四川省南充市重点高中2025-2026学年高一上学期12月月考试题 数学（含答案）

这是一份四川省南充市重点高中2025-2026学年高一上学期12月月考试题 数学（含答案），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则集合（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．若且满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．命题“”是假命题
C．“”是“”的充分条件
D．“”是“”的充分不必要条件
10．已知二次函数的图象如图所示，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．方程有两个不相等的实数根
D．方程的两根是，
11．已知函数的定义域为， 对于任意实数满足:， 当时，， 则（ ）
A．B．为上的增函数
C．为奇函数D．若则的取值范围为
三、填空题
12．已知幂函数的图象过点，则 .
13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，= .
14．函数的函数值表示不超过的最大整数，例如：，．若，则的子集的个数为 .
四、解答题
15．设全集为，集合，
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
16．计算下列各式的值：
(1)
(2)
(3)已知，，用表示.
17．2025年8月8日至12日，由中国电子学会、世界机器人合作组织共同主办的2025世界机器人大会在北京经济技术开发区北人亦创国际会展中心举行.这一大会的召开，标志着机器人时代正加速到来.现如今，机器人产业正处于规模化、产业化前夜.某科技企业为抓住“机器人时代”带来的机遇，决定开发生产一大型电子设备，该设备分为两种型号，两种型号均能满足需求.目前研发设备已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产型该设备的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.5亿元：生产型该设备的毛收入(亿元)与投入的资金(亿元)的函数关系为，其图象如图所示.
(1)试分别求出生产两种型号设备的毛收入(亿元)与投入资金(亿元)的函数关系式：
(2)现在公司准备投入20亿元资金同时生产两种型号，设投入亿元生产型号，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润. (净利润=型毛收入+B型毛收入研发耗费资金)
18．已知定义域为的函数是奇函数．
(1)求的值．
(2)判断函数的单调性，并用定义证明．
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．
19．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若定义在R上函数的图象关于点对称，且时，．
(1)求的值；
(2)设函数.
（ⅰ）函数的图象关于点对称，求m的值；
（ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.
1．D
利用并集运算即可求解.
【详解】因为，
所以，
故选：D.
2．B
根据定义域的定义求解.
【详解】由题可得，，解得且，
所以定义域为，
故选：B.
3．C
根据函数的奇偶性及常见函数的单调性判断各选项即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，且，
则函数为偶函数，故A错误；
对于B，函数在上单调递增，故B错误；
对于C，的定义域为，且，
则函数为奇函数，而函数在上单调递减，
则在上单调递减，故C正确；
对于D，函数在上单调递增，故D错误.
故选：C.
4．C
利用不等式的性质，及不等式同向可加性和同向同正可乘性，以及作差法比较大小，即可求解.
【详解】当时，若，则，这是真命题，但是当时，显然，故A错误；
由可得，，利用同向不等式可加性得：，故B错误；
由，
因为，所以，即，故C正确；
若，则，这里，不妨取，
则，与相矛盾，故D错误；
故选：C.
5．B
根据指数函数，对数函数的单调性比较大小.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，且，所以，
所以，
故选:B.
6．D
由函数定义域、单调性和奇偶性即可判断.
【详解】由解析式可得函数定义域需满足，解得或
故排除AC，
当,，可知其单调递增，排除B，
又，偶函数，只有D符合.
故选：D
7．B
先对原式进行化简，然后根据基本不等式的性质求解即可.
【详解】，因为，
所以根据基本不等式的性质得.
因为，所以，所以，
当且仅当即时等号成立，此时取最小值.
故选：B.
8．A
由和可以得到，
构造函数，则有，由，可以得到在是单调递增函数，
由求出，由在是单调递增函数，列出关于的不等式组，则此不等式组的解就是的取值范围.
【详解】，，
，，
，，
，
设，，
，，在是单调递增函数，
，
，
在是单调递增函数，
，，
，的取值范围为.
故选：A
9．BD
对A，由含有量词的命题的否定的写法判断；对B，根据的范围判断；对C，由特例判断；对D，根据充分、必要条件的定义判断.
【详解】对于A：含有量词的命题的否定，改变量词，否结论.所以命题“，”的否定是“”，A错误；
对于B：因为对，，所以命题“”是假命题，B正确；
对于C：当时，满足，但，即“”不是“”的充分条件，C错误；
对于D：若，则，所以“”是“”的充分条件；
若，比如，不满足，所以“”不是“”的必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件，D正确；
故选：BD.
