安徽省芜湖市2022-2023学年高一下学期期末教学质量统测数学试卷(解析版)

这是一份安徽省芜湖市2022-2023学年高一下学期期末教学质量统测数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知向量，满足，，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由得.
故选：A.
2. 已知角的终边与单位圆的交点为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为角的终边与单位圆的交点为，所以.
故选：B.
3. 在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样和按比例分层抽样调查，小明调查的样本量为200，平均数为，小华调查的样本量为100，平均数为．则下列说法正确的是（ ）
A. 小明抽样的样本容量更大，所以更接近总体平均数
B. 小华使用的抽样方法更好，所以更接近总体平均数
C. 将两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数165.7更接近总体平均数
D. 样本平均数具有随机性，以上说法均不对
【答案】D
【解析】抽样的样本容量大但有时不具有代表性，不能得到样本平均值更接近总体平均数，故选项A错误；
使用分层的抽样方法样本更具有代表性，但样本容量太小也不能得到样本平均值更接近总体平均数，故选项B错误；
两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数同样兼具两者的不确定性，故选项C错误；
通过对上面三个选项的分析可知样本平均数具有随机性，故选项D正确.
故选：D.
4. 已知的三个角的对边分别为，且满足，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】因为，所以由正弦定理得，
所以，所以为等腰三角形.
故选：A.
5. PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地6月1日至10日的PM2.5日均值（单位：）的折线图，则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法错误的是（ ）
A. 众数为30B. 中位数为31.5
C. 平均数小于中位数D. 极差为109
【答案】C
【解析】众数即是出现次数最多的数字，由折线图可得，众数为30，即A正确；
将折线图中数字由小到大依次排序，得到：17，25，30，30，31，32，34，38，42，126；
处在中间位置的数字是：31，32，因此中位数为，即B正确；
由折线图可得，平均数为：，故C错；
根据极差概念，故D正确.
故选：C.
6. 已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若球的体积为，这两个圆锥的体积之和为，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，设圆锥与圆锥公共底面圆心为，两圆锥公共底面圆周上一点，
底面半径，设球心为，球的半径，
由已知球的体积为，则有
解得：
又有两个圆锥的体积之和为，则：，
解得：
∴在直角中，，
∵底面积相同的圆锥，高较大者体积较大，
∴体积较小圆锥的高
体积较大圆锥的高，
∴体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.
故选：D.
7. 点分别是函数图象上轴右侧第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为点分别是函数图象上轴右侧第一个最高点和第一个最低点，
所以令，得，
所以，，
所以.
故选：D.
8. 已知正方体的棱长为，为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，取的中点，分别连接，
在正方形中，因为分别为的中点，可得，
所以，，
因为，所以，所以，即，
又因为分别为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可证：，
又因为且平面，所以平面，
即平面截正方体的截面为，
由正方体的棱长为，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以截面的周长为.
故选：A.
二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的得0分．）
9. 已知复数满足，以下说法正确的有（ ）
A. B. 在复平面内对应的点在第一象限
C. D. 若是方程的一个根，则
【答案】BCD
【解析】由可得，
则，对应的点为，，故BC正确，A错误；
将代入得，
故，故D正确.
故选：BCD.
10. 下列说法正确的为（ ）
A. 数据2，2，3，5，6，7，7，8，10，11的下四分位数为8
B. 数据，，…，的标准差为，则数据，，…，的标准差为
C 如果三个事件两两互斥，那么成立
D. 对任意两个事件与，若成立，则事件与事件相互独立
【答案】BCD
【解析】对于A，由于，所以下四分位数为第三个数3，A错误；
对于B，设数据，，…，的平均数为，
则数据，，…，的平均数为，
标准差为
，B正确；
对于C，由于三个事件A，B，C两两互斥，所以，
所以
，C正确；
对于D，独立事件的定义，D正确．
故选：BCD．
11. 如图，已知是边长为4的等边三角形，分别是，的中点，将沿着翻折，使点运动到点处，得到四棱锥，则（ ）
A. 对任意的点，始终有平面
B. 对任意的点，始终有
C. 翻折过程中，四棱锥的体积有最大值9
D. 存在某个点的位置，满足平面平面
【答案】AB
【解析】等边边长为4，分别是，的中点，则，
对于A，由，平面，平面，得平面，
A正确；
对于B，取的中点，连接，由，得，
而平面，于是平面，又平面，
则，所以，B正确；
对于C，延长交于，则，等腰梯形的面积为
，由选项B知，平面平面，
而平面平面，因此点在平面上的射影在上，
点到平面的距离，
当且仅当，即平面时取等号，四棱锥的体积为
，C错误；
对于D，连接，由选项C知，，即为锐角，
令平面平面，
由选项A知，，从而平面，又平面，
则，
即是平面与平面所成二面角的平面角，
所以平面与平面不垂直，D错误.
故选：AB.
