浙江省强基联盟2026年3月高三下学期联考数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知直线的方程为 ，则该直线的斜率为
A. B. C. 2 D. -2
【答案】A
【解析】由题知 ,所以直线的斜率为 .
2. 已知 为虚数单位 ,下列各式的运算结果中,虚部为 1 的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 .
3.某班共有 45 位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有 18 位同学参加数学竞赛，有 15 位同学参加物理竞赛, 两科竞赛均不参加的有 15 位同学, 则同时参加数学和物理竞赛的同学有
A. 2 位 B. 3 位 C. 4 位 D. 5 位
【答案】B
【解析】 由题知同时参加物理数学的人数为 .
4.已知 是不同的直线， 是不同的平面， ， ，下列条件是 “ ” 的充分条件的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ,由面面垂直的判定定理可得 .
5.若 ,则 的值为
A. B. 2C. D. -2
【答案】C
【解析】因为 .
6.在某地区的一个电视节目中某“专家”说 1 枚防空导弹的拦截率为 70%, 连发 3 枚这种防空导弹就有 210% 的拦截率. 你认为发射 3 枚拦截率为 70%导弹，至少 1 枚拦截成功的概率为
A. 210% B. 100% C. 97.3% D. 70%
【答案】C
【解析】因为一枚都没拦截成功的概率 ,所以至少一枚拦截成功的概率为 0.027=0.973.
7.已知正三棱柱 存在内切球,则直线 与平面 所成角的正切值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设正三棱柱底面 的边长为 ,所以 内切圆的半径 ,因为正三棱柱存在内切球,所以正三棱柱的高 . 取 中点 ,连接 ,易证 平面 ,所以 为所求角. 在 中, , 于是 ,所以 .
8.在平面直角坐标系中,曲线 上点列 满足: 以 为圆心的圆与 轴相切，且 . 若 与 外切，则 为
A. 2 B. 1C. D.
【答案】A
【解析】由题知以 为圆心且与 轴相切的圆方程为 . 因为 与 外切,所以 . 两边平方整理得 ,所以 . 两边除以 ,得 ,所以 为等差数列. 于是 ,所以 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知向量 ,下列结论正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则 在 上投影向量的模为
D. 若 ,则
【答案】ACD
【解析】对于 A 选项,当 时, ,故 A 选项正确; 对于 B 选项,当 时, ,故 B 选项不正确; 对于 选项,若 在 上的投影向量为 ,于是 在 上的投影向量的模为 ,代入得 ,故 C 选项正确; 对于 选项,若 ,则 ,所以 ，所以 D 选项正确.
10.已知函数 ,则下列说法正确的是
A. 与 的值域相同
B. 与 的奇偶性相同
C. 与 有相同的零点
D. 与 在 上的单调性相同
【答案】BD
【解析】对于 选项， ， ，于是 的值域为 ， 的值域为 ,故 A 选项不正确; 对于 选项, ,所以 为偶函数, ,所以 为偶函数,故 选项正确; 对于 选项,由于 的值域为 ,所以 没有零点,令 ,得 ,所以 . 故 C 选项不正确; 对于 D 选项,因为 在 上单调递减, 在 上单调递增,由复合函数的单调性可知 在 单调递减,因为 在 上单调递增, 在 上单调递减,由复合函数的单调性可知 在 单调递减, 故 D 选项正确.
11.已知曲线 由曲线 和曲线 组合而成，则下列结论正确的是
A. 曲线 关于 轴对称
B. 曲线 上两点之间的距离的最大值为 8
C. 曲线 所围成的图形的面积等于 16
D. 曲线 绕 轴旋转一周所形成几何体的体积为
【答案】BC
【解析】设 ,因为 ,所以曲线在第一象限的图象关于点 (2，1)中心对称，根据题意先画出曲线，由图可知 错， 正确；对于 选项，由对称性可知，图中区域 1 与区域 2 的面积相等，所以 正确；
对于 选项,如下图三块区域绕 轴旋转所得几何体的体积分别为 ,由于 ,所以 ,故 D 错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知数列 满足: . 则数列 的通项公式可以是_______. (写出一个符合要求的答案即可)
【答案】 (答案不唯一, 等等)
13.已知 为奇函数,则 _______.
【答案】 (如果写 得 3 分)
【解析】因为 为定义在 上的奇函数,所以 ,于是 ,当 ,代入不合题意舍去. 时代入可得 符合题意,所以 .
14.已知 的三个内角分别为 ,且 ,则 的最大值为________.
【答案】
【解析】解法一: ,所以 ,或 ,所以 为直角三角形,当 时, ,其中 ,所以当 的最大值为 ; 当 时,同理可得 的最大值为 ; 当 时, . 综上 的最大值为 .
解法二: 先降次再用和差化积,由题知 ,所以 . 进而 ,即 . 所以 ,于是为 直角三角形. 下同解法一 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图，在三棱锥 中， 平面 为 的中点.
