2026年广西南宁青秀区中考数学一模试卷

这是一份2026年广西南宁青秀区中考数学一模试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）
A．﹣5B．0C．1D．5
2．（3分）雪花晶体是高空中过饱和水汽在低温下凝华、以六方冰晶形态生长而成，它们每一片都是大自然精巧美丽、独一无二的工艺品．下列以雪花为主题的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）下列各数中，可使式子x−4有意义的x的取值是（ ）
A．﹣1B．0C．2D．5
4．（3分）如图是一个正五棱柱，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
6．（3分）不等式2x﹣3＜5的解是（ ）
A．x＞1B．x＜1C．x＞4D．x＜4
7．（3分）一次函数y＝kx+1的图象经过点A（2，2），则k的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．12D．2
8．（3分）将一副三角尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，已知∠AOD＝125°，则∠BOC的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
9．（3分）已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在抛物线y＝a（x﹣1）2（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y2
10．（3分）某石材厂加工一款马路石墩，它的上部是球体的一部分，下部是相连的底座．如图，它的上部截面形状是以点O为圆心的圆的一部分．已知D是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点C，并且AB＝24cm，CD＝36cm，则⊙O的半径为（ ）
A．12cmB．18cmC．20cmD．24cm
11．（3分）广西是全国最大的甘蔗产区，蔗糖产量连续多个榨季位居全国第一．某甘蔗种植户计划砍收360亩甘蔗地，因天气影响加快了砍收速度，实际每天砍收面积是原来的1.2倍，结果提前3天完成砍收任务，设原计划每天砍收x亩，由题意可得方程（ ）
A．360x−3=360x×1.2B．360x=360x−3×1.2
C．3601.2x−360x=3D．360x−3601.2x=3
12．（3分）如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于A，B两点，若反比例函数y=kx（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．2≤k≤8B．2≤k≤9C．2≤k≤5D．5≤k≤8
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）
13．（3分）与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标为 ．
14．（3分）因式分解：a2﹣9＝ ．
15．（3分）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从E出口落出的概率是 ．
16．（3分）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD，∠OAB＝75°，若CD恰好经过点A，且OC⊥OB，OA＝4，则AB＝ ．
三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（8分）（1）计算：（﹣6）÷2+22；
（2）解方程组：x+y=52x−y=4．
18．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求作菱形ABEF，使点E，F分别在边BC和边AD上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，若BG=3，tanB=43，求（1）中菱形ABEF的面积．
19．（10分）随着人工智能技术的飞速发展，其在科技、经济、社会等领域的应用日益广泛，已成为推动时代变革的核心驱动力之一．某中学为评估本校学生对人工智能基础知识的掌握程度，从八、九年级中各随机抽取10名学生进行“人工智能素养”测试，满分100分．对抽取的学生成绩进行整理、描述和分析，数据如下：
八年级10名学生的比赛成绩：85 86 88 89 90 92 95 95 98 100
九年级10名学生的比赛成绩：80 85 86 88 92 94 95 98 100 100
八九年级抽取的学生比赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题．
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）在这次测试中，小悦得了92分，她的成绩比所在年级一半以上的学生都要好．请问小悦是哪个年级的学生？请说明理由．
（3）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对人工智能的知识掌握得更好？请说明理由．
20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，点D在⊙O上，连接CD，BD，AD，已知∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线BE，BE与CD的延长线交于点E，若AC＝1，CD＝2，求BE的长．
