安徽省芜湖市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监控 数学试卷（含解析）

这是一份安徽省芜湖市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监控 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了 已知，若，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本卷共四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页.
3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的.
4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 为虚数单位，则（ ）
A. 0B. 1C. D. 2
【答案】C
【详解】，所以，
故选：C.
2. 数据的第百分位数为（ ）
A. 7B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【详解】首先将数据从小到大排序：
由题意可知：，则从小到大第8个数为.
故选：C
3. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ）
A. 4B. C. D. 2
【答案】A
【详解】.
故选：.
4. 在正方体中，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 平面D. 平面
【答案】B
详解】对于A，如图所示，取中点，
由题意，所以四边形是平行四边形，
所以，又因，
所以，所以四边形是平行四边形，
故所成角即为，不妨设正方体棱长为2，
则，
所以，故，即不成立，故A错误；
对于B，如图所示，
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为为的中点，所以，
所以，故B正确；
对于C，如图所示，
由A可知，，而，
所以，即与不垂直，
而，所以与不垂直，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，
所以与不垂直，而平面，
所以平面不可能成立，故C错误；
对于D，如图所示，
因为，平面，所以与平面也相交，故D错误.
故选：B.
5. 已知，若，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【详解】，
因为，
所以，解得.
故选：.
6. 有八张卡片，分别标记数字，从中随机抽取一张，记录它的数字，记“数字为偶数”为事件，记“数字大于4”为事件，记“数字为”为事件，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件与事件为互斥事件
B.
C. 事件与事件不是独立事件
D.
【答案】D
【详解】事件，事件，事件，
因为，所以事件与事件不是互斥事件，A错误；
，所以，又因为，所以 ，B错误；
，所以，
所以，事件与事件独立事件，C错误；
，所以，所以，D正确；
故选：D.
7. 如图所示，四棱锥，底面是边长为4的正方形，棱底面，且分别是，的中点，是线段上的动点，则（ ）
A. 一定为锐角B. 一定为直角
C. 一定为钝角D. 锐角､直角､钝角均有可能
【答案】A
【详解】因为底面是正方形，所以，又因为底面，所以两两垂直，
所以，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，因为在线段上，所以，
所以，
则，
所以，
所以一定是锐角，
故选：A.
8. 已知，均为正整数，这七个数的平均数为3，方差为，若从这7个数中随机抽取一个数，则该数为奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】根据题意，七个数的平均数为，
所以，
且方差为，所以，
因为均为正整数，所以为自然数，
分析的可能取值为，
若有2个或2个以上9，则不满足；
若有1个9，则有3个1，3个0，结合，
则的可能组合为，
若有2个4，则有4个1，1个0，结合，
则的可能组合为或或，
不管是哪种组合，7个数中都有3个奇数，
所以从这7个数中随机抽取一个数，则该数为奇数的概率为.
故选：B.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.
9. 某学生一日时间分配饼形图，如图，下列说法正确有（ ）
A. 该饼形图为某一位中学生的一日时间分配情况
B. 该饼形图为中学生这个群体的平均一日时间分配情况
C. 该图表明中学生一日睡眠时间约为7小时
D. 该图表明中学生一天花费在课外活动的时间与自由活动､通勤时间总和相当
【答案】BCD
【详解】根据题意，上图为中学生一日时间分配饼形图，
不能确定是某一位中学生的具体一日时间分配，故A错误；
该饼形图为中学生这个群体的平均一日时间分配情况，B正确；
该图表明中学生一日睡眠时间约为小时，从而估计中学生一日睡眠时间约为7小时，C正确；
该图表明中学生一天花费在课外活动的时间为小时，
自由活动､通勤时间总和为小时，
故中学生一天花费在课外活动的时间与自由活动､通勤时间总和相当，D正确.
故选：BCD
10. 已知为边上一点，满足，则下列选项正确的有（ ）
A. 当时，
B. 无论取何值，均有
C. 当时，
D. 当过三角形内心时，
【答案】BC
【详解】
根据题意，，
所以，
当时，则，
所以，A错误；
无论取何值，，即，B正确；
当时，，
则
，C正确；
当过三角形内心时，即为角的角平均分线，
则，即，D错误.
