数学八年级上册（2024）22.1 直角三角形练习

这是一份数学八年级上册（2024）22.1 直角三角形练习，共6页。试卷主要包含了选择题，四象限坐标轴夹角平分线上，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.下列由三条线段a、b、c构成的三角形：① a=2mn ， b=m2−n2 ， c=m2+n2m>n>0 ， ② a=2n+1 ， b=2n2+2n+1 ， c=2n2+2nn>0 ， ③ a=3k ， b=4k ， c=5kk>0 ， ④ a:b:c=1:3:2 ， 其中能构成直角三角形的有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
2.点 P在 ∠AOB的角平分线上，点 P到 OA边的距离等于 5 ， 点Q是 OB边上的任意一点，则 PQ的长度不可能是（ ）
A . 6 B . 5 C . 4 D .12
3.如图，长方体的长为 3cm ，宽为 2cm ，高为 4cm ，点 B 到点 C 的距离为 1cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的最短距离是（ ）
A . 4 B . 5 C . 29 D .37
4.根据下列条件分别判断以a，b，c为三边的 △ABC ， 不是直角三角形的是（ ）
A .∠A=12∠B=13∠C
B .a:b:c=12:13:5
C .∠C=∠A−∠B
D .∠A:∠B:∠C=3:4:5
5.由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A . a=1，b=2，c=3
B . a=2，b=3，c=4
C . a=3，b=4，c=5
D . a=4，b=5，c=6
6.下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A . 三内角之比为1：2：3
B . 三边长的平方之比为1：2：3
C . 三边长之比为3：4；5
D . 三内角之比为3：4；5
7.如图，三个正方形围成一个直角三角形， 64、 400分别为所在正方形的面积，则图中字母 M所代表的正方形面积是（ ）
A . 336 B . 396 C . 464 D . 368
8.在如图中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（ ）
​
A . △ABE≌△ACF
B . 点D在∠BAC的平分线上
C . △BDF≌△CDE
D . 点D是BE的中点
9. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A . 13cm B . 2 61cm C . 61cm D . 2 34cm
10.已知点Px，y满足x 2-y 2=0，则点P的位置是 （ ）
A . 在x轴或y轴上
B . 在第一、三象限坐标轴夹角平分线上
C . 在第二、四象限坐标轴夹角平分线上
D . 在坐标轴夹角平分线上
二、填空题
1.在一个长为5 米， 宽为3米的长方形草地 ABCD上， 如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽 AD ， 木块的主视图是边长为1 米的正三角形， 一只蚂蚁从 点 A处到 C处需要走的最短路程是 ________ 米.
2.我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若 AC=6 ， CD=2 ， 则长方形的面积为 ________ ．
3.若 a、 b、 c是 △ABC的三边，且满足 a−b2=c2−2ab ， 则 △ABC的形状是 ________ ．
4.在直角三角形中，两直角边长分别为2和 3 ， 则斜边长为 ________ ．
5.已知实数 a，b 为△ABC的两边，且满足 a−2+b2−6b+9=0 ，第三边 c=13 则第三边c上的高的值是 ________ ．
6.所谓的勾股数就是指使等式a 2+b 2=c 2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m 2﹣n 2 ， b=2mn，c=m 2+n 2 ， 则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和 ________ 组成一组勾股数．
7.如图，点C在直线AB上，按如下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作圆弧，交AB于点D、E；②分别以点D、E为圆心，大于 12​DE的长为半径作圆弧，两弧相交于点F；③作直线CF，连结DF、EF．若∠FDC=50°，则∠CFE的大小为 ________ 度．
8.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为 ________
9.构图法是解决数学问题的一种常见的方法．比如：在 △ABC中， AB、 BC、 AC三边的长分别为 5、 10、 13 ， 求这个三角形的面积．可以先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1) ， 再在网格中画出格点 △ABC（即 △ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需求 △ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．试运用构图法求 m2+2m+2+m2−6m+34的最小值为 ________ ．
三、作图题
1.有一张图纸被损坏，但上面有如图的两个标志点A（-3，1），B（-3，-3）可认，而主要建筑C（3，2）破损.
（1） 建立直角坐标系；
（2） 标出图中C点的位置；
（3） 求出线段AC的长.
2.作图：
（1） 在图1中，画出△CDE关于直线AB的对称图形△C'D'E'
（2） 在图2中，已知∠AOB和C、D两点，在∠AOB内部找一点P，使PC=PD，且P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．
3.确定合适的数轴，在数轴上画出表示 −10−1 的点 A 和表示 13 的点 B ．
4.如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置.（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，要写明结论）
5.居委会要在街道旁修建一个奶站 P ， 向居民区 A,B提供牛奶．奶站 P应建在什么地方，才能使从 A,B到它的距离之和最短？
小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得 A点的坐标为 0,3,B点的坐标为 6,5 ．
（1） 小聪利用轴对称图形的性质找到奶站 P ． 你在图中标出奶站 P的位置（不写作法，保留作图迹）
（2） 求出 A,B两点到奶站 P的最小距离．
四、综合题
1.如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1） 求修建的公路CD的长；
（2） 若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
2.如图①，直线AB与x轴正半轴交于A（a，0）与y轴正半轴交于B（0，b）.
（1） 若a+b=8，且 1a+1b=12 ，求△AOB的面积；
（2） 若分式 a−ba+b 的值为0，过点B作BC平分∠OBA交x轴于C点，求证： BO+OCAB=1 ；
（3） 如图②，在（2）的条件下，过O点作OD⊥BC于D点，求 BC−2CDOD 的值.
3.解答题．
（1） 如图，将边长为8cm的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中点 E 处，点 A 落在 F 处，折痕为 MN ，求线段 CN 的长．
（2） 已知实数 x ， y 满足 x−2y−3+(2x−3y−5)2=0 ，求 x−8y 的平方根和立方根．
五、解答题
1.如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有 C处需要爆破．已知点 C与公路上的停靠站 A、B的距离分别为 300m和 400m ， 且 AC⊥BC ， 为了安全起见，如果爆破点 C周围半径 250m的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路 AB段是否需要暂时封闭，为什么？

