初中数学沪教版（五四制）（2024）八年级上册（2024）22.1 直角三角形精练

这是一份初中数学沪教版（五四制）（2024）八年级上册（2024）22.1 直角三角形精练，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.如图1是边长分别为 a,b的两个正方形，经如图2所示的割补可以得到边长为 c的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和．利用这个方法可以推得或验证勾股定理．现请你通过对图2的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是（ ）
A . 割⑤补⑥ B . 割③补① C . 割①补④ D . 割③补②
2.如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，已知平板宽度 AB为 16 cm ， 支架脚 BC的长度为 12 cm ， 当 ∠ABC=90°时，可测得 AC=20 cm ， 保持此时 △ABC的形状不变，当 CB平分 ∠ACD时，点 B到 CD的距离是（ ）
A . 8 cm B . 8.6 cm C . 9 cm D .9.6 cm
3.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ）
A . 两条直角边对应相等
B . 两个锐角对应相等
C . 一条直角边和它所对的锐角对应相等
D . 一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
4.下列是勾股数的一组是（ ）
A . 4，5，6 B . 5，7，12 C . 3，4，5 D . 12，13，15
5.已知 AD是 △ABC的高， ∠BAD=70° ， ∠CAD=20° ， 则 ∠BAC的度数为（ ）
A . 90° B . 50° C . 90°或 50° D . 90°或30°
6.△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A . a2＋b2＝c2
B . ∠A＝∠B＋∠C
C . ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D . a＝5，b＝12，c＝13
7.下面的四组数中不是勾股数的一组是（ ）
A . 3，4，5 B . 5，12，13 C . 0.8，1.5，1.7 D . 6，8，10
8.要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物3m，顶端离地面4m，则梯子的长度为（ ）
A . 2m B . 3m C . 4m D . 5m
二、填空题
1.某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为 163米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点 A处设有一个检修入口，在罐顶与点 A相对的边缘点 B处设有一个观测窗口．现需从检修入口 A到观测窗口 B沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是 ________ ．（π取3）
2.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ________ .
3.所谓的勾股数就是指使等式a 2+b 2=c 2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m 2﹣n 2 ， b=2mn，c=m 2+n 2 ， 则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和 ________ 组成一组勾股数．
4.有一根长24cm的小木棒，把它分成三段，组成一个直角三角形，且每段的长度都是偶数，则三段小木棒的长度分别是 ________ cm， cm， ________ cm．
5.一棵树在离地面 3m处折断，树的顶端落在离树干底端 4m处，这棵树折断之前的高度是 ________ m ．
6.在一个长为5 米， 宽为3米的长方形草地 ABCD上， 如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽 AD ， 木块的主视图是边长为1 米的正三角形， 一只蚂蚁从 点 A处到 C处需要走的最短路程是 ________ 米.
7.如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千 AB在静止位置时，下端B离地面 0.6尺，荡秋千到 AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离 EB等于3尺，距地面 1.6尺，则秋千 AB的长为 ________ 尺．
8.若点P在x轴上，点A（1，1），O是坐标原点，且△AOP是等腰三角形，则点P的坐标是 ________ ．
三、作图题
1.问题背景：
在 △ABC中， AB、 BC、 AC三边的长分别为 5、 10、 13 ， 求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点 △ABC（即 △ABC三个顶点都在小正方形的顶点处， AB=22+12=5 ， BC=10 ， AC=13），如图①所示．这样不需求 △ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求 △ABC面积的方法叫做构图法．
（1） 请你将 △ABC的面积直接填写在横线上：______．
（2） 思维拓展：若 △ABC三边的长分别为 5a、 22a、 17aa>0 ， 请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的 △ABC ， 并求出它的面积．
（3） 探索创新：若 △ABC三边的长分别为 m2+16n2、 9m2+4n2、 2m2+n2（ m>0 ， n>0 ， 且 m≠n），求这个三角形的面积．
（4） 直接写出当x为何值时，函数 y=x2+9+12−x2+4有最小值，最小值是多少？
2.定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1） 概念理解；如图1，在 △ABC 中， ∠C=90° ，作出 △ABC 的共边直角三角形（画一个就行）．
（2） 问题探究，如图2，在 △ABC 中， ∠ACB=90° ， AC=6 ， BC=8 ， △ABD 与 △ABC 是共边直角三角形．连接 CD ．当 CD⊥AB 时，求 CD 的长．
（3） 拓展延伸，如图3所示， △ABC 和 △ABD 是共边直角三角形， BD=CD ，求证： AD 平分 ∠CAB ．
3.如图，所给方格图中每个小正方形的边长均为1.
