2026年中考数学二轮复习常考考点专题-反比例函数试题（含答案）

这是一份2026年中考数学二轮复习常考考点专题-反比例函数试题（含答案），共11页。
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
2．（2025•黄岩区二模）已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）在反比例函数y=4x的图象上，若x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．若x1x2＞0，则y3＞y4B．若x1x3＞0，则y4＜y2
C．若y3＞y4＞0，则x1x2＜0D．若y4＜y2＜0，则x1x3＞0
3．（2025•越秀区校级三模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数y=ax与一次函数y＝﹣bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025•苍梧县一模）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压是（ ）
A．49VB．94VC．18VD．36V
5．（2025•长春）在功W（J）一定的条件下，功率P（W）与做功时间t（s）成反比例，P（W）与t（s）之间的函数关系如图所示．当25≤t≤40时，P的值可以为（ ）
A．24B．27C．45D．50
6．（2025•淄博）如图，D为矩形OABC（边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上）对角线OB上的点，且OD=12BD．经过点D的反比例函数y=kx的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF．若△OBF的面积是24，则△OEF的面积为（ ）
A．25B．26C．793D．803
7．（2025•太原一模）“无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品，但并非真正意义的无糖．现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料，它们的含糖浓度y（含糖浓度=甜味剂质量饮料质量×100%）与饮料质量x（g）之间的关系，可近似地用如图的反比例函数图象表示，其中甲、乙饮料y与x的关系满足y=k1x(x＞0)，丙、丁饮料y与x的关系满足y=k2x(x＞0)．根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多
B．丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多
C．甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多
D．丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多
8．（2025•乐东县校级三模）如图是机器狗的实物图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量 m＝60kg时，它的最快移动速度v＝4m/s；当其载重后总质量m＝80kg时，它的最快移动速度是（ ）
A．2m/sB．2.5m/sC．3m/sD．3.5m/s
9．（2025•岳塘区校级二模）如图，点M为反比例函数y=kx(k＞0)图象上的一点，过点M作MA⊥y轴，垂足为A，若△OAM的面积为2，则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
10．（2025•盘龙区一模）已知反比例函数y=3x，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、第四象限
B．当y＝3时，x＝﹣1
C．在图象的每一支上，y随x的增大而减小
D．若x＞1，则y＞3
11．（2025•赤坎区校级四模）物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象，若该电路的最小电阻为0.5Ω，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是72AB．最大电流是36A
C．最小电流是72AD．最小电流是36A
12．（2025•淮安）在平面直角坐标系中，直角三角板AOB按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，∠B＝30°．若点B坐标为（1，﹣3），则k的值是（ ）
A．﹣2B．12C．1D．2
13．（2025•西宁）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数y2=k2x（k2≠0，x＞0）的图象交于点C（1，2），D(m，12)．下列结论错误的是（ ）
A．b=52
B．△BOC与△AOD的面积相等
C．△COD的面积是174
D．当1≤x≤4时，y1≥y2
二．填空题（共7小题）
14．（2025•城中区校级一模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=2x的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=kx的图象上，且OA⊥OB，csA=12，则k＝ ．
15．（2025•隆昌市校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的OA边在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，OA＝3，反比例函数y=kx(k＞0)与正方形BC边交于点D，与边AB交于点E，点P在y轴上，若△ODE的面积为52，则PD+PE的最小值是 ．
16．（2025•宁波模拟）如图，已知点B在反比例函数y=kx的图象上，A(0，52)，△ABC为直角三角形，将△ABC旋转至△EDC，使得点D恰好也在反比例函数y=kx的图象上，已知S△ADE＝3，则k的值为 ．
17．（2025•咸阳校级二模）如图，A、B为反比例函数y=kx(x＞0)图象上两点，连接OA，过点B作BC⊥y轴于点C，交OA于点D，且D为OA的中点．若△ABD的面积等于3，则k的值为 ．
