安徽省六安市重点高中2025-2026学年高二下学期3月月考试卷 数学（含解析）

这是一份安徽省六安市重点高中2025-2026学年高二下学期3月月考试卷 数学（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知数列的首项，（，），则为（ ）
A．7B．15C．30D．47
2．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆与直线相切，则的值为（ ）
A．或B．或C．D．
5．设直线与圆交于两点，则（ ）
A．B．C．1D．
6．已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
7．若一动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交于A，B两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知双曲线的标准方程为，则（ ）
A．其实轴长为2B．其离心率为
C．其渐近线方程为D．其焦点到渐近线的距离为
10．如图，在棱长为2的正方体中，E为线段中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与BE是异面直线B．平面
C．D．三棱锥的体积为
11．（多选）设d为正项等差数列的公差，若，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知数列为等差数列，，，则______.
13．已知向量是平面的一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为____.
14．与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为____.
四、解答题
15．如图，在长方体中，是AB的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
16．湖北新冶钢有限公司（简称为“新冶钢”）是中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国“钢铁工业的摇篮”之称．该公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费用12万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元，求购买该台机器若干年后的年平均利润的最大值．
17．已知圆内有一点，为过点P的弦．
(1)当时，求直线的方程；
(2)求弦中点M的轨迹方程．
18．已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程.
19．已知，，动点M满足，设M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设直线与曲线C有两个交点A，B，求k的取值范围；
(3)设直线与曲线C交于P，Q两点，求证：为定值．
参考答案
1．D
【详解】已知数列首项，递推关系为，
依次计算：
，
，
，
.
2．C
【详解】依题意，将抛物线的方程变形为，所以，，
所以准线方程为.
3．B
【详解】因为，，且，则，解得，
所以，故，故，
故选：B.
4．D
【详解】将圆的方程化成标准方程为，
因为圆与直线相切，
则有，解得.
5．A
【详解】由圆，即，则圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以.
6．B
【详解】由双曲线（，）得双曲线的渐近线方程为.
，所以离心率.
7．B
【详解】如图，作出符合题意的图形，
抛物线的焦点坐标为，准线方程为．
动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，
则动圆圆心到的距离等于到准线的距离，
由抛物线定义可知，动圆恒过定点．
8．A
【详解】设焦点，则过且垂直于长轴的直线为，
将代入，得到，
所以，
因为，所以，
所以，即，
化简得到，
因为，解得.
故选：A.
9．AD
【详解】双曲线的标准方程，则,
所以实轴长为2，A正确；
离心率为，B错误；
渐近线方程为，C错误；
一个焦点为，其到一条渐近线的距离为，D正确.
故选：AD
10．BCD
【详解】对于A，直线平面，平面，则易得直线与不为异面直线，故A不正确；
对于B，因为平面平面，所以平面，故B正确；
对于C，连接，因为正方体中，平面，平面，
所以，又平面，
所以平面，平面，所以，故C正确；
对于D，三棱锥的体积，故D正确．
故选：BCD.
11．ABC
【详解】由题知，，所以.
，所以A正确；
，
因为，所以，
因为，所以成立，所以B正确；
，
因为在上单调递减，所以，所以，所以C正确；
，所以，所以D错误．
故选：ABC.
12．
【详解】设的公差为d，则，
解得，
所以.
故答案为：.
13．
【详解】已知，，
若，则与平行，
所以，则，即.
14．
【详解】由题设知椭圆中，则，则焦点为，
所以双曲线中c=1，且焦点在x轴上，
又离心率，解得，
故，
所以双曲线的方程为.
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
，
设平面的法向量为，
，取，则，
所以，
因为，
所以，又因为平面，
所以平面；
（2）由（1）可知平面的法向量为，，
所以点到平面的距离为.
16．12万元．
【详解】由题意可知各年的维护费用（单位：万元）构成以12为首项，6为公差的等差数列，
设购买该台机器年后的盈利为万元，
则．
令，则，解得．
设购买该台机器年后的年平均利润为万元，
则，
当且仅当时取“=”，
因此，购买该台机器8年后的年平均利润最大，最大年平均利润是12万元．
17．(1)或
(2)
【详解】（1）当直线的斜率不存在时，的方程为，代入，
此时，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即
设原点O到直线的距离为d，则，解得
的方程为，即
综上，直线的方程为或
（2）方法一：是的中点，由垂径定理得
的轨迹是以为直径的圆．的中点为，
即圆心为，半径
的轨迹方程为
方法二：设，由垂径定理得，，（且），
，得（且
当时，，时，，也满足上式，
的轨迹方程为
方法三：设，由垂径定理得，
即，即M的轨迹方程为.
18．(1)
(2)
【详解】（1）依题意设椭圆的方程为，
则，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）因为，所以点在椭圆内，直线与椭圆相交，
设，，则，
所以，即，
又点为的中点，所以，
所以，则，
即，所以直线的方程为，即.
19．(1)；
(2)；
(3)
【详解】（1）设，为定值，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
设双曲线方程为：，，
所以，曲线的轨迹方程是；
（2）设，
由，消去得，
则.
整理得，
解得.
（3）设，
由，消去得，，
则.
，
所以，