21．（10分）某连锁超市销售一种进价为40元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于70元，经过市场调研发现，日销量y（千克）与售价x（元）满足如图所示的一次函数关系．
（1）根据上述信息，直接写出y与x之间的函数关系式（不需要写出x的范围）；
（2）超市要想获得每天1600元的销售利润，售价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
22．（12分）我们已经学过完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，将它适当变形可以解决很多数学问题．
（1）填空：已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝ ；
（2）“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，在数学活动课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等．
①如图1所示，两个空白“□”中，从左到右依次应填 ， ；每个圆圈上的三个数字之和为 ．
②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，a+b﹣3，请根据如表的对话内容，求a+b的值．
③在②的结论下，若12+22+32+42+52+62+a2+b2+（a+b﹣3）2＝126，求ab的值．
23．（12分）综合与探究
已知△ABC中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，连接EF交AC于点D．
【初探】（1）如图1，若∠B＝90°，AB＝BC，AE＝CF，过点E作EG∥BF交AC于点G．
①求证：△DGE≌△DCF；
②求证：BE=2CD；
【再探】（2）如图2，若∠B＝90°，AB＝2BC，AE＝2CF，探究CD与BE之间的数量关系；
【深探】（3）如图3，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，点E是AB上一点，点F在BC延长线上，AB＝8，AE＝2，BC＝4CF，当点C从点B运动到点A，请直接写出点D的运动路径的长．
2026年广西南宁青秀区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）
A．﹣5B．0C．1D．5
【分析】负数的绝对值等于它的相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：|﹣5|＝﹣（﹣5）＝5．
故选：D．
【点评】本题考查绝对值，关键是掌握绝对值的性质．
2．（3分）雪花晶体是高空中过饱和水汽在低温下凝华、以六方冰晶形态生长而成，它们每一片都是大自然精巧美丽、独一无二的工艺品．下列以雪花为主题的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．据此逐项分析即可．
【解答】解：根据轴对称图形的概念逐项分析判断如下：
A．该图形沿过中心的竖直直线（或水平直线等）折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．该图形找不到任何一条直线使得折叠后两部分重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．该图形找不到任何一条直线使得折叠后两部分重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形找不到任何一条直线使得折叠后两部分重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形，熟练掌握该知识点是关键．
3．（3分）下列各数中，可使式子x−4有意义的x的取值是（ ）
A．﹣1B．0C．2D．5
【分析】根据二次根式a有意义的条件是被开方数a≥0，列不等式求解，再匹配选项即可．
【解答】解：由条件可得x﹣4≥0，
解得x≥4，
观察选项，只有D选项的5满足x≥4．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是关键．
4．（3分）如图是一个正五棱柱，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，两侧分别有一条纵向的虚线．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5．（3分）一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出Δ＝0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．
【解答】解：在方程x2﹣4x+4＝0中，
Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出Δ＝0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键．
6．（3分）不等式2x﹣3＜5的解是（ ）
A．x＞1B．x＜1C．x＞4D．x＜4
【分析】先移项得到2x＜8，然后利用不等式的性质把系数化为1即可得到不等式的解集．
【解答】解：移项得，2x＜8，