故选：BC
11. 如图，在直三棱柱中，，点是线段上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当为的中点时，平面
B. 的最小值为
C. 当为三等分点（靠近）时，平面截该几何体的截面面积为
D. 四面体的外接球表面积最大值为
【答案】ACD
【详解】对于A，在直三棱柱中，平面，平面，所以，
因为，为中点，所以，
又平面，
所以，即平面，故A正确；
对于B，将翻折到与矩形共面，如图所示，

连接与相交于点，此时取得最小值，
在中，，，
由余弦定理可得，故B错误；
对于C，如图所示，过点作，交于点，
因为，所以，所以四点共面，
故平面截该几何体的截面为梯形，
因为平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
因为，为三等分点（靠近），
所以，
所以梯形的面积为，故C正确；
对于D，如图所示，取的中点，
因为三角形是直角三角形所以点为三角形的外心，
三角形的外接圆半径为，
而，所以四边形为平行四边形，
所以，因平面，所以平面，
四面体的外接球球心在直线上，不妨设为点，
记四面体的外接球半径为，，
显然首先有，
其次由可得，，
所以，
所以当时，取得最大值，
即点与点或重合时，取得最大值，
所以四面体的外接球表面积最大值为，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 数据的平均数为1，则数据的平均数为__________.
【答案】6
【详解】数据的平均数为1，则数据的平均数为.
故答案为：6.
13. 已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______.
【答案】
【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，
则，解得.
故答案为：.
14. 长度分别为4和的线段、交于点，并且满足，，记，则__________.
【答案】##
【详解】设，
则在、中分别利用正弦定理得，
，，
则，，，，
因，则，
，
两式相除得，，
化简得，
因，则，则，
则，
即，得或（舍），
则，，
代入中有，
得，
故.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出过程或演算步骤.
15. 如图，在矩形中，点是线段的中点，，若，记.
（1）试用表示；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
由题意；
【小问2详解】
，
所以.
16. 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：.
（1）求图中的值以及估算成绩的众数；
（2）从成绩不低于80分的学生中，利用分层抽样抽取4人，再从这4人中随机选取2人座谈，求该2人中成绩均在80分至90分之间（含80分不含90分）的概率.
【答案】（1）；75
（2）
【小问1详解】
由，解得，
由图可知众数为.
【小问2详解】
抽取的4人中成绩在80分至90分之间的有：人，
成绩在90分至100分之间的有1人.
记成绩在80分至90分之间的为，成绩在90分至100分之间的为，
4人中随机选取2人的情况有：，共6种，
成绩均在80分至90分之间的有：，共3种，
所以2人中成绩均在80分至90分之间的概率为.
17. 如图，等腰直角三角形分别为边的中点，将沿着折起，使得点不在平面内，形成三棱锥.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥体积的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
因为分别为的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
当为三棱锥的高时，三棱锥的体积最大，
即当时，三棱锥的体积最大，
由题意得，
又，平面，
所以平面，
由题意得，
所以.
所以三棱锥体积的最大值为.
18. 在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积的最大值；
（3）若的角的外角平分线交直线于点，且，求长.
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
由，得，即
利用正弦定理，代入化简：
又，代入后得：
因，两边除以，得，即
又，故
【小问2详解】
由余弦定理，代入得：
由均值不等式，得，即
面积，故最大值为
【小问3详解】
由题意，，
所以，即，
所以，
因此，.
19. 如图，在多面体中，平面平面平面和均为正三角形，.
（1）求证：；
（2）求多面体的体积；
（3）求平面与平面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）
【小问1详解】
如图所示，取中点，连接，
由题意，而平面，
所以平面，
因为平面平面，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，所以四点共面，
所以平面，即平面，
因为平面，
所以；
【小问2详解】
因为，平面，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为平面平面，，平面，
所以平面，
因为和均为正三角形，，
所以点到平面的距离为，
因为平面，
所以多面体的体积为；
【小问3详解】
因为平面，平面，
所以，而，
所以两两互相垂直，
所以以点为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得，
所以平面的一个法向量可以为，
显然平面的一个法向量可以为，
所以平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值为，
故所求为.