2.（1）画出“弦图”，并利用“弦图”证明勾股定理．
（2）如图，是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c．请利用这个图形验证勾股定理．
3.剪纸面塑、年画风筝、中医问诊、美食扎堆……在开封市“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离 BD为 15m；根据手中余线长度，计算出 AC的长度为 17m；牵线放风筝的手到地面的距离 AB为 1.5m ． 已知点 A，B，C，D在同一平面内．

（1） 求风筝离地面的垂直高度 CD；
（2） 在余线仅剩 7m的情况下，若想要风筝沿射线 DC方向再上升 12m ， 请问能否成功？
4.【问题背景】
已知 ∠MON=90° ， 点A，B分别在 OM，ON上运动（不与点O重合）．
【问题思考】
（1）如图①，若 AE，BE分别是 ∠BAO和 ∠ABO的平分线，随着点A，B的运动，则 ∠AEB= ．
（2）如图②，若 BC是 ∠ABN的平分线， BC的反向延长线与 ∠OAB的平分线交于点D．
①若 ∠BAO=70° ， 则 ∠D= ．
②随着点A，B的运动， ∠D的度数会变吗？如果不会，求 ∠D的度数；如果会，请说明理由；
【问题拓展】
（3）如图③，在题（2）题干的基础上，如果 ∠MON=α ， 其余条件不变，随着点A，B的运动， ∠D= ． （用含α的代数式表示）．
5.一辆卡车装满货物后，高4m，宽2.8m，这辆卡车能通过横截面如图所示的隧道吗？
六、阅读理解
1.[阅读理解]
如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长.
解：设BD＝x，则CD＝7﹣x.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2 ，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2 ，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2.
又∵AB＝4，AC＝6，
∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2.
解得x＝ 2914 ，
∴BD＝ 2914 .
∴AD＝ AB2−BD2 ＝ 325514 .
[知识迁移]
（1） 在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D.
i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长；
ii）若AD＝12，求线段BC的长.
（2） 如图2，在△ABC中，AB＝ 2545 ，AC＝ 5292 ，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ ABD' ，连接CD′，若AD＝ 252 ，求线段 CD' 的长.
2.[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；
[定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；
[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为a，b，斜边长为c的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
[知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明 a+bc＜ 2 ， 其证明步骤如下：
∵BC=a+b，AD= ________ ，
又∵在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即 ，
∴ a+bc＜ 2 ．