18．（2025•亭湖区校级二模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．小雪的镜片焦距为0.2米时，眼镜度数为500度，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距变为0.5米，此时眼镜的度数为 度．
19．（2025•无棣县一模）如图，点A为反比例函数y=−1x(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例y=4x(x＞0)的图象交于点B，则AOBO的值为
20．（2025•武汉模拟）某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与可I（A）变电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，当某种使用这种蓄电池的用电器的安全电流最大为3A时，原电路中已经有一个10Ω的定值电阻，则至少应再串联一个 Ω的电阻才可以保证电路安全（已知：串联电路的总电阻等于各电阻之和）．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•遵义模拟）已知点（﹣1，6）在反比例函数y=m−8x的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点（x1，﹣6），（x2，﹣1），（x3，3）都在反比例函数的图象上，比较x1，x2，x3的大小，并说明理由．
22．（2025•东海县校级二模）把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是5−12，称之为“黄金比”．如图，点A、C是反比例函数y=kx(k＞0)在第一象限内图象上的任意点，AB⊥x轴于点B，连接BC．
（1）若k＝3，OB＝m+2，AB＝m，试求m的值；
（2）在（1）的条件下，在x轴上取一点P，使ABOP的值为“黄金比”，求点P的坐标．
23．（2025•湖北三模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2=kx的图象在第一、第三象限分别交于A（1，m），B（﹣2，n）两点，且m+n＝3，C是x轴正半轴上一点，AC⊥BC．
（1）求一次函数与反比例函数解析式；
（2）求∠ABC的度数．
24．（2025•东营模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象相交于点A和B（﹣4，﹣3），点A的横坐标为2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围；
（3）点C为x轴上一动点，连接AC，BC，若△ABC的面积为18，求点C的坐标．
25．（2025•钟山区模拟）长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分．
（1）求CD段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）大棚里种植的草莓在温度为15℃到20℃的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是10℃，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？
2026年中考数学常考考点专题之反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
一．选择题（共13小题）
1．（2025•五华区校级模拟）若点（3，b）在反比例函数y=−6x的图象上，则b的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】直接把点（3，b）代入反比例函数y=−6x即可得出结论．
【解答】解：∵点（3，b）在反比例函数y=−6x的图象上，
∴b=−63=−2．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
2．（2025•黄岩区二模）已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）在反比例函数y=4x的图象上，若x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．若x1x2＞0，则y3＞y4B．若x1x3＞0，则y4＜y2
C．若y3＞y4＞0，则x1x2＜0D．若y4＜y2＜0，则x1x3＞0
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据所给反比例函数的解析式，得出反比例函数的图象位于第一、三象限，再结合反比例函数的性质对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
因为反比例函数的解析式为y=4x，
所以反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．
当x1x2＞0时，
点（x1，y1）和（x2，y2）可能都在第三象限，
则当点（x3，y3）在第三象限，点（x4，y4）在第一象限时，y3＜y4．
故A选项不符合题意．
当x1x3＞0时，
点（x1，y1）和（x3，y3）可能都在第三象限，
则点（x2，y2）在第三象限，点（x4，y4）在第一象限时，y4＞y2．
故B选项不符合题意．
当y3＞y4＞0时，
点（x3，y3）和（x4，y4）都在第一象限，
当点（x1，y1）和（x2，y2）也都在第一象限时，x1x2＞0．
故C选项不符合题意．
当y4＜y2＜0时，
点（x2，y2）和（x4，y4）都在第三象限，
则点（x1，y1）和（x3，y3）也必定都在第三象限，
所以x1x3＞0．
故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键．
3．（2025•越秀区校级三模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数y=ax与一次函数y＝﹣bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】C