12. 已知，下面结论正确的是（ ）
A.
B. 若在上单调递增，则的取值范围是
C. 若，且的最小值为，则
D. 存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称
【答案】BD
【解析】，
，A错误；
选项B，由函数在上单调递增可得：，解得：，
又因为，所以的取值范围是，选项B正确；
选项C，若，，则的最小值为，
故选项C错误；
选项D，的图像向右平移个单位长度后得到的解析式为：
，
该图像要关于y轴对称，则需满足：，解得，
当时，，故D选项正确.
故选：BD.
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．）
13. 向量，，则在上的投影向量为______．
【答案】
【解析】在方向上的投影向量为.
故答案为：.
14. 如图，一个水平放置在桌面上的无盖正方体容器，，容器内装有高度为的水，现将容器绕着棱所在直线顺时针旋转，容器中水恰好未溢出，则______．
【答案】1
【解析】因为容器是正方体，所以绕着棱A1B1所在直线顺时针旋转45°，
得到三棱柱，如图：
此时水占了该正方体体积的一半，则有．
故答案为：1．
15. 在对树人中学高一年级学生身高（单位：）调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的方差为______．
【答案】
【解析】依题意得，题干中人身高的平均数为：，
根据方差公式，总体的方差为：.
故答案为：.
16. 设样本空间含有等可能的样本点，且事件，事件，事件，使得，且满足两两不独立，则______.
【答案】
【解析】由题意，，所以，
所以是共同的唯一的样本点，又两两不独立，即，，
，
可见不可以为或，所以为或，即.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，其中第17，18，19题各8分，第20，21题各10分．）
17. 如图，在平行四边形中，，，，点是的中点，连接，记它们的交点为点，设，．
（1）用表示；
（2）求的余弦值．
解：（1）不难得出是一对相似三角形，且，故，
即，根据向量的加法法则，∴.
（2）由，，
于是，∴，
又，
∴.
18. 如图，在直三棱柱中，，D，E分别为和的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离．
解：（1）取的中点，连接，，
由且，可得四边形为平行四边形，
∴，
又面，面，
∴平面.
（2）因为，且D为的中点，则，
又因为平面，平面，则，
，平面，所以平面，
在中，，，，
，
设点到平面的距离为，
由，即，
则点到平面的距离为．
19. 无为板鸭是安徽省芜湖市无为市的一道传统特色美食，属于徽菜系，始创于清朝年间．不但本地人喜欢，也深受外来游客的赞赏．老马从事板鸭加工销售多年，为了进一步提高自家板鸭的销售量，老马随机的抽取了200位年龄处于岁的顾客进行板鸭口感度调查，记录给予口感好评的人数，得到如图所示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据．
（1）求的值；
（2）根据频率分布直方图，估计小马调查的这200位顾客年龄的平均值；
（3）从年龄段在的给好评人群中采取分层抽样的方法抽取6位顾客进行详细口感度调查，并从中选出两人各赠送一只板鸭，求选取的2名有赠品的顾客至少有一人年龄在中的概率．
解：（1）由题意得：，
.
（2）根据频率分布直方图，估计这200人年龄的平均值为：
.
（3）从年龄段在的给好评人中采取分层抽样的方法抽取6人进行调查，
从中选：人，分别记为A，B，C，D，
从中选：人，分别记为a，b，
在这6人中选取2人，所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），
（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），
（a，b），共15种，
选取的2名有赠品的顾客至少有一人年龄在包含的基本事件有：（A，a），（A，b），
（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b），共9种，
因此，选取的2名有赠品的顾客至少有一人年龄在中的概率．
20. 如图所示，某小区内有四栋楼，在栋楼处测得米，，，，．
（1）求两栋楼间的距离；
（2）若小区决定沿方向取两点与建设一个三角形花园，且始终满足，求面积的最小值．
解：（1）∵，，
∴，∴，
又，∴，
∴.
（2）记，则，
因为，，所以，
，，
在中由正弦定理可知，可得，
在中由正弦定理可知，可得，
∴
，
则，则当时，
即时，的最小值.
21. 如图，在三棱台中，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角为，求平面和平面所成角的正切值．
解：（1）取中点为，连接，
∵，，所以，
故，
由三角形内角和可得，
故，
又∵，平面，为相交直线，
∴平面，平面，∴，
又∵，即，平面，
∴平面，AC在平面ABC内，∴平面平面.
（2）由（1）知直线与平面所成角为，
∴，由于，∴，
设平面和平面的交线为，
由于平面，平面，所以，
过点作于G，
又（1）知平面平面，且两平面的交线为，平面，
∴平面，平面，所以，
且，
再过点作于，连接，
平面，所以平面，
平面，故，
∵即为所求角，
，
，
.
组数
分组
给好评的人数
占本组的频率
第一组
45
0.75
第二组
25
第三组
20
0.5
第四组
0.2
第五组
3
0.1