江苏省苏北七市2026届高三下学期二模数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
2. 已知 ,则
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】.
3.已知向量 与 均为非零向量，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 ,
. 若 ,设 ,则 .
.
4.函数 的所有极值的和为
A. -4 B. -2 C. 0 D. 2
【答案】A
【解析】
.
5.已知锐角 满足 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
.
6.随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高，该技术下生产第一件产品的工时为 ,生产 件产品的平均工时 ,其中 ( 为产品工时递减速率). 现有一条工时递减速率为 的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为
A. 0.6 B. 0.8 C. 1.25 D. 1.6
【答案】B
【解析】.
7.已知 ,则 的最小值为
A. 1 B. 9 C. 16 D. 25
【答案】D
【解析】方法一: 在 为圆心,1 为半径的圆上, 在 为圆心,10 为半径的圆上, 在 为圆心, 10 为半径的圆上 ,两圆上各自取点距离 的最小值 .
方法二: 设点 分别在两圆上,
两圆圆心分别为 ,则 ,
当 时取等号,故最小值为 25
8.已知二面角 的大小为 ，且 为 内异于 的任意一点,则 的最小值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过 作 ,垂足为 ,连 ,过 作 ,垂足为
面 二面角 为
令 ,则 ,
.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知一组数据 2,3,3,4, m,7 的 80 百分位数是 5 , 则
A. 该组数据的极差为 5
B. 该组数据的中位数为 3.5
C. 剔除该组数据中的 4 后, 剩下样本数据的平均数变小
D. 剔除该组数据中的 4 后, 剩下样本数据的方差变小
【答案】AB
【解析】 ，第 5 位数是 5， ， 对.
中位数 ，B 对.
原平均数 ，剔除 4 平均数依然为 4，C 错.
原方差
剔除 4 后方差 , D 错.
10.在平面直角坐标系 中,已知抛物线 的焦点为 ,准线为 . 过 的直线与 交于 两点,过 作 的垂线,垂足为 与 轴交于 点, 则
A. B.
C. 可能为锐角 D. 三点共线
【答案】ABD
【解析】设 ,则 ;
直线 为 ,与 联立得 ;
设两交点横坐标为 ,则 ,已知 ,所以 , 所以 ;
又 ;
对 ,
正确;
对 ,令 为 的斜率, 为 的斜率,则 ,
,所以 , B 正确;
对 ,
所以 为钝角, 错误;
对 ,令 为 的斜率, 为 的斜率,则 , 所以 三点共线, 正确.
11.已知函数 ,则下列说法正确的是
A. 若 为正数， ，则
B. 若 为正数， ，则
C. 若 ,则函数 有唯一零点
D. 若 ,则函数 的零点个数为奇数
【答案】ACD
【解析】对于 ,不妨设 , 设 正确.
对于 ,例如取 取 , 但 错.
对于 ,首先 为 的一个零点,
当 时, , 此时 ,
若它为 零点,则 .
当 时, ,此时 ,
若它为 零点,则 只有唯一的零点 , C 正确.
对于 D,首先 为 的一个零点,当 时, , ,若它为 零点, 且 .
对给定的 ,记其中 的个数为 ,当 时, ,若它为 的零点,则 且 ,对给定的 ,其中 的个数也为 的零点个数为: 为奇数，D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.在等差数列 中,已知 ,则该数列前 项和 的最小值为________.
【答案】-4
【解析】设公差为 ,则 ,
当 时取等号,故最小值为 -4 .
13.已知函数 ，写出满足 “曲线 关于点 对称的 的一个值_______.
【答案】
【解析】令 ,则 ,
曲线 关于点 对称, ,
对任意 恒成立, . 取 .
14.已知双曲线 的右焦点为 是 右支上一点， 关于原点和 轴对称的点分别为 ,则 的离心率为________.
【答案】
【解析】方法一:令 ，则

.
方法二: 关于 轴对称, ,
又 为等边三角形,
,而 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在 中，内角 的对边分别为 . 已知 ，
(1)求 的值；
(2)证明: .
【解析】(1)设 ，则 ,
又 ,
,
.
由正弦定理, .
(2) ,
,
由 .
,又 ,故 .
16.已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若曲线 经过点 ，且在 处的切线为 . 证明:除切点 外， 曲线 在直线 的下方.
【解析】(1) ,
当 时, 在 上单调递增,
当 时, ,
在 上单调递减,在 上单调递增.
(2) ,
.
切线 ,
设 ,
.
在 上单调递增,在 上单调递减.
且 时, .
即 ,
故除切点 外,曲线 在直线 的下方 .
17.某学校田径队有甲、乙等 8 名运动员，现将这 8 人平均分成 两组进行集训. 每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长.
(1)求甲、乙两人同在 组的概率；
(2)求甲在三天内至少担任一次组长的概率；
(3)记 为连续两天至少担任一次组长的人数，求 的概率分布列和数学期望.
【解析】
(1)8 人平均分成 两组的总情形有: 种,
甲、乙两人同在 组的情形有 种,
甲、乙两人同在 组的概率 .
(2)正难则反，甲在三天内均不担任组长的概率为 ,
甲在三天内至少担任一次组长的概率为 ,
(3) 的所有可能取值为2,3,4,
.
的分布列如下:
18.一个椭圆沿着垂直于其所在平面的方向上平行移动形成的空间图形叫作椭圆柱, 平移起止位置的两个面叫作椭圆柱的底面. 如图, 在椭圆柱 中, 椭圆 的长轴长为 4,短轴长为 2, 是椭圆 上关于 对称的两点, 是椭圆 上关于 对称的两点,且 .
(1)证明: 平面 ；
(2)若 ，求直线 与底面所成角的正弦值；
(3)求四面体 的内切球半径的最小值.
【解析】(1)证明: 平面 , 又 平面 .
(2)椭圆 ,如图建系,
倾斜角为
,底面 的一个法向量
设直线 与底面 所成角为 .
(3)设直线 方程: ， ，
.
同理 ,
,设四面体 内切球半径为
,
而
(当且仅当 ,即 时取 “ ”)
,另一方面当 时, .
此时
时 .
19.已知有穷等比数列 的项数为 ，公比 . 将 的所有项按照某种顺序排成一列,得到数列 ,使得 时,
(1)若 ，写出所有满足条件的 ；
(2)是否存在 ，使得对任意 都成立，并说明理由；
(3)从满足条件的所有数列 中随机抽取一个，求抽到的 为等比数列的概率.
【解析】(1)设 ，其中 为 的一个排列.
,且 时 ,
数列 单调不减.
.
当 时,满足 的排列有: .
满足条件的 共有 4 个,分别为: .
(2)存在. 理由如下 .
即 ,排列 中相邻两项的差不相等.
当 为偶数时,令 ;
恒成立.
相邻两差交替为 , 无相邻两差相等, 满足条件.
当 为奇数时,令 ;
恒成立.
相邻两差依次为 ,无相邻两差相等,满足条件.
存在满足条件的 .
(3)记满足 的 项排列的个数为 .
设 ,当 时, .
又 排在第 位, .
同理 排列的后 项固定为 . 前 项为 的一个满足条件的排列,排法有 种 (规定 .
两式相减 .
.
若 为等比数列,设公比为 ,则 为常数.
为 的排列, 或 -1 .
当 时, ,满足 ;
当 时, ,满足 .
满足条件的等比数列共有 2 个. .2
3
4