【分析】判断出a，b，c的符号，确定反比例函数，一次函数图象的位置可得结论．
【解答】解：由题意，a＜0，b＜0，c＞0，
∴反比例函数y=ax的图象在二，四象限，一次函数y＝﹣bx+c的图象经过一，二，三象限．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数，反比例函数，一次函数的性质．
4．（2025•苍梧县一模）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压是（ ）
A．49VB．94VC．18VD．36V
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意，先列出反比例函数解析式I=UR，根据函数图象过（9，4）代入计算出U值即可．
【解答】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，
∴I=UR，
由图象可知，当R＝9时，I＝4，
∴U＝I•R＝4×9＝36（v）．
答：蓄电池的电压是36v．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
5．（2025•长春）在功W（J）一定的条件下，功率P（W）与做功时间t（s）成反比例，P（W）与t（s）之间的函数关系如图所示．当25≤t≤40时，P的值可以为（ ）
A．24B．27C．45D．50
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再求出当t＝25和t＝40时的函数值，根据反比例函数的性质即可得到答案．
【解答】解：设功率P（单位：w）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P=kt（k≠0），
把t＝60，P＝20代入解析式得：20=k60，
解得：k＝1200，
∴功率P（单位：w）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P=1200t；
∵反比例函数的图象在第一象限内，P随t的增大而减小，
∴当t≥25时，P≤120025=48，
当t≤40时，P≥120040=30，
∴30≤t≤48，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
6．（2025•淄博）如图，D为矩形OABC（边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上）对角线OB上的点，且OD=12BD．经过点D的反比例函数y=kx的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF．若△OBF的面积是24，则△OEF的面积为（ ）
A．25B．26C．793D．803
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】设出点A和点C的坐标，进一步表示出点B的坐标，再结合OD=12BD表示出点D的坐标，最后利用△OBF的面积是24及整体思想进行计算即可．
【解答】解：由题知，
令点A坐标为（a，0），点C坐标为（0，b），
则点B坐标为（a，b）．
因为OD=12BD，
所以点D坐标可表示为（13a，13b）．
因为点D在反比例函数的图象上，
所以k=13a⋅13b=19ab，
则反比例函数解析式为y=ab9x．
又因为点E，F在反比例函数的图象上，
所以点F坐标为（19a，b），点E的坐标为（a，19b），
所以BF＝a−19a=89a，BE＝b−19b=89b，
所以S△OBF=12×89a×b=24，
解得ab＝54，
所以S△OEF＝S矩形OABC﹣S△OCF﹣S△OEA﹣S△BEF
＝ab−12×19ab−12×19ab−12×89a×89b
=4081ab
=803．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征及矩形的性质，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键．
7．（2025•太原一模）“无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品，但并非真正意义的无糖．现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料，它们的含糖浓度y（含糖浓度=甜味剂质量饮料质量×100%）与饮料质量x（g）之间的关系，可近似地用如图的反比例函数图象表示，其中甲、乙饮料y与x的关系满足y=k1x(x＞0)，丙、丁饮料y与x的关系满足y=k2x(x＞0)．根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多
B．丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多
C．甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多
D．丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的几何意义判断即可．
【解答】解：∵含糖浓度=甜味剂质量饮料质量×100%，
∴甜味剂质量＝含糖量浓度×饮料质量，
∴xy＝k1或xy＝k2，
∴甲、乙饮料含甜味剂质量相同，丙、丁饮料含甜味剂质量相同，
根据图形可知，k1＜k2，
∴丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是掌握反比例函数k的几何意义．
8．（2025•乐东县校级三模）如图是机器狗的实物图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量 m＝60kg时，它的最快移动速度v＝4m/s；当其载重后总质量m＝80kg时，它的最快移动速度是（ ）
A．2m/sB．2.5m/sC．3m/sD．3.5m/s
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将m＝80kg代入计算即可．
【解答】解：设v=km，
由题意可得：k＝60×4＝240，
∴反比例函数解析式为v=240m，
当m＝80kg时，v=24080=3(m/s)，
