安徽省蚌埠市重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末监测考试 数学（含解析）

这是一份安徽省蚌埠市重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末监测考试 数学（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若复数满足（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度而得到B．向右平移个单位长度而得到
C．向左平移个单位长度而得到D．向右平移个单位长度而得到
5．在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．2
7．如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（ ）
A．B．C．D．40
8．已知某圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则经过该圆锥顶点的截面面积最大值是（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题
9．已知复数（i为虚数单位），则下面结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数在区间上恰有两个零点，则的可能取值为（ ）
A．B．3C．4D．
11．在直三棱柱中，，且，分别是棱的中点，为棱上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．当是的中点时，平面
D．当是的中点时，点和到平面的距离之比是
三、填空题
12．已知向量，且，则 .
13．已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为 .
14．在中，所在平面内的点满足：，，则 .
四、解答题
15．已知平面向量满足.
(1)求向量与的夹角；
(2)求向量的模.
16．在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为.
(1)若顶点的坐标为，求的面积；
(2)若，求锐角周长的取值范围.
17．如图，是圆柱的两条母线，，是圆的直径，，且是母线上的动点.
(1)求证：平面平面；
(2)若是线段的中点，求直线与所成角的余弦值；
(3)若四面体的体积为，圆柱的体积为，求的值.
18．已知.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的的取值；
(3)若为锐角，，求.
19．欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即.欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.当时，得到等式，数学里最重要的五个常数被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美.
(1)证明：若，则与互为共轭复数；
(2)已知，欧拉公式在复数集内可推广为，需要指出的是，和是复数，它们不是的实部和虚部，且.容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即.定义函数，.证明：；
(3)若，令，证明：.
1．C
解方程求出复数的具体形式，确定实部和虚部的符号，从而确定对应点所在象限.
【详解】已知，则，分子分母同时乘以，
复数对应点，实部为负，虚部为负，所以该点位于第三象限.
故选：C.
2．C
对A，利用余弦函数的周期性判断；对B，由是奇函数，可判断；对C，作出函数的图象可判断；对D，举反例说明周期不是.
【详解】对于A，的最小正周期为，不合题意，故A错误；
对于B，是奇函数，不合题意，故B错误；
对于C，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，函数是最小正周期为的偶函数，故C正确；
对于D，设，因为，
，所以，
所以的周期不是，故D错误.
故选：C.
3．B
利用充分、必要条件的定义，结合空间线线位置关系判断即得．
【详解】若，则可能平行，相交，异面，所以不能推出，
若，则，
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
4．A
根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可.
【详解】因为，
所以将函数的图象向左平移个单位长度而得.
故选：A.
5．A
利用向量的线性运算结合已知条件把用表示，再由平面向量基本定理可求得的值，从而可求得答案.
【详解】如图，由题，，
，
所以.
故选：A.