∴x＜4．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质先去分母，有括号的再去括号，然后移项、合并，最后得到不等式的解集．
7．（3分）一次函数y＝kx+1的图象经过点A（2，2），则k的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．12D．2
【分析】将已知点的坐标代入解析式，得到关于k的方程，求解即可得到k的值．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+1的图象经过点A（2，2），
∴2＝2k+1，
∴2k＝1，
解得k=12．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
8．（3分）将一副三角尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，已知∠AOD＝125°，则∠BOC的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【分析】根据题意可知∠AOB＝∠COD＝90°，利用角的和差关系∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC即可求解．
【解答】解：由条件可知∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC，
∴125°＝90°+90°﹣∠BOC，
∴∠BOC＝55°．
故选：B．
【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握该知识点是关键．
9．（3分）已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在抛物线y＝a（x﹣1）2（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y2
【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口方向判断函数值的大小关系．
【解答】解：已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在抛物线y＝a（x﹣1）2（a＜0）的图象上，
∵抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2（a＞0），
∴抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝1．
∵对于开口向上的抛物线，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，
∴点A（﹣3，y1）到对称轴的距离为|﹣3﹣1|＝4，
点B（﹣2，y2）到对称轴的距离为|﹣2﹣1|＝3，
点C（1，y3）到对称轴的距离为|1﹣1|＝0．
∵0＜3＜4，
∴y1＞y2＞y3，即y3＜y2＜y1．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
10．（3分）某石材厂加工一款马路石墩，它的上部是球体的一部分，下部是相连的底座．如图，它的上部截面形状是以点O为圆心的圆的一部分．已知D是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点C，并且AB＝24cm，CD＝36cm，则⊙O的半径为（ ）
A．12cmB．18cmC．20cmD．24cm
【分析】连接OA，设⊙O的半径为Rcm，根据垂径定理求出AD的长，用R表示出OD的长，在Rt△OAD中利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：如图，连接OA，
设⊙O的半径为Rcm，则OA＝OC＝Rcm，
∵CD经过圆心O，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，AD=12AB=12×24=12(cm)，
∵CD＝36cm，
∴OD＝CD﹣OC＝36﹣R（cm），
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2＝AD2+OD2，
即R2＝122+（36﹣R）2，
R2＝144+1296+R2﹣72R，
解得R＝20，
即⊙O的半径为20cm．
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
11．（3分）广西是全国最大的甘蔗产区，蔗糖产量连续多个榨季位居全国第一．某甘蔗种植户计划砍收360亩甘蔗地，因天气影响加快了砍收速度，实际每天砍收面积是原来的1.2倍，结果提前3天完成砍收任务，设原计划每天砍收x亩，由题意可得方程（ ）
A．360x−3=360x×1.2B．360x=360x−3×1.2
C．3601.2x−360x=3D．360x−3601.2x=3
【分析】分别表示出原计划与实际完成任务的天数，根据“实际比原计划提前3天完成”的等量关系列方程即可．
【解答】解：根据题意可得：360x−3601.2x=3．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键．
12．（3分）如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于A，B两点，若反比例函数y=kx（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．2≤k≤8B．2≤k≤9C．2≤k≤5D．5≤k≤8