答：当其载重后总质量m＝80kg时，它的最快移动速度v＝3m/s．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键．
9．（2025•岳塘区校级二模）如图，点M为反比例函数y=kx(k＞0)图象上的一点，过点M作MA⊥y轴，垂足为A，若△OAM的面积为2，则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可．
【解答】解：根据反比例函数k值的几何意义可得：
k＝2S△AOB＝2×2＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．
10．（2025•盘龙区一模）已知反比例函数y=3x，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、第四象限
B．当y＝3时，x＝﹣1
C．在图象的每一支上，y随x的增大而减小
D．若x＞1，则y＞3
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析判断即可．
【解答】解：A、反比例函数y=3x中k＝3＞0，函数图象分别位于第一、三象限，故此选项错误；
B、当y＝3，则3=3x，求得x＝1，故此选项错误；
C、反比例函数y=3x中k＝3＞0，故在图象的每一支上，y随x的增大而减小，故此选项正确；
D、反比例函数y=3x中k＝3＞0，当x＞0时，y随着x的增大而减小，故若x＞1，则0＜y＜3，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
11．（2025•赤坎区校级四模）物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象，若该电路的最小电阻为0.5Ω，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是72AB．最大电流是36A
C．最小电流是72AD．最小电流是36A
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】可设I=UR，由于点（4，9）代入这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入R＝0.5求得I的值即可．
【解答】解：设I=UR，由条件可得9=U4，解得U＝36，
∴I=36R；
若该电路的最小电阻值为0.5Ω，该电路能通过的最大电流是360.5=72(A)，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
12．（2025•淮安）在平面直角坐标系中，直角三角板AOB按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，∠B＝30°．若点B坐标为（1，﹣3），则k的值是（ ）
A．﹣2B．12C．1D．2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】过点A作AC⊥y轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，证明△OCA∽△BDO，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，
由条件可知OAOB=tan∠B=tan30°=33，
∵AC⊥y轴，
∴∠OAC+∠COA＝90°，
∵直角三角板AOB中∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠COA＝90°，
∴∠BOD＝∠OAC，
又∵∠BDO＝∠OCA＝90°，
∴△BOD∽△OAC，
∴OCBD=ACOD=OABO=33，
∴BD＝1，OD＝3，
∴OC=33BD=33，AC=33OD=33×3=3，
∴点A坐标为(3，33)，
∵点A在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，
∴k=3×33=1，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键．
13．（2025•西宁）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数y2=k2x（k2≠0，x＞0）的图象交于点C（1，2），D(m，12)．下列结论错误的是（ ）
A．b=52
B．△BOC与△AOD的面积相等
C．△COD的面积是174
D．当1≤x≤4时，y1≥y2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据先求出反比例函数和一次函数的解析式，再反比例函数与一次函数的性质，逐项判断即可．
【解答】解：（1）由y2=k2x过点C（1，2）和D（m，12）可得：k2=2k2m=12，
解得：k2=2m=4
∴y2=2x，
又由y1＝kx+b过点C（1，2）和D（4，12）可得：k+b=24k+b=12，
解得k=−12b=52，
∴y1=−12x+52，A选项正确，不符合题意；
又∵一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与两坐标轴分别交于点A，B，
∴A坐标为（5，0），B（0，52），
又点C的坐标是C（1，2），D（4，12）
∴△BOC的面积=12×52×1=54，
△AOD的面积=12×5×12=54，
∴△BOC与△AOD的面积相等，B选项正确，不符合题意；
△COD的面积＝△BOA的面积﹣△AOD的面积﹣△BOC的面积=12×5×52−54−54=154，故C选项错误，符合题意；
由图可知，当1≤x≤4时，y1≥y2正确，D项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的基本特点以及能根据坐标系中点的位置，将数形相结合进行简单计算是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