(1)证明: ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值 .
【解析】(1)证明:因为 为等腰三角形， 为 中点，所以 ， 2 分
又因为 平面 ,所以 , 4 分
所以 平面 ,所以 . 6 分
(2)方法一:如图过 作 于 ，连接 ，
由(1)知 就是平面 与平面 的夹角, 10 分
在直角三角形 中， ， ， ，得 ，
所以,平面 与平面 夹角的余弦值为 . 13 分
方法二: 以 为原点建立如图所示的坐标系,
则 . 8 分
易得平面 的一个法向量为 ,设平面 的一个法向量为 ,
由题意 可得平面 的一个法向量为 , 10 分
所以 ,
所以,平面 与平面 夹角的余弦值为 . 13 分
16.2025 年 11 月, 全国多地中小学推行“秋假”政策, 直接带动旅游市场热度. 某景点为科学定价、吸引更多中小学生游客，选取拟定价格开展门票定价试运行，相关数据如下表所示:
(1)已知 与 具有线性相关关系，求出 关于 的经验回归方程；
(2)为了扩大景区知名度与客流吸引力，景区将门票定价为10(元/人)，并计划做广告宣传. 由前期调查可知,当日均广告费为 千元时的日游客人数为 千人，其中 是当门票为 10 (元/人)时，根据(1)中的经验回归方程所预测的日游客人数. 求景区的日均广告费用为多少千元时才能使日门票净收入最大. (日门票净收入=票价 日游客人数一日均广告费)
参考公式:经验回归方程 .
【解析】(1)由题意得: ， ，
2 分
,
关于 的经验回归方程为 . 6 分
(2)设门票净收入为 ，则 ，由(1) 时， 以上个 ，
故 , 10 分
若要使 最大,则 代入可得 又因为 ,故 , 13 分
此时日游客人数为 人，
所以当门票定价为 10 元时, 日广告费用为 4 千元时门票净收入最大. 15 分
17.设点 沿 的圆周按逆时针方向旋转角 后到点 .
(1)当 时,求 的值;
(2)若 ，求 的取值范围.
【解析】
(1) 设射线 与 正半轴的夹角为 ,则 , 2 分
由三角函数定义可知 , 4 分
因为 ,
于是 , 6 分
所以 . 8 分
(2)由题知 ， 10 分
因为 ,所以 的取值范围为 , 13 分
因为 在 上单调递增, 上单调递减, 14 分
所以 的取值范围为 . 15 分
18.已知 是双曲线 上垂直于实轴的动弦， ， 为双曲线的左、右顶点，直线 与 相交于点 ,点 形成的曲线为 .
(1)若 过双曲线的右焦点,求 ；
(2)求曲线 的方程；
(3)已知动直线 与曲线 交于 ， 两点， ， 为直线 上的另两点 ,点 的坐标为 ,且 为坐标原点,证明: .
【解析】(1)因为双曲线的右焦点为 ， 2 分
由对称性不妨设 ,所以 . 4 分
(2)设 及 ， ，又 ， ，
所以,直线 的方程为 ,直线 的方程为 , 6 分
两式相乘有 ,又因为点
在双曲线上,所以 , 代入化简得 ，
所以曲线 的方程为 . 9 分
(3)联立 得 ，
11 分
因为 在曲线 上,所以 ,
因为 ,所以 ; (直接写出焦半径公式不扣分)
设 中点为 ,要证 ,只需证 ,即证 , 13 分
又由 以及 (2) 得
所以 ,
即 , 15 分
,
所以 ,所以 . 17 分
19.已知函数 . (e 为自然对数的底数, )
(1)证明: 当 时, ;
(2)关于 的方程 的一个实数根为 ，其中 ，
① 求实数 的取值范围;
② 证明: .
【解析】(1) 设 ,则 ; 2 分
所以 在 上单调递减,在 上单调递增;
因为 ,
所以 时 恒成立,即 . 5 分
(2)① 由 得 ，两边取对数得 ，
令 ,则 ,从而有 ; 7 分
设 . 则 ;
所以 ,在 上单调递增; 因为 ;
故实数 的取值范围 . 10 分
方法一:②要证 ，只需证 ，
因为 ,要证 ,只需证 时, ,
只需证一 . 上式显然成立; 12 分
要证 ,只需证 ,
因为 ,所以 ,由 (1) 知 时, , 15 分
所以 ,即 ,解得 ,所以 ;
于是 成立. 17 分
方法二: ② 要证 ,只需证 ,
因为 ,只需证 ,只需证 ,上式显然, 12 分
,要证 ,只需证 ,
因为 ,故只需证 ,只需证 ,
两边平方,消去 ,只需证 , 13 分
注意到 ,所以只需证 ,只需证 , 15 分
只需证 ,
构造函数 ,则 ,
易求 在 的最大值小于 0, 故 成立. 17 分门票价格 (元/人)
40
50
60
70
80
日游客人数 (千人)
18
17
13
7
5