【分析】先求出点A、B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，当反比例函数图象与△ABC相交于点C时k的取值最小，当与线段AB相交时，k能取到最大值，根据直线y＝﹣x+6，设交点为（x，﹣x+6）时k值最大，然后列式利用二次函数的最值问题解答即可得解．
【解答】解：∵点C（1，2），BC∥y轴，AC∥x轴，
∴当x＝1时，y＝﹣1+6＝5，
当y＝2时，﹣x+6＝2，解得x＝4，
∴点A、B的坐标分别为A（4，2），B（1，5），
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2最小，
设反比例函数与线段AB相交于点（x，﹣x+6）时k值最大，
则k＝x（﹣x+6）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，
∵1≤x≤4，
∴当x＝3时，k值最大，
此时交点坐标为（3，3），
因此，k的取值范围是2≤k≤9．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值问题，本题看似简单但不容易入手解答，判断出最大最小值的取值情况并考虑到用二次函数的最值问题解答是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）
13．（3分）与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标为 （﹣3，﹣4） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解答】解：点P（3，4）关于中心对称的点的坐标为（﹣3，﹣4）．
【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．
14．（3分）因式分解：a2﹣9＝ （a+3）（a﹣3） ．
【分析】a2﹣9可以写成a2﹣32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
15．（3分）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从E出口落出的概率是 14 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果和小球从E出口落出的结果，利用概率公式解答即可．
【解答】解：画树状图如下：
由图可知，共4种等可能的结果，其中小球从E出口落出的结果有1种，
∴小球从E出口落出的概率是14．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD，∠OAB＝75°，若CD恰好经过点A，且OC⊥OB，OA＝4，则AB＝ 26 ．
【分析】由旋转的性质得出OA＝OC，∠C＝∠OAB＝75°，从而得到∠OAC＝∠C＝75°，再求出∠AOC＝30°，结合OC⊥AB求出∠AOB＝60°，由三角形内角和定理求得∠B度数，作AF⊥OB于点F，在Rt△AOF和Rt△ABF中，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．
【解答】解：由旋转的性质得：OA＝OC、∠C＝∠OAB＝75°、∠AOB＝∠COD，
∴∠OAC＝∠C＝75°，
∴∠AOC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∴∠AOB＝∠COB﹣∠AOC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠OAB﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
如图，作AF⊥OB于点F，
在Rt△AOF中，∠AOF＝60°，OA＝4，
∴∠OAF＝90°﹣60°＝30°，
∴OF=12OA=12×4=2，
∴AF=OA2−OF2=42−22=23，
在Rt△ABF中，∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF=AF=23，
∴AB=AF2+BF2=(23)2+(23)2=26，
故答案为：26．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（8分）（1）计算：（﹣6）÷2+22；
（2）解方程组：x+y=52x−y=4．
【分析】（1）先算乘方，再算除法，最后算加法即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：（1）原式＝（﹣6）÷2+4
＝﹣3+4
＝1；
（2）x+y=5①2x−y=4②，
①+②得：3x＝9，
解得：x＝3，
将x＝3代入①得：3+y＝5，
解得：y＝2，
故原方程组的解为x=3y=2．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则及解方程组的方法是解题的关键．
18．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求作菱形ABEF，使点E，F分别在边BC和边AD上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，若BG=3，tanB=43，求（1）中菱形ABEF的面积．
【分析】（1）以A为圆心，以AB为半径画弧，交AD于点F；以B为圆心，以AB为半径画弧，交BC于点E，连接EF，四边形ABEF即为所求；