14．（2025•城中区校级一模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=2x的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=kx的图象上，且OA⊥OB，csA=12，则k＝ ﹣6 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；反比例函数系数k的几何意义．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】﹣6．
【分析】过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为点C、D，通过证明△OBD∽△AOC得到S△OBDS△AOC=(OBOA)2，再根据cs∠OAB=12得到∠OAB＝60°，得出OBOA=tan60°=3，再由反比例函数的性质可知S△AOC＝1，S△OBD=−k2，列出方程即可求出k的值．
【解答】解：如图，作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴∠BDO＝∠OCA＝90°，
∴∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠BOD+∠OBD＝∠BOD+∠AOC，即∠OBD＝∠AOC，
∴△OBD∽△AOC，
∴S△OBDS△AOC=(OBOA)2，
∵cs∠OAB=12，
∴∠OAB＝60°，
∴tan∠OAB=OBOA=tan60°=3，
∴S△OBDS△AOC=(3)2=3，
∵点A在反比例函数y=2x的图象上，点B在反比例函数y=kx的图象上，
∴S△AOC=12×2=1，S△OBD=12⋅|k|=12⋅(−k)=−k2，
∴−k2=3，
解得：k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
15．（2025•隆昌市校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的OA边在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，OA＝3，反比例函数y=kx(k＞0)与正方形BC边交于点D，与边AB交于点E，点P在y轴上，若△ODE的面积为52，则PD+PE的最小值是 26 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；勾股定理；正方形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】26．
【分析】得到B点的坐标为（3，3），设D(k3，3)，E(3，k3)，根据S△ODE＝S正方形OCBA﹣S△AOE﹣S△COD﹣S△BDE=52列方程求出k＝6或k＝﹣6（不合题意，舍去），得到反比例函数y=6x，则D（2，3），E（3，2），作点D关于y轴的对称点D′（﹣2.3），连接ED′交y轴于点P，连接DP，则PD+PE＝PD′+PE＝D′E为最小值，利用勾股定理求出答案即可．
【解答】解：由条件可知AB＝OC＝AO＝BC＝3，
则B点的坐标为（3，3），
由条件可知D(k3，3)，E(3，k3)，
∵S△ODE＝S正方形OCBA﹣S△AOE﹣S△COD﹣S△BDE
=9−12k−12k−12(3−k3)(3−k3)=52，
解得，k＝6或k＝﹣6（不合题意，舍去），
∴反比例函数y=6x，
∴D（2，3），E（3，2），
作点D关于y轴的对称点D′（﹣2，3），连接ED′交y轴于点P，连接DP，
则PD+PE＝PD′+PE＝D′E为最小值，
∴D'E=(3+2)2+(2−3)2=26，
即PD+PE的最小值是26．
故答案为：26．
【点评】本题主要考查了反比例函数的k的意义，熟练掌握该知识点是关键．
16．（2025•宁波模拟）如图，已知点B在反比例函数y=kx的图象上，A(0，52)，△ABC为直角三角形，将△ABC旋转至△EDC，使得点D恰好也在反比例函数y=kx的图象上，已知S△ADE＝3，则k的值为 38425或34350 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】反比例函数及其应用；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】38425或34350．
【分析】过点A作AF⊥CD于点F，延长ED交x轴于点G，过点D作DH⊥x轴于点H，连接EF，根据对称性得出B，D关于y＝x对称，证明△CED≌△CGD（ASA），得出CG=CE=CA=52，证明△ABC≌△CFA（ASA）得出CF＝AB，AF＝BC＝CD，设D（m，n），过点B作MN∥y轴，过点A作AM∥x，AM，MN交于点M，MB交x轴于点N，证明△AMB∽△BNC，得出BM=n2m，根据MB+BN=AC=52得出m2+n2=52m①，等面积法求得DG，进而求得DF，根据S△ADE＝3，建立方程并整理得出52mn−52n2=6m②，解方程，求得n=34m或n=17m，代入①进而求得k，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥CD于点F，延长ED交x轴于点G，过点D作DH⊥x轴于点H，连接EF，
∵将△ABC旋转至△EDC，A(0，52)，
∴AC=CE=52，CB＝CD，∠ACB＝∠ECD，
又∵B，D都在反比例函数y=kx的图象上，
∴B，D关于y＝x对称，
设T是y＝x上第一象限的点，
∴∠TCA＝∠TCG＝45°，∠TCB＝∠TCD，
∴∠ACB＝∠DCG，
设∠ACB＝α，
又∵∠ACB＝∠ECD，
∴∠DCG＝∠ECD＝α，
∴∠ACF＝90°﹣α＝∠CAB，
在△CED与△CGD中，
∠ECD=∠GCDCD=CD∠CDE=∠CDG=90°，
∴△CED≌△CGD（ASA）
∴CG=CE=CA=52，ED＝DG，
在△ABC与△CFA中，
∠ACB=∠CAFAC=AC∠ABC=∠CFA=90°，
∴△ABC≌△CFA（ASA），
∴CF＝AB，AF＝BC＝CD，
设D（m，n），
∴HC＝m，DH＝n，
如图，过点B作MN∥y轴，过点A作AM∥x，AM，MN交于点M，MB交x轴于点N，
∴∠AMB＝∠CNB＝90°，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ABM＝90°﹣∠CBN＝∠BCN，
∴△AMB∽△BNC，
∴AMBN=BMCN，
又∵∠BCN＝90°﹣α＝∠CDH，BC＝CD，∠BNC＝∠CHD，
∴△CBN≌△DCH（ASA），