10．ABD
根据图象，求出a，b，c的值，代入，可判断A、B的正误；代入方程，求出根，可判断C、D的正误.
【详解】由图象可得对称轴，则①，
最大值为4，所以②，
又与x轴交点为，所以③，
选项A：由①②③联立可得，所以，故A正确；
选项B：，故B正确；
选项C：，解得，故C错误；
选项D：，解得，，故D正确.
故选：ABD
11．ACD
利用赋值法求，判断A；根据函数单调性的定义判断B；根据奇偶性的定义判断C；利用是奇函数，且是减函数解不等式，可判断D.
【详解】因为函数的定义域为，对于任意实数满足:，
对于A，令，则，所以.
所以A正确.
对于B，令，则，，所以.
所以，所以为上的减函数.
所以B错误.
对于C，因为函数的定义域为，所以的定义域为.
令，则，即.
所以为奇函数.所以C正确.
对于D，由B，C可得为上的减函数，且是奇函数.
因为，所以.
所以，即，解得.
的取值范围为.所以D正确.
故选：ACD.
12．4
由为幂函数，得，再将点代入得到，所以.
【详解】因为幂函数的图象过点，
所以 ，
所以，
故答案为：4
13．
根据奇函数的定义进行求解即可.
【详解】当时，，由于时，
所以.
因为函数是定义在上的奇函数，所以.
所以，所以.
故答案为：.
14．32
分，，，，，五种情况讨论的范围，计算函数值，求出集合即可.
【详解】①当时，则，，
，；
②当时，则，，
，
；
③当时，则，，
，，，
；
④当时，则，，
，，，
；
⑤当时，，，，
，
，
∴的子集的个数为.
故答案为：.
15．(1)；
(2)
（1）求出集合，，再利用交并补运算求解即可；
（2）讨论和两种情况，再利用交并补运算求解即可.
【详解】（1），
当时，，，
，；
（2），
当时，，即，符合；
当时，或
解得，
综上或.
实数的取值范围为.
16．(1)
(2)
(3)
（1）利用指数幂的运算公式即可；
（2）利用对数的运算公式即可；
（3）先利用对数的运算公式化简，再代入，即可；
【详解】（1）；
（2）
（3），；
；
17．(1)；
(2)当时，利润最大，最大净利润为(亿元)
（1）直接由题意得芯片利润的解析式，将，代入，确定芯片利润的解析式；
（2）先求出的表达式，再利用换元法结合二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）设投入资金(亿元)，则生产芯片的毛收入，
将，代入，得，解得，
故生产芯片的毛收入；
（2）由题意，
令，则，
则，
当时，，
即当时，利润最大，最大净利润为(亿元).
18．(1)
(2)减函数，证明见解析
(3)
（1）根据奇函数的性质，由，建立方程，结合奇函数定义，可得答案；
（2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案；
（3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案.
【详解】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即，
∴，
则，由，
则当时，原函数为奇函数．
（2）由（1）知，
任取，设，则，
因为函数在R上是增函数，，∴．又，
∴，即，∴在上为减函数．
（3）因是奇函数，从而不等式：，
等价于，
因为减函数，由上式推得：．
即对一切有：恒成立，设，
令，则有，
∴，
∴，即k的取值范围为．
19．(1)4
(2)（ⅰ）；（ⅱ）的取值范围为
【详解】（1）因为定义在上函数的图象关于点对称，所以为奇函数，
所以，得
则令，得.
（2）（ⅰ）因为函数的图象关于点对称，所以为奇函数，
设
，
所以，
则
所以，解得.
（ⅱ）先证明在上单调递增，
设任意的，且，
则
由可知，，，
所以，即在上单调递增，
所以在区间上的值域为，
记在区间上的值域为，
对任意，总存在，使得成立知，
由的图象关于点对称，所以只需，
①当，即时，在上单调递增，
由对称性知，在上单调递增，
所以在上单调递增，要，
只需即可，得，解得满足题意；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
由对称性知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以值域或，要，
则当时，，，
即，且，解得满足题意；
③当，即时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，
所以在上单调递减，要，
只需即可，得，解得满足题意；
综上所述，的取值范围为.