（2）根据BG＝3，tanB=43可求得AG，再用勾股定理求得AB，即可求得菱形ABEF的面积．
【解答】解：（1）如图所示：四边形ABEF即为所求．
理由：由作法可知：AB＝BE＝AF，
∵▱ABCD中，AD∥BC，即AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝BE，
∴▱ABEF是菱形；
（2）由条件可知：tanB=AGBG=43，
∵BG＝3，
∴AG＝4，
∴AB=AG2+BG2=32+42=5，
∴BE＝AB＝5，
∴S菱形ABEF＝5×4＝20．
【点评】本题考查了解直角三角形、基本作图、菱形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键．
19．（10分）随着人工智能技术的飞速发展，其在科技、经济、社会等领域的应用日益广泛，已成为推动时代变革的核心驱动力之一．某中学为评估本校学生对人工智能基础知识的掌握程度，从八、九年级中各随机抽取10名学生进行“人工智能素养”测试，满分100分．对抽取的学生成绩进行整理、描述和分析，数据如下：
八年级10名学生的比赛成绩：85 86 88 89 90 92 95 95 98 100
九年级10名学生的比赛成绩：80 85 86 88 92 94 95 98 100 100
八九年级抽取的学生比赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题．
（1）a＝ 93 ，b＝ 95 ．
（2）在这次测试中，小悦得了92分，她的成绩比所在年级一半以上的学生都要好．请问小悦是哪个年级的学生？请说明理由．
（3）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对人工智能的知识掌握得更好？请说明理由．
【分析】（1）中位数，众数的意义和计算方法进行求解即可；
（2）根据中位数的意义进行判断即可；
（3）从中位数，众数和平均数的角度说明即可．
【解答】解：（1）九年级的比赛成绩最中间的两个数据为：92和94，
故中位数a=92+942=93，
八年级的比赛成绩出现最多的是95分，出现2次，故b＝95．
故答案为：93，95；
（2）小悦是八年级的学生，
理由：∵九年级成绩的中位数为93分，八年级成绩的中位数为91分，小悦得了92分，她的成绩比所在年级一半以上的学生都要好，
∴小悦同学是八年级的学生．
（3）九年级学生对“人工智能”的知识掌握得更好，理由如下：
两个年级成绩的平均数相等，而九年级的中位数和众数均高于八年级的中位数和众数，
所以，九年级学生对“人工智能”的知识掌握得更好些．
【点评】本题考查众数，中位数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，点D在⊙O上，连接CD，BD，AD，已知∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线BE，BE与CD的延长线交于点E，若AC＝1，CD＝2，求BE的长．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径得∠ADB＝90°，即可得∠BAD+∠CBD＝90°，由OA＝OD得∠BAD＝∠ODA，结合∠CDA＝∠CBD得∠ODA+∠CDA＝90°，可证OD⊥CD，结合OD是⊙O的半径即可证明；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△ODC中利用勾股定理列方程求得半径，进而得BC长，由BE是⊙O的切线得∠OBE＝90°，即可得∠CBD+∠DBE＝90°，由∠ADB＝90°得∠CDA+∠EDB＝90°，即可得∠DBE＝∠EDB，进而得BE＝DE，设BE＝DE＝x，在Rt△CBE中，利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】（1）证明：如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接OD，则OA＝OD，
∴∠ADB＝90°，∠BAD＝∠ODA，
∴∠BAD+∠CBD＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠ODA+∠CDA＝90°，即∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AC＝1，CD＝2，
设⊙O的半径为r，则OD＝OA＝r，OC＝OA+AC＝r+1，
在Rt△ODC中，由勾股定理得：OD2+CD2＝OC2，
∴r2+22＝（r+1）2，
解得：r=32，
∴OA=OB=32，
∴BC＝OB+OA+AC＝4，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠OBE＝90°，
∴∠CBD+∠DBE＝90°，
∵∠ADB＝90°
∴∠CDA+∠EDB＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠DBE＝∠EDB，
∴BE＝DE，
设BE＝DE＝x，则CE＝DE+CD＝x+2，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：BC2+BE2＝CE2，
∴42+x2＝（x+2）2，
解得：x＝3，
∴BE＝3．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定与性质．
21．（10分）某连锁超市销售一种进价为40元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于70元，经过市场调研发现，日销量y（千克）与售价x（元）满足如图所示的一次函数关系．