∴CN＝DH＝n，BN＝CH＝m，
∴nm=BMn，
∴BM=n2m，
∵MB+BN=AC=52，
∴n2m+m=52，
即m2+n2=52m①，
∵HC＝m，DH＝n，
∴CD=m2+n2，
∵S△CDG=12CD×DG=12CG×DH，
∴DG=CG×DHCD=52nm2+n2=m2+n2m2+n2×52n=m2+n252m×52n=nmm2+n2
又∵CF＝AB＝ED＝DG，
∴DF＝CD﹣CF＝CD﹣DG
=m2+n2−52nm2+n2=m2+n2−52nm2+n2
=52m−52nm2+n2
=52(m−n)m2+n2
∵S△ADE=12ED⋅DF=12⋅nmm2+n2⋅52(m−n)m2+n2=3，
整理得52mn−52n2=6m②，
由①得m=m2+n252，把m=m2+n252代入②得52mn−52n2=6m2+n252，
整理得3m2﹣25mn+28n2＝0，
解得n=34m或n=17m，
把n=34m代入n2m+m=52得m=1625，n=34m=1225，
故k=mn=38425．
同理：把n=17m代入得m=49210，n=7210，
故k=mn=34350．
综上，可知：k=38425或34350，
故答案为：38425或34350．
【点评】本题考查了反比例函数与几何图形综合，相似三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
17．（2025•咸阳校级二模）如图，A、B为反比例函数y=kx(x＞0)图象上两点，连接OA，过点B作BC⊥y轴于点C，交OA于点D，且D为OA的中点．若△ABD的面积等于3，则k的值为 8 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】8．
【分析】过点A作AE⊥y轴，垂足为E，连接OB，根据条件可推出S梯形AECD＝S△BDO＝3，利用S梯形AECD=34S△AOE代入数据计算即可．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，连接OB，
∵D为OA的中点．△ABD的面积等于3，
∴S△ABD＝S△ODB＝3，
∵点AB在反比例函数图象上，且反比例函数图象在第一象限，
∴S△AOE＝S△COB=k2，
∴S梯形AECD＝S△BDO＝3，
∵S梯形AECD=34S△AOE=34•k2，
∴3k8=3，
∴k＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．
18．（2025•亭湖区校级二模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．小雪的镜片焦距为0.2米时，眼镜度数为500度，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距变为0.5米，此时眼镜的度数为 200 度．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据待定系数法求出反比例函数解析式，令x＝0.5时，求y的值即可．
【解答】解：设y=kx（k≠0），
∵（0.2，500）在图象上，
∴k＝500×0.2＝100，
∴函数解析式为：y=100x，
当x＝0.5时，y=1000.5=200，
∴此时眼镜的度数为200度．
故答案为：200．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，根据待定系数法求出反比例函数解析式是解决问题的关键．
19．（2025•无棣县一模）如图，点A为反比例函数y=−1x(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例y=4x(x＞0)的图象交于点B，则AOBO的值为 12
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质；反比例函数系数k的几何意义．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于点D，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于点D，
∴S△ACO=12×1=12，S△BDO=12×4=2，∠ACO＝∠ODB＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC＝∠OBD＝90°﹣∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴S△ACOS△BDO=(OAOB)2，即122=(OAOB)2，
∴OAOB=12（负值舍去），
故答案为：12．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．
20．（2025•武汉模拟）某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与可I（A）变电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，当某种使用这种蓄电池的用电器的安全电流最大为3A时，原电路中已经有一个10Ω的定值电阻，则至少应再串联一个 2 Ω的电阻才可以保证电路安全（已知：串联电路的总电阻等于各电阻之和）．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】2．
【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，根据函数解析式求值即可．
【解答】解：从图中可以看出：I与R呈反比例函数关系，
设I=kR（R＞0，k≠0），
代入I＝4，R＝9，
得4=k9，
∴k＝36，
∴I=36R，
令I＝3，则R=363=12，
蓄电池的用电器的安全电流最大为3A，即I≤3A，
∵I与R呈反比例函数关系，
∴R≥12Ω，
∵12Ω﹣10Ω＝2Ω，
则至少应再串联一个2Ω的电阻．
故答案为：2．
【点评】本题考查反比例函数的图象，能够读懂反比例函数的图象是解决问题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•遵义模拟）已知点（﹣1，6）在反比例函数y=m−8x的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点（x1，﹣6），（x2，﹣1），（x3，3）都在反比例函数的图象上，比较x1，x2，x3的大小，并说明理由．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=−6x；
