2025~2026学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二上册期末数学试卷（原卷）

这是一份2025~2026学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二上册期末数学试卷（原卷），共7页。试卷主要包含了 设，随机变量的分布列是， 已知圆，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
总分：150分
I卷选择题（共58分）
一､单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知相关变量和的散点图如图所示，若用与拟合时，决定系数分别为和，则比较和的大小结果为（ ）
A. B. C. D. 不确定
2. 已知是等差数列，，，则的前10项和为（ ）
A. 90B. 100C. 110D. 120
3. 三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（ ）
A 6种B. 8种C. 10种D. 16种
4. 为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有的学生乘坐公共交通工具，有的学生乘坐私家车，有的学生选择骑行或步行.在乘坐公共交通工具出行的学生中有的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有的人迟到.以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为（ ）
A B. C. D.
5. 设，随机变量的分布列是
若，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 设两个正态分布和曲线如图所示，则有（ ）

A. B.
C. D.
7. 某高校两名学生准备从A，B，C，D，E，F这6门选修课程中任选3门，则这两名学生在所选课程中有相同课程的条件下，恰好选择了2门相同课程的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 与6的大小无法确定
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A. 展开式中奇数项的二项式系数和为256B. 展开式中第6项的系数最大
C. 展开式中存在常数项D. 展开式中含项的系数为210
10. 已知圆，下列说法正确的是（ ）
A. 圆的圆心为
B. 点在圆上
C. 圆上恰有3个点到直线的距离为1
D. 过的直线与圆相交，弦长为，则直线方程为
11. 已知为坐标原点，为抛物线焦点，是上的两点，且，则（ ）
A. ，使得
B ，使得
C.
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，则__________.
13. 已知双曲线的左､右焦点分别为，实轴端点分别为，点是双曲线上不同于的任意一点，与的面积比为，则双曲线的渐近线方程为__________.
14. 已知等差数列，的前n项和分别为和，若，则满足的正整数n的个数为______.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：
（1）试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；
（2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：，其中.
16. 已知数列的前项和，且.
（1）证明：为等差数列；
（2）设，求数列前项和.
17. 已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，过点的直线与椭圆交于不同两点，证明.
18. 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：
根据以上数据，绘制了散点图.
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与的相关系数.参考数据（其中）：
（1）用反比例函数模型求关于的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由.
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数.
19. 第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N，随机缴获该月生产的n辆（）坦克的编号为，，…，，记，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N.
甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用估计总体的均值，因此，得，故可用作为N的估计.
乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现的无意义结果.例如，当，时，若，，，则，此时.
（1）当，时，求条件概率；
（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值.当，时，求随机变量M的分布列和均值；
（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断与N的大小关系，并给出证明.
0
1
2
年龄
周平均锻炼时长
合计
周平均锻炼时间少于4小时
周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下
40
60
100
50岁以上（含50）
25
75
100
合计
65
135
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
112
61
44.5
35
30.5
28
25
24
183.4
0.34
0.115
1.53
360
22385.5
61.4
0.135