北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高二下学期3月数学统练试题（一）含答案

这是一份北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高二下学期3月数学统练试题（一）含答案，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知在等差数列 an 中, a2=1,a5=8 ,则公差 d 的值为 ( )
A. 2 B. 73 C. 83 D. 3
2. 已知 fx 是定义在 R 上的可导函数,若 limΔx→0f2+Δx−f22Δx=−12 ,则 f′2= ( )
A. -1
B. −14
C. 1
D. 14
3. 已知函数 fx=f′1x2−lnx ，则 f′1= ( )
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
4. 已知 x=1 是函数 fx=x3−3ax+3 的极小值点,那么函数 fx 的极大值为 ( )
A. -1 B. 1 C. 4 D. 5
5. 已知函数 fx=x2+ax+1x 在 1,+∞ 上单调递增，则实数 a 的取值范围为( )
A. (−∞,−1] B. [3,+∞) C. (−∞,3] D. −1,+∞
6. ” a=1 ” 是“对任意 x>0,x−alnx≥0 ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 设无穷等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,则下列结论一定成立的是 ( )
A. 若 a10,an 递减,则 Sn 递增
8. 函数 fx 是定义在 −4,4 上的偶函数,其图象如图所示, f3=0 . 设 f′x 是 fx 的导函数,则关于 x 的不等式 fx+1⋅f′x≥0 的解集是 ( )

A. 0,2 B. −3,0∪[3,4) C. −5,0]∪[2,4 D. −4,0]∪[2,3
9. 数列 an 的前 n 项和 Sn ,且 Sn=2an−1,bn=lg2an+1 ,则 ( )
A. a5=32 B. bn=2n
C. a12+a22+a32+⋯+an2=2n−13 D. 1b1b2+1b2b3+⋯+1b99b100=99100
10. 若定义在 D 上的函数 fx,∀x1,x2,x3∈D,fx1,fx2,fx3 可以作为一个三角形的三条边长,则称 fx 是 D 上的 “三角形函数”. 已知函数 fx=xlnx+t 是定义在区间 1e2,e2 上的 “三角形函数”，则 t 的取值范围是( )
A. 2e2+2e,+∞ B. 2e2+1e,+∞
C. 2e+1e,+∞ D. e+1e,+∞
二、填空题(共 5 道小题，每题 5 分，共 25 分.每道题只有一个正确答案，请把 正确答案填在答题纸上)
11. 曲线 fx=lne2x 在 1,f1 处的切线方程为_____.
12. fx=sinxx ,则 f′π2= _____.
13. 设等差数列 an,bn 的前 n 项和分别为 Sn,Tn ,若 SnTn=n+12n+4 ,则 a9b9= _____.
14. 设函数 fx=ax3+bx2+cx+da≠0 ,点 A,B,C,D 在平面直角坐标系中的位置如图所示. 已知曲线 y=fx 在点 B,C 处的切线分别为直线 AB 和 CD ,则此函数的解析式 fx=

15. 在数列 xn 中, x1=1,x2=2 . 设向量 an=xn,xn+1 ,已知 an⋅an+1−an=0n=1,2,⋯ , 给出下列四个结论:
① x3=3 ； ② ∀n∈N∗,xn>0 ； ③ ∀n∈N∗,xn+1≠xn ； ④ ∀n∈N∗,xn+2>xn . 其中所有正确结论的序号是_____.
三、解答题:(共 3 道小题, 共 35 分.请把正确答案填在答题纸上)
16. 已知函数 fx=x3−ax2+ba,b∈R 的图象过点 2,−4 ,且 f′2=0 .
(1)求函数 y=fx 的解析式；
(2)求函数 y=fx 在 x∈−1,3 上的单调区间，极值和值域.
17. 已知在等差数列 an 和等比数列 bn 中， a1=b1=1 ， a2=b2≠1 ，等差数列 an 的前 n 项和为 Sn . 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使满足条件的数列 an 和 bn 存在,并解答下列问题.
条件①: S7=7b3 ;
条件②: a2,a3,b3 成等差数列;
条件③: a1,b2,a2 成等比数列.
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)若数列 cn 的通项公式为 cn=2an−17 ，求数列 cn 的前 n 项和的最小值，以及此时数列 bn 的前 n 项和的值.
注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.
18. 已知函数 fx=x+ax2+b ,且 f1=14,f4=219 .
(1) 求 a,b 的值；
(2)求 fx 的单调区间；
(3)设实数 m 满足:存在 k∈R ，使直线 y=kx+m 是曲线 y=fx 的切线，且 kx+m≥fx 对 x∈[0,+∞) 恒成立,求 m 的最大值.
1. B
根据等差数列的性质 d=am−anm−n 即可求解.
: a2=1,a5=8,∴d=a5−a25−2=8−13=73 .
故选: B.
2. A
将题目给的极限表达式转化为导数的定义式, 即可得解.
因为 limΔx→0f2+Δx−f22Δx=−12 ,即 12limΔx→0f2+Δx−f2Δx=−12 , 即 12f′2=−12 ,则 f′2=−1 .
故选: A.
3. A
因为 fx=f′1x2−lnx ,所以 f′x=2f′1x−1x ,
则 f′1=2f′1−1 ,得 f′1=1
4. D
先根据 x=1 是函数 fx 的极小值点求出 a 的值,再列出表格求出 fx 的极大值
fx=x3−3ax+3,∴f′x=3x2−3a
又 x=1 是函数 fx=x3−3ax+3 的极小值点， ∴f′1=3−3a=0,a=1 .
经检验 a=1 符合题意 ∴f′x=3x2−3 .
令 f′x=0,∴x=±1 ,列表如下
∴fx 的极大值为 f−1=5
5. D
求导,可得 f′x≥0 在 1,+∞ 恒成立,参变分离,结合函数单调性分析求解即可.
因为 f′x=2x+a−1x2 ,
由题意可得: f′x≥0 在 1,+∞ 恒成立，
则 a≥1x2−2x 在 1,+∞ 上恒成立,
又因为 gx=1x2−2x 在 1,+∞ 内单调递减,
可得 gx1 时, x−1>0,lnx>0 ,故 x−1lnx>0 ;
当 00 ,故 x−a≥0 ,故 1−a≥0 即 a≤1 ;
而 0