吉林省通化市三校联考2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份吉林省通化市三校联考2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若集合,,则( )
A.B.C.D.
2．当时,的最小值为( )
A.B.1C.2D.
3．若函数，则( )
A.0B.C.D.
4．已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,则( )
A.B.2C.3D.
5．已知关于x的一元二次不等式的解集为,则关于x的不等式的解集为( )
A.B.C.D.
6．已知a,,那么“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7．已知函数,若,则下列式子大小关系正确的是( )
A.B.
C.D.
8．若函数在R上是单调函数,且满足对任意,都有,则函数的零点所在的区间为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题为真命题的是( )
A.若,则
B.若,,则
C.若,,则
D.若,,则
10．已知定义域为R的函数,则( )
A.函数的图象是轴对称图形
B.存在实数a,使函数为单调函数
C.对任意实数a,函数都存在最小值
D.对任意实数a,函数都存在两条过原点的切线
11．高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数,如,若,则下列说法正确的是( )
A.当时,
B.
C.函数是增函数
D.函数的值域为
三、填空题
12．命题“,”的否定是__________.
13．曲线在点处的切线方程为__________.
14．已知函数,若实数a,b满足,则的最大值为__________.
四、解答题
15．某收费APP（手机应用程序）自上架以来,凭借简洁的界面设计､方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位:元）及该月对应的用户数量y（单位:万人）,得到如下数据表格:
已知x与y线性相关.
（1）求y关于x的经验回归方程;
（2）据此预测,当月租减免费用为14元时,该月用户数量为多少?
参考公式:对于一组具有线性相关关系的数据,其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
16．已知函数.
（1）求函数的单调区间;
（2）求函数在区间上的最大值与最小值.
17．已知函数.
（1）若的定义域为R,求a的取值范围;
（2）设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
18．每年的3月21日是世界睡眠日,保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠,某机构调查参加体育锻炼对睡眠的影响,从辖区内同一年龄层次的人员中,常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中,各抽取了200人,通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位:小时）,并绘制出如下频率分布直方图.
（1）求a的值;
（2）根据频率分布直方图,求常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间（同一组的数据用该组区间的中点值代替）;
（3）若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”,每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”,请根据已知条件完成下列列联表,并判断是否有的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.
附:,其中.
19．若函数满足：对于任意正数m,n,都有,且,则称函数为“速增函数”．
（1）试判断函数与否为“速增函数”;
（2）若函数为“速增函数”,求a的取值范围．
参考答案
1．答案：B
解析：由题意知,,所以.故选B.
2．答案：C
解析：,当且仅当时,等号成立,故的最小值为2.故选C.
3．答案：A
解析：，
所以.
故选：A.
4．答案：B
解析：因为是定义在R上的奇函数,所以.故选B.
5．答案：A
解析：由题设知,则,,因此,可得.故选A.
6．答案：B
解析：若,则,所以;若,则,但是无法判断正负,所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.
7．答案：A
解析：由,得,当时,,所以在上单调递增,因为,所以,所以,由函数在上单调递增,有,所以,综上,得.故选A.
8．答案：B
解析：因为函数在R上是单调函数,,设,所以,所以,解得,所以,又,故的零点所在的区间为.故选B.
9．答案：BCD
解析：因为当时,,故A错误;
因为,,所以,所以,故B正确;
若,可得,又,所以,故C正确;
因为,,所以,,所以,故D正确.故选BCD.
10．答案：ACD
解析：对于A:是R上的偶函数,对称轴为y轴,故正确;
对于B:值域为R,至少有一个实数解,且两侧异号,因此不可能为单调函数,故错误;
对于C:因为,时,;时,,因此必存在最小值,故正确;
对于D:设切点,,则,
在P处切线方程为,
它过原点,,
令,注意到,则或（舍去）,
于是必然存在两个非零实数解,
因此对任意实数a,函数存在两条过原点的切线,故正确.故选ACD.
11．答案：AD
解析：对当时,,故A正确;
,故B错误;
因为,,所以不是增函数,故C错误;
当时,其中,所以,可得,所以的值域为,故D正确.故选AD.
12．答案：,
解析：命题“,”的否定是“,”.
13．答案：
解析：,,,所求切线方程为.
14．答案：
解析：设,所以,所以,所以是奇函数,又在上单调递增,所以在上单调递增,因为,所以,即,所以,所以,所以,当且仅当,即时等号成立,所以的最大值为.
15．答案：（1）
（2）预测该月的用户数量为5.10万人
解析：（1）由,
,
有,
,
故y关于x的经验回归方程为;
（2）由（1）知经验回归方程为,当时,,
所以预测该月的用户数量为5.10万人.
16．答案：（1）函数的单调递增区间为,单调递减区间为
（2）在区间上的最大值为e,最小值为.
解析：（1）定义域为,且,
令,令.
函数的单调递增区间为,单调递减区间为;
（2）由（1）可知:当时,取得极小值,
,因此为最大值,
所以在区间上的最大值为e,最小值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知,解得,即a的取值范围是;
（2）因为,易得在上单调递增,所以,,
所以对任意恒成立,
所以对任意恒成立,
即对任意恒成立,
令,,所以,
当,即时,,解得,所以无解;
当,即时,,解得,所以,
综上,a的取值范围是.
18．答案：（1）
（2）48.6
（3）有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关
解析：（1）由频率分布直方图可知,,可得;
（2）由频率分布直方图可得:
,
所以常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间;
（3）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为:
,
则“睡眠不足”的人数为50;
不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为:,则“睡眠不足”的人数为90,
列联表如下:
因为,
所以有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.
19．答案：（1）是“速增函数”,不是“速增函数”
（2）
解析：（1）对于函数,
当,时,有,;
因为,
所以,
故根据“速增函数”的定义可得：是“速增函数”.
对于函数,
当时,有,
故根据“速增函数”的定义可得：不是“速增函数”.
（2）因为是“速增函数”,
根据“速增函数”的定义可得：
当时,恒成立;
当时,恒成立.
由当时,恒成立可
得：对一切正数n恒成立.
又因为当时,,
所以对一切正数n恒成立,
所以,即.
由当时,恒成立,可得：,
即对一切正数n,m恒成立.
因为
,
所以,
又因为当时,,
所以,
由对一切正数恒成立,可得,即．
综上可知,a的取值范围是．
用户一个月月租减免的费用x（元）
4
5
6
7
8
用户数量y（万人）
2
2.1
2.5
2.9
3.2
睡眠足
睡眠不足
总计
常参加体育锻炼人员
不常参加体育锻炼人员
总计
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
睡眠足
睡眠不足
总计
常参加体育锻炼人员
150
50
200
不常参加体育锻炼人员
110
90
200
总计
260
140
400