
当时，方程为，
当时，方程为，故曲线如图所示，
由图可得曲线C上两点之间的距离的最大值为8，故A错误，B正确；
对于C选项，由对称性可知，图中区域1与区域2的面积相等，所以C正确；
对于D选项，如图三块区域绕x轴旋转所得几何体的体积分别为，，，
由于，区域1和区域3旋转后构成一个三棱锥，
由锥体的体积公式可得，
所以，故D错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题，共1．
12. 已知数列满足：，，．则数列的通项公式可以是_____________．（写出一个符合要求的答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意可知数列为递减数列，再结合已知项求解符合条件的数列即可.
【详解】由，可知数列为递减数列，当时，验证如下，
符合题意，
，故通项公式可以是.
13. 已知为奇函数，则_____________．
【答案】
【解析】
【详解】因为为定义在上奇函数，所以，解得，
当，，不为奇函数，不合题意舍去．
当时，，即，为奇函数，符合题意，
所以．
14. 已知的三个内角分别为A，B，C，且，则的最大值为_____________．
【答案】
【解析】
【详解】解法一：，
所以，或，
所以为直角三角形，
当时，
，其中，
所以当，的最大值为；
当时，同理可得的最大值为；
当时，．
综上的最大值为．
解法二：先降次再用和差化积，由题知，
所以．进而，
所以，
即．
化简得，于是为直角三角形．
下同解法一．
四、解答题：本题共5小题，共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在三棱锥中，平面，，，E为的中点．
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）借助等腰三角形中线性质与线面垂直性质定理可得、，再利用线面垂直判定定理可得平面，即可得证；
（2）法一：利用几何法，作出平面与平面夹角，再借助勾股定理与余弦定义计算即可得；法二：利用空间向量法，建立适当空间直角坐标系后，求出两平面的法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得.
【小问1详解】
因为，为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以，
又因为，、平面，
所以平面，又因为平面，所以；
【小问2详解】
法一：如图，过作于，连接，
由（1）知，又因为，、平面，
所以平面，所以就是平面与平面的夹角，
因为平面，平面，所以，
因为，
则，
，则，
则，
所以，平面与平面夹角的余弦值为．
法二：以为原点建立如图所示的坐标系，
则，，，，
由轴平面，则平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
由题意，可得平面的一个法向量为，
所以，
所以，平面与平面夹角的余弦值为．
16. 2025年11月，全国多地中小学推行“秋假”政策，直接带动旅游市场热度．某景点为科学定价、吸引更多中小学生游客，选取拟定价格开展门票定价试运行，相关数据如下表所示：
（1）已知y与x具有线性相关关系，求出y关于x的经验回归方程；
（2）为了扩大景区知名度与客流吸引力，景区将门票定价为10（元/人），并计划做广告宣传．由前期调查可知，当日均广告费为千元时的日游客人数为千人，其中y是当门票为10（元/人）时，根据（1）中的经验回归方程所预测的日游客人数．求景区的日均广告费用为多少千元时才能使日门票净收入最大．（日门票净收入=票价×日游客人数-日均广告费）
参考公式：经验回归方程，．
【答案】（1）
（2）当门票定价为10元时，日广告费用为4千元时门票净收入最大
【解析】
【分析】（1）根据公式求得，可求得y关于x的经验回归方程；
（2）设门票净收入为，结合（1）可得，进而利用，可求解.
【小问1详解】
由题意得：，，
，，
，，
关于x的经验回归方程为．
【小问2详解】
设门票净收入为，则，由（1）时，，
故，
若要使最大，则，代入可得，又因为，故，
所以当门票定价为10元时，日广告费用为4千元时门票净收入最大．
17. 设点沿的圆周按逆时针方向旋转角后到点．
（1）当时，求的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角和的三角函数公式写出点的坐标表达式，进而得到的三角函数式并计算.（2）利用点在圆上的条件将转化为关于的表达式，再根据的范围，利用三角函数和二次函数的性质求取值范围.
【小问1详解】
设射线与x正半轴的夹角为，则，，
由三角函数定义可知，，
因为，则，
所以．
【小问2详解】
由题知，
由，，可知初始位置，即，
得，
终边位置，即，即，
由（1）知，所以，所以当，取得最小值，
所以n的取值范围为，
因为在上单调递增，上单调递减，
所以当时，，
由，
可知时，
所以的取值范围为．
18. 已知是双曲线上垂直于实轴的动弦，，为双曲线的左、右顶点，直线与相交于点P，点P形成的曲线为C．
（1）若过双曲线的右焦点，求；
（2）求曲线C的方程；
（3）已知动直线与曲线C交于，两点，，为直线l上的另两点，点F的坐标为，且，，O为坐标原点，证明：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求出焦点坐标，再代入标准方程即可求出；
（2）设及，，再写出直线和直线的方程并两式相乘，化简即可求出；
（3）联立得到，再求出，设中点为E，进而求得，最后利用即可求出.
小问1详解】
因为双曲线的右焦点为，
由对称性不妨设，，所以．
【小问2详解】
设及，，又，，
所以，直线的方程为，直线的方程为，
两式相乘得，又因为点，在双曲线上，
所以，代入化简得，所以曲线C的方程为．
【小问3详解】
联立得，
，，，
所以，
因为在曲线C上，所以，
，
因为，所以；
设中点为E，要证，只需证，即证，
又由，以及（2）得，
所以，
，
即，
，
所以，所以．
19. 已知函数，（e为自然对数的底数，）
（1）证明：当时，；
（2）关于x的方程的一个实数根为，其中，
①求实数a的取值范围；
②证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，利用导数可判断的单调性，证明最大值小于0即可；
（2）①由题意得，令，可得，构造函数，可求得实数a的取值范围；②法一：利用分析法可证，利用分析法结合一元二次方程的根的求法可证.法二：利用分析法要证，可证即可；要证，结合，只需，构造函数证明即可.
【小问1详解】
设，，则；
所以上单调递减，在上单调递增；
因为，，
所以时恒成立，即．
【小问2详解】
①由得，两边取对数得，
令，则，，从而有；
设，．则；
所以，在上单调递增；
因为，，；
故实数a的取值范围．
方法一：②要证，只需证，
因为，，要证，只需证时，，
只需证．上式显然成立；
要证，只需证，
因为，所以，由（1）知时，，
所以，即，解得，所以；
于是成立．
方法二：②要证，只需证，
因为，只需证，只需证，上式显然，
，要证，只需证，
因为，故只需证，只需证，
两边平方，消去a，只需证，
注意到，所以只需证，只需证，
只需证，
构造函数，，则，
当时，，所以在上单调递增，
当，，所以在上单调递减，
又，，
所以在的最大值小于0，故成立．
门票价格x（元/人）
40
50
60
70
80
日游客人数y（千人）
18
17
13
7
5