（2）x2＞x1＞x3，理由如下：
∵﹣6＜0，
∴函数图象位于第二、四象限，
∵点（x1，﹣6），（x2，﹣1），（x3，3）都在反比例函数的图象上，3＞0＞﹣1＞﹣6，
∴x2＞x1＞0＞x3，
∴x2＞x1＞x3．
【分析】（1）把（﹣1，6）代入y=m−8x，运用待定系数法计算即可求解；
（2）由解析式可得函数图象位于第二、四象限，每个象限，y随x的增大而增大，由此即可求解．
【解答】解：（1）∵点（﹣1，6）在反比例函数y=m−8x的图象上，
把（﹣1，6）代入y=m−8x，
得6=m−8−1，
解得m＝2，
∴反比例函数的表达式为y=−6x．
（2）x2＞x1＞x3，理由如下：
∵﹣6＜0，
∴函数图象位于第二、四象限，
∵点（x1，﹣6），（x2，﹣1），（x3，3）都在反比例函数的图象上，3＞0＞﹣1＞﹣6，
∴x2＞x1＞0＞x3，
∴x2＞x1＞x3．
【点评】本题主要考查待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握待定系数法的运用，反比例函数增减性是解题的关键．
22．（2025•东海县校级二模）把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是5−12，称之为“黄金比”．如图，点A、C是反比例函数y=kx(k＞0)在第一象限内图象上的任意点，AB⊥x轴于点B，连接BC．
（1）若k＝3，OB＝m+2，AB＝m，试求m的值；
（2）在（1）的条件下，在x轴上取一点P，使ABOP的值为“黄金比”，求点P的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）m＝1；
（2）(−5+12，0)或(5+12，0)．
【分析】（1）根据题意可得A（m+2，m），再把A（m+2，m）代入反比例函数解析式中计算求解即可；
（2）由（1）可得AB＝1，根据题意可得ABOP=5−12，据此求出OP的长即可得到答案．
【解答】解：（1）∵AB⊥x轴，OB＝m+2，AB＝m，
∴A（m+2，m），
∵k＝3，
∴反比例函数解析式为y=3x，
∵点A、C是反比例函数y=kx(k＞0)在第一象限内图象上的任意点，将点A的坐标代入得：
m=3m+2，
解得：m＝1（经检验，是原分式方程的根，且符合题意）或m＝﹣3（不合题意，舍去）；
（2）由（1）可得AB＝1，
∵ABOP的值为“黄金比”，
∴ABOP=5−12，
∴OP=2AB5−1=5+12，
∴点P的坐标为(−5+12，0)或(5+12，0)．
【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，黄金分割，正确理解题意是解题的关键．
23．（2025•湖北三模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2=kx的图象在第一、第三象限分别交于A（1，m），B（﹣2，n）两点，且m+n＝3，C是x轴正半轴上一点，AC⊥BC．
（1）求一次函数与反比例函数解析式；
（2）求∠ABC的度数．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y1＝3x+3；y2=6x；
（2）∠ABC＝45°．
【分析】（1）把A、B坐标代入反比例函数解析式得到k＝m＝﹣2n，再结合已知条件求出m、n的值，再利用待定系数法求解即可；
（2）设C（m，0），则AC2＝m2﹣2m+37，BC2＝m2+4m+13，AB2＝90，利用勾股定理可得方程m2﹣2m+37+m2+4m+13＝90，解方程可证明AC＝BC，据此可得答案．
【解答】解：（1）已知一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2=kx的图象在第一、第三象限分别交于A（1，m），B（﹣2，n）两点，将点A，点B的坐标分别代入得：
m=k1n=k−2，
解得：k＝m＝﹣2n，
∵m+n＝3，
∴﹣2n+n＝3，
解得：n＝﹣3，
∴m＝6，
∴k＝6，A（1，6），B（﹣2，﹣3），
∴反比例函数解析式为y2=6x，
把点A，点B的坐标分别代入y1＝ax+b得：
a+b=6−2a+b=−3，
解得：a=3b=3，
∴一次函数解析式为y1＝3x+3；
（2）设C（m，0），
∵A（1，6），B（﹣2，﹣3），
∴AC2＝（1﹣m）+（6﹣0）2＝m2﹣2m+37，BC2＝（﹣2﹣m）+（﹣3﹣0）2＝m2+4m+13，
AB2＝（﹣2﹣1）+（﹣3﹣6）2＝90，
∵AC⊥BC，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴m2﹣2m+37+m2+4m+13＝90，
解得m＝4或m＝﹣5（不合题意，舍去），
∴AC2＝42﹣2×4+37＝45，BC2＝42+4×4+13＝45，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的图象与性质，两点距离计算公式，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
24．（2025•东营模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象相交于点A和B（﹣4，﹣3），点A的横坐标为2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围；
（3）点C为x轴上一动点，连接AC，BC，若△ABC的面积为18，求点C的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用．
【答案】（1）一次函数解析式为y1=32x+3，反比例函数解析式为y2=12x；（2）x≤﹣4或0＜x≤2；（3）点C坐标为（﹣6，0）或 （2，0）．
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）根据图象即可求得；
（3）设y1=32x+3与x轴交于点D，得出D（﹣2，0），设C（t，0），则CD＝|t+2|，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得C的坐标．