（1）根据上述信息，直接写出y与x之间的函数关系式（不需要写出x的范围）；
（2）超市要想获得每天1600元的销售利润，售价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意可知，y是x的一次函数，设函数解析式为y＝kx+b（k≠0），从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，进而求出k，b；
（2）设售价应定为x元，根据题意可得（﹣4x+360）（x﹣40）＝1600，解方程舍去不符合题意的解即可；
（3）设最大利润为w元．根据题意可得w＝（﹣4x+360）（x﹣40），整理后利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．由条件可得：
50k+b=16060k+b=120，
解得k=−4b=360，
所以y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+360．
（2）解设售价应定为x元．根据题意可得：
（﹣4x+360）（x﹣40）＝1600．
解得x1＝80（舍去），x2＝50．
所以，售价应定为50元．
（3）设最大利润为w元．根据题意可得：
w＝（﹣4x+360）（x﹣40）．
变形，得w＝﹣4x2+520x﹣14400．
因为二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝65，
所以当x＝65时，w可以取得最大值，最大值为2500．
所以销售单价为65元时，每天获利最大，最大利润是2500元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意熟练掌握二次函数性质是关键．
22．（12分）我们已经学过完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，将它适当变形可以解决很多数学问题．
（1）填空：已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝ 19 ；
（2）“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，在数学活动课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等．
①如图1所示，两个空白“□”中，从左到右依次应填 4 ， 5 ；每个圆圈上的三个数字之和为 12 ．
②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，a+b﹣3，请根据如表的对话内容，求a+b的值．
③在②的结论下，若12+22+32+42+52+62+a2+b2+（a+b﹣3）2＝126，求ab的值．
【分析】（1）由（a+b）2＝a2+b2+2ab可知，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入已知条件，从而求得a2+b2的值；
（2）①设两个空白方格中，左边空白方格应填的数为x，右边空白方格应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，解方程，即可求得从左到右依次应填4，5，以及每个圆圈上的三个数字之和为12；
②设上方的圆圈上空白方格应填的数为m，左侧的圆圈上空白方格应填的数为x，右侧的圆圈上空白方格应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，再根据所有填入的数字之和建立等量关系，从而求得S=6+23(a+b)，最后由S为整数，以及4≤a+b≤9，求出a+b的值；
③先求出a2+b2＝26，运用a2+b2＝（a+b）2﹣2ab将已知条件化简，根据②中结果分两种情况分析求解即可．
【解答】解：（1）∵a+b＝5，ab＝3，
又∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴a2+b2＝52﹣2×3＝25﹣6＝19，
故答案为：19；
（2）①设左边空白方格应填的数为x，右边空白方格应填的数为y，
根据每个圆圈上的三个数字之和相等，可得：
3+x+y=2+x+62+x+6=6+y+1，
解得：x=4y=5，
∴两个空白方格中，从左到右依次应填4，5，
每个圆圈上的三个数字之和为：3+x+y＝3+4+5＝12；
故答案为：3，4，12；
②设上方的圆圈上空白方格应填的数为m，左侧的圆圈上空白方格应填的数为x，右侧的圆圈上空白“口”应填的数为y，
∵每个圆圈上的三个数字之和为S，
∴a+b+m=S①a+(a+b−3)+x=S②b+(a+b−3)+y=S③，
∴①+②+③得：4a+4b﹣6+（m+x+y）＝3S，
即x+y+m＝3S﹣4（a+b）+6，
整理得x+y＝2S+6﹣3（a+b），
∵所有填入的数字之和为：1+2+3+4+5+6＝x+y+m+a+b+（a+b﹣3），
∴x+y+m+2（a+b）＝24，
∵x+y+m＝3S﹣4（a+b）+6，
∴24﹣2（a+b）＝3S﹣4（a+b）+6，
∴S=6+23(a+b)，
∵4≤a+b≤9，S为整数，
∴a+b＝6或9；
③∵a+b＝6，12+22+32+42+52+62+a2+b2+（a+b﹣3）2＝126，
∴1+4+9+16+25+36+a2+b2+9＝126，
∴a2+b2＝26，
∴（a+b）2﹣2ab＝26，
由②得a+b＝6或9，
当a+b＝6时，62﹣2ab＝26，