6．B
由两角和的正切公式可得，再将所求式子弦化切得解.
【详解】因为，所以，即，
，
.
故选：B.
7．D
在中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出.
【详解】在中，，则，
由图，可知，，
则，
在中，由正弦定理，得，
在中，.
故选：D.
8．D
利用展开图的圆心角和半径，结合扇形弧长等于圆锥底面周长，求出底面半径，再用勾股定理求出高，设底面圆上弦的中点到圆心的距离为m，其面积由底边长和顶点到底边的距离决定，即，通过函数极值法，求导数确定m后求解.
【详解】扇形弧长为，圆锥底面周长为，故：
母线长，根据勾股定理：
设底面圆上弦的中点到圆心的距离为m，则弦长，顶点到的距离为，则面积：
代入,得函数仅在时定义，即.
解，即
此时
故选：D.
9．BD
根据共轭复数，复数模的公式，复数运算逐一计算判断.
【详解】对于A，由，则，所以，故A错误；
对于B，，，故B正确；
对于C，，，故C错误；
对于D，由，则，，
所以，故D正确.
故选：BD.
10．BCD
利用辅助角公式化简函数解析式，再结合零点条件得出ω的取值范围，验证选项即可.
【详解】，
令，得，
因为，所以，
因为函数在区间上恰有两个零点，
即在区间上恰有两个实根，
所以，即，
因为，，故A错误；BCD正确，
故选：BCD.
11．ABC
对A，连接，易证平面，得，，可证平面，得解；对B，沿将与矩形铺平，当三点共线时，最小，运算得解；对C，证明平面，平面，可得平面平面，由面面平行的性质得解；对D，由平面，得点与点到平面的距离相等，又点与点到平面的距离相等，设，可得，所以点与点到平面距离之比为，得解.
【详解】对于A，连接，因为，则，
又平面，平面，所以，
又平面，，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以侧面是正方形，故，
又平面，且，
所以平面，
又平面，所以，故A正确；
对于B，如图，沿将与矩形铺平，
由A，平面，则，即，
所以当三点共线时，最小，
又， ，
则，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，如图，连接，因为分别是的中点，
所以，平面，平面，故平面，
同理，可证平面，
又是平面内两条相交直线，所以平面平面，
又平面，故平面，故C正确；
对于D，由C，知平面，所以点与点到平面的距离相等，
又是的中点，故点与点到平面的距离相等，
设，因为分别是的中点，侧面是正方形，
所以，所以点与点到平面距离之比为，
即点与点到平面距离之比为，故D错误.
故选：ABC.
12．/
根据向量的线性运算的坐标表示求得，再根据两向量平行的坐标关系运算得解.
【详解】，，
由，则，解得.
故答案为：.
13．
根据勾股定理逆定理，构造长方体，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可.
【详解】因为，
显然有，，，
因此两两互相垂直，补成长方体如图所示：
该长方体的对角线长为，
所以该三棱锥的外接球的半径为，
因此该三棱锥的外接球表面积为，
故答案为：

14．/
以点为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，设，由，得，在中，由余弦定理结合，可得点的坐标，进而得解.
【详解】由，则，
如图，建立平面直角坐标系，则，，，
设，则，，
由，则，即，（*）
又，，（结合*式化简）
在中，由余弦定理，，
所以，
所以，，
两边平方可得，结合，
得，因为,
所以，即，
联立，消去得，，
解得或，
当时，因为，得，即，
当时，得，即，此时，，
而，所以，不合题意.
所以点的坐标为.
所以.
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）由题，结合向量数量积的运算律求得，利用向量夹角公式求解；
（2）将向量的模长转化为向量的数量积运算得解.
【详解】（1）由题意，
所以，
即，
.
.
.
（2）.
16．(1)
(2)
（1）利用向量夹角公式求出，结合平方关系求得，由三角形面积公式得解；
（2）由正弦定理可得，结合条件和三角恒等变换化简可得，结合角的范围求解，从而得到答案.
【详解】（1）由题意， ，
，
，
所以的面积为.
（2）设角所对的边分别分，
，
，
，
因为是锐角三角形，，得，
，故，
，
即周长的取值范围为.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）由题可得平面，得，结合条件，可证平面，由面面垂直的判定定理得证；
（2）连接，易得为所求角，求出，得解；
（3）易知平面，可得到平面的距离等于点到平面的距离，则，运算得解.
【详解】（1）由题意平面，又平面，
，
又，平面，
平面平面，
平面平面.
（2）连接，因为，所以为所求角，
依题意，，所以，
又为正方形的边的中点，所以，
故.
所以.
所以直线与所成角的余弦值为.
（3）平面平面
平面，
到平面的距离等于点到平面的距离，
，
.
18．(1)
(2)当时，，当时，
(3)
【详解】（1）
，
令，解得，
函数的单调递增区间为.
（2），，
时，即时，，
时，即时，.
（3），
为锐角，，
.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）证明：，
的实部为，虚部为
又的实部为，虚部为
与实部相同，虚部相反，互为共轭复数.
（2）代入双曲函数定义，应用三角函数加法公式：
（3）代入已知复数表达式并分离实部与虚部：
由，
，
得，
由，整理得题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
A
A
B
D
D
BD
BCD
题号
11









答案
ABC