（1） 在图①中画出 ΔABC关于直线MN对称的 △A1B1C1；
（2） 如图②，AC是直线MN同侧固定的两个点：
(i)请直接写出线段AC的长度；
(ii)请在直线MN上画一点B，使 AB+BC的值最小
4.如图：某通信公司在 A区 要修建一座信号发射塔 M ， 要求发射塔到两城镇 P、 Q的距离相等，同时到两条高速公路 l 1、 l 2的距离也相等．请用直尺和圆规在图中作出发射塔 M的位置．（不写作法，保留作图痕迹 ）
四、综合题
1.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向 AB 由 A 行驶向 B ，已知点 C 为一海港，且点 C 与直线 AB 上的两点 A ， B 的距离分别为 AC=300km ， BC=400km ，又 AB=500km ，以台风中心为圆心周围 250km 以内为受影响区域．
（1） 求 ∠ACB 的度数．
（2） 海港 C 受台风影响吗？为什么？
（3） 若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点 E 处时，海港 C 刚好受到影响，当台风运动到点 F 时，海港 C 刚好不受影响，即 CE=CF=250km ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
2.一架云梯长25 m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7 m.
（1） 这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2） 如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底部在水平方向也是滑动了4 m吗？
3.“新冠肺炎”疫情牵动着14亿中华儿女的心，渠县人民政府积极响应国家号召，及时对广大人民群众进行疫情防控宣传.如图，一笔直公路MN，村庄A到公路MN的距离为600 m，若在宣传车P方圆1000 m以内能听到广播宣传，那么宣传车P在公路MN上沿MN方向行驶时：
（1） 村庄能否听到宣传？请说明理由.
（2） 如果能听到，已知宣传车的速度是200 m/min，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
五、解答题
1.若实数x的立方根是2，且实数y、z满足 y−z+22=−y−15 ．
（1） 分别求x、y、z的值；
（2） 若x、y、z是 △ABC的三边长，试判定 △ABC的形状，并说明理由；
（3） 求其最大边上的高．
2.小明想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆顶上的绳子BD垂到地面还多CD=1米，当他把绳子的下端D拉开5米到后，发现下端D刚好接触地面A．你能帮他把旗杆的高度求出来吗？
3.如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向 340km的B处有一台风中心，沿 BC方向以 15km/h的速度移动，已知城市A到 BC的距离 AD为 160km ．
（1） 台风中心经过多长时间从B点移到D点？
（2） 如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？
六、阅读理解
1.[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；
[定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；
[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为a，b，斜边长为c的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
[知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明 a+bc＜ 2 ， 其证明步骤如下：
∵BC=a+b，AD= ________ ，
又∵在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即 ，
∴ a+bc＜ 2 ．
2.（1）【阅读理解】如图①，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90° ， CD是斜边 AB上的中线．试判断 CD与 AB的数量关系．解决此问题可以用如下方法：延长 CD至点E，使 DE=CD ， 连接 AE ， BE ． 易证四边形 ACBE是矩形，得到 AB=EC ， 即可作出判断．则 CD与 AB的数量关系为 ；
（2）【问题探究】如图②，直角三角形纸片 ABC中， ∠ACB=90° ， 点D是 AB边的中点，连接 CD ， 将 △ACD沿 CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有 CE⊥AB ． 若 BC=2 ， 求 CE的长度；
（3）【拓展延伸】如图③，在等腰直角三角形 ABC中， AC=BC=4 ， ∠C=90° ， D是边 AB的中点，E，F分别是边 AC ， BC上的动点，且 DE⊥DF ， 当点E从点A运动到点C时， EF的中点M所经过的路径长是多少？