∴2ab＝10，
∴ab＝5；
当a+b＝9时，92﹣2ab＝26，
∴2ab＝55，
∴ab=552，
∵a2+b2＝26，
∴a2﹣2ab+b2＝26﹣55＝﹣29，即（a﹣b）2＝﹣29（不符合题意，舍去），
∴ab＝5．
【点评】本题主要考查了完全平方公式、规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23．（12分）综合与探究
已知△ABC中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，连接EF交AC于点D．
【初探】（1）如图1，若∠B＝90°，AB＝BC，AE＝CF，过点E作EG∥BF交AC于点G．
①求证：△DGE≌△DCF；
②求证：BE=2CD；
【再探】（2）如图2，若∠B＝90°，AB＝2BC，AE＝2CF，探究CD与BE之间的数量关系；
【深探】（3）如图3，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，点E是AB上一点，点F在BC延长线上，AB＝8，AE＝2，BC＝4CF，当点C从点B运动到点A，请直接写出点D的运动路径的长．
【分析】（1）①根据已知条件，容易证得AE＝GE，求得GE＝CF，结合∠GED＝∠F，∠GDE＝∠CDF，即可证明结论；
②过点D作BF的垂线，交BF于点H，可证得△DHF∽△EBF，求得BE＝2DH，结合DH=CD⋅∠sinBCA=22CD，即可证明结论；
（2）过点E作AB的垂线，交AC于点G，过点D作BF的垂线，交BF于点H，根据题意可证明△AEG∽△ABC，得到AE＝2GE，然后证明△DGE≌△DCF，进而可证明△ACB∽△DCH，得到CH=12DH，结合勾股定理，即可求得答案；
（3）过点E作BC的平行线，交AC于点G，取BE的中点为点H，连接DH，根据已知条件容易证得△AEG∽△ABC，得到BC＝4GE，进而证明△DEG≌△DFC，得到DE＝DF，求得∠ADH＝∠ACB＝90°，得到点D的运动轨迹为以AH为直径的半圆．
【解答】（1）证明：①∵AB＝BC，∠B＝90°，
∴∠A=∠ACB=12(180°−∠B)=45°．
∵EG∥BF，
∴∠AEG＝∠B＝90°，∠GED＝∠F，∠AGE＝∠ACB．
∴∠AGE＝∠A．
∴AE＝GE．
又∵AE＝CF，
∴GE＝CF．
在△DGE和△DCF中，
∵∠GED＝∠F，∠GDE＝∠CDF，GE＝CF，
∴△DGE≌△DCF（AAS）．
②如图所示，过点D作BF的垂线，交BF于点H．
∵△DGE≌△DCF，
∴DE＝DF．
∴EF＝2DF．
∵DH⊥BF，
∴∠DHF＝90°．
∴∠DHF＝∠B＝90°．
又∵∠F＝∠F，
∴△DHF∽△EBF．
∴DHBE=DFEF=12．
∴BE＝2DH．
∵DH=CD⋅∠sinBCA=22CD．
∴BE=2CD．
（2）解：如图所示，过点E作AB的垂线，交AC于点G，过点D作BF的垂线，交BF于点H．
∵GE⊥AB，
∴∠AEG＝90°．
∴∠AEG＝∠B＝90°．
又∵∠A＝∠A，
∴△AEG∽△ABC．
∴AEGE=ABBC=2．
∴AE＝2GE．
又∵AE＝2CF，
∴GE＝CF．
同（1）可证得△DGE≌△DCF（AAS），
∴DE＝DF．
同（1）可证得BE＝2DH．
∵∠DHC＝∠B＝90°，∠ACB＝∠DCH＝90°，
∴△ACB∽△DCH．
∴CHDH=BCAB=12．
∴CH=12DH．
∴CD=DH2+CH2=DH2+14DH2=52DH．
∴DH=255CD．
∴BE=455CD．
（3）解：如图所示，过点E作BC的平行线，交AC于点G，取BE的中点为点H，连接DH.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵GE∥BC，
∴△AEG∽△ABC．
∴GEAE=BCAB．
∴BC＝4GE．
又∵BC＝4CF，
∴GE＝CF．
∵GE∥BC，
∴∠GED＝∠F．
在△DEG和△DFC中，
∠GED＝∠F，∠GDE＝∠CDF，GE＝CF，
∴△DEG≌△DFC（AAS）．
∴DE＝DF．
又∵EH＝HB，
∴DH∥BC．
∴∠ADH＝∠ACB＝90°．
∴点D的运动轨迹为以AH为直径的半圆．
∴点D的运动路径的长=12×π⋅AH=52π cm．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质、圆的性质等，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
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平均数
中位数
众数
八年级
91.8
91
b
九年级
91.8
a
100
小彬：由填数规则得1≤a+b﹣3≤6，所以4≤a+b≤9．
小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为S，则a+b的值可以用含S的式子表示．
小彬：对！根据你的发现，可以求出a+b的值．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
A
D
C
B
D
C
B
A
C
D
题号
12
答案
B
年级
平均数
中位数
众数
八年级
91.8
91
b
九年级
91.8
a
100
小彬：由填数规则得1≤a+b﹣3≤6，所以4≤a+b≤9．
小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为S，则a+b的值可以用含S的式子表示．
小彬：对！根据你的发现，可以求出a+b的值．