福建省泉州市2023~2024学年高一下学期7月期末教学数学试卷[附解析]

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2024.07
本试卷共19题，满分150分，共8页．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2，考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足（i为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D. 5
2. 从甲、乙、丙三所学校中随机抽取210名学生，接受省级高中体育与健康教育质量监测．已知甲、乙、丙三所学校的学生人数分别为400，700，1000，若按各校人数分层抽样，则从甲学校中应抽取的学生人数为（ ）
A. 40B. 50C. 60D. 70
3. 单位向量满足，则和夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图是一个鲜花包装盒，形状近似于高为12cm的正四棱台，其两个底面边长分别为8cm和10cm．若忽略材料厚度，则该包装盒的容积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数据的均值为3，方差为1，则数据的均值和方差分别为（ ）
A. 9，5B. 6，5C. 9，4D. 6，4
7. 已知直线，平面，则的充分条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
8. 《周易·系辞》曰：易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．如图1是八卦模型图，图2是根据八卦图抽象而得的正八边形与其内部的圆，其中，圆的直径为为正八边形的中心，为正八边形边上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分．
9. 已知为复数，则下列命题正础的是（ ）
A. 若，则B.
C. 若，则D.
10. 第75届联合国大会上，我国向世界郑重承诺力争在2030年前实现碳达峰，努力争取在2060年前实现碳中和.2021年全国两会的政府工作报告明确提出要扎实做好碳达峰、碳中和的各项工作，大力发展新能源．常见的新能源主要有潮汐能、风能、太阳能和地热能等．下图为2015年与2020年我国新增电力装机结构对比，则（ ）
A. 2015年我国新增电力装机中，火电装机占比最大
B. 2020年我国新增电力装机中，风电装机数多于火电装机数
C. 2020年我国水电新增装机数少于2015年
D 2020年我国新增电力装机结构中，新能源装机占比大于2015年
11. 正方体中，分别为的中点，为侧面内一点，则（ ）
A. 存在点，使得平面
B. 线段上不存在点，使与所成角为30°
C. 当∥平面时，的最大值为
D. 当点为侧面中心时，平面截正方体所得的截面为五边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，若，则______．
13. 已知中，，向量在向量上的投影向量为，则______．
14. 已知圆锥顶点和底面圆周都在球的球面上，且母线长为2，为其底面圆周上的两点，若面积的最大值为，则球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，的内角所对的边分别为为外一点，，．

（1）求；
（2）若，求的面积．
16. 盒子中有4个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从盒子中有放回地随机两次摸出小球，每次摸出一个小球．
（1）求两次摸到的小球数字之和为偶数的概率；
（2）设事件“两次摸到的小球数字之和是质数”，事件“第1次摸到的小球数字为奇数”，事件“第2次摸到的小球数字为奇数”，求．
17. 如图，三棱柱中，平面平面，，．
（1）求三棱柱的体积；
（2）求证：．
18. “泉州：宋元中国世界海洋商贸中心"于2021年7月25日成功列入《世界遗产名录》，成为中国第56处世界遗产，泉州在持续做好世界遗产保护的同时，积极推动文化和旅游的深度融合，在2024年“五一”假期期间，为了解全国各地游客对泉州某景点的满意度，景区在该景点向游客做随机问卷调查，收集了1000份问卷，并统计每份问卷的得分（百分制），绘制了如下频率分布直方图：
（1）求a；
（2）估计该满意度得分的第一四分位数和总体平均数；
（3）已知填写问卷的游客中，儿童、中青年人、老年人的比例为1∶7∶2，其中儿童游客满意度得分的平均数为86，方差为45.15；老年人游客满意度得分的平均数为96，方差为10.55．请结合频率分布直方图，估计中青年游客对该景点满意度得分的平均数和方差．
19. 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（1）写出复数的三角形式；
（2）阅读材料：
数学家布鲁克·泰勒提出利用多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线的泰勒公式，在近似计算、函数拟合和计算机科学上有着举足轻重的作用．如下列常见函数的阶泰勒展开式为：
，
，
，其中，读作的阶乘．
数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数联系在一起创造了欧拉公式：，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．
数学家棣莫弗发现，则．特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理，该定理为概率论的发展做出重要的贡献．
①利用泰勒展开式求的近似值（精确到0.001）；
②设，求集合的元素个数．