【解答】解：（1）一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象相交于点A和B（﹣4，﹣3），点A的横坐标为2，
∴将B（﹣4，﹣3）代入y2=mx，
则m＝（﹣3）×（﹣4）＝12，
∴反比例函数解析式为：y2=12x，
∴将xA＝2代入y2=12x，
则yA=122=6，
∴A（2，6），
将 A（2，6），B（﹣4，﹣3）代入y1＝kx+b，
则2k+b=6−4k+b=−3，
解得：k=32b=3，
∴一次函数解析式为：y1=32x+3；
（2）∵xA＝2，xB＝﹣4，
∴观察图象，当y1≤y2时，x的取值范围是x≤﹣4或0＜x≤2；
（3）设y1=32x+3与x轴交于点D，
当y＝0时，32x+3=0，
∴x＝﹣2，
∴D（﹣2，0），
设C（t，0），
∴CD＝|t+2|，
∵△ABC的面积为18，
∴S△ABC=S△CDA+S△CDB=12CD(yA−yB)，
∴S△ABC=12CD⋅(6+3)=18，
∴CD＝4，即|t+2|＝4，
解得：t＝2或t＝﹣6，
∴点C坐标为 （﹣6，0）或（2，0）．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等，掌握以上性质是解题的关键．
25．（2025•钟山区模拟）长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分．
（1）求CD段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）大棚里种植的草莓在温度为15℃到20℃的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是10℃，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）CD段所对应的反比例函数关系式为y=240x，自变量x的取值范围为12≤x≤24；
（2）草莓一天内最适合生长的时间有15小时．
【分析】（1）应用待定系数法求函数解析式；
（2）先求出AB段的解析式，代入临界值y＝15，分别求出AB段和CD段温度为15℃的时间，再相减即可即可．
【解答】解：（1）设CD段所对应的反比例函数关系式为y=kx(k≠0)．
由条件可得k＝24×10＝240，
∴y=240x．
当y＝20时，20=240x，
解得x＝12，即a＝12，
∴CD段所对应的反比例函数关系式为y=240x，自变量x的取值范围为12≤x≤24．
（2）设直线AB的函数关系式为y＝mx+n（0≤x≤2）．
由条件可得n=10，2m+n=20，，
解得m=5n=10，
∴直线AB的函数关系式为y＝5x+10．
当y＝15时，15＝5x+10，解得x＝1．
当y＝15时，15=240x，解得x＝16，
16﹣1＝15（小时）．
答：草莓一天内最适合生长的时间有15小时．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
考点卡片
1．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（−bk，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
2．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
3．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
4．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y=kx（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
5．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
6．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
7．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=kx（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
8．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．
9．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
10．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
11．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移|b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
12．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
13．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
14．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
15．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
16．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
17．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
18．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
19．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，csA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
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