江苏省徐州市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试卷（解析版）

这是一份江苏省徐州市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了已知是定义在上的函数,且,则， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，而，
，
故选：C
2. 用数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ）
A. 48B. 60C. 96D. 120
【答案】A
【解析】第一步，个位2或4，共两种排法；
第二步，千、百、十位有种排法.
所以，共种排法.
故选：A.
3. 我们通常用里氏震级来标定地震规模的大小，里氏震级与震源中心释放的能量有关，二者满足关系式2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，2024年6月12日，四川甘孜州石渠县发生里氏4.7级地震，则里氏8.0级地震释放的能量是里氏4.7级地震释放的能量的（ ）
A. 1.7倍B. 4.95倍
C. 倍D. 倍
【答案】D
【解析】当时，有，即，即，
当时，有，即，即，
故.
故选：D.
4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数在上单调递增，
当，即时，需满足，解得，
所以；
当，即时，需满足，
即，解得，又，所以,
综上，实数的取值范围为.
故选：B
5. 从数字中随机取一个数字，记为，再从数字中随机取一个数字，则第二次取到的数字为2的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】记事件为“第一次取到数字n”， ，
事件B为“第二次取到的数字为2”，
由题意知是两两互斥的事件，且（样本空间），

,
故选：B
6. 若直线经过曲线的对称中心，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】记，
因为
，所以的对称中心为
因为直线过的对称中心，
所以，即，
所以，当且仅当时取等号，即的最大值为4.
故选：
7. 在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为4，
则，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
由，得到，取，得到，
所以，
所以点到平面的距离为，
故选：C.
8.已知是定义在上的函数,且,则（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】因为，即，所以函数的图象关于直线对称；
又因为，所以，所以函数的图象关于点对称；
所以，所以，即函数周期为4，
又因为，所以，即.
所以.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为实数，则“”的必要条件可以为（ ）
A. B.
C D.
【答案】AB
【解析】对于A，因为在单调递增，
所以当时，成立，故A符合题意；
对于B，因为在上单调递增，
所以当时，，成立，故B符合题意；
对于C，因为在上单调递减，
所以当时，，故C不合题意，
对于D，因为在上单调递减，在上单调递增，
当时，若时，，
若时，，故D不合题意，故选：AB．
10. 已知函数，则（ ）
A.
B. 为奇函数
C. 在区间上单调递增
D. 集合的元素个数为4
【答案】ABD
【解析】对A，，故A正确；
对B，的定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，故B正确；
对C，当时，，，
根据单调递增，所以在单调递减，
又因为是奇函数，所以在单调递减，且，
所以在上单调递减，故C错误；
对D，得：，
当时，方程可化为，
因为，此时，方程的两根满足，可以说明，
所以当时，有两个不相等正根，
当时，方程可化为，
因为，此时，方程的两根满足，可以说明，
所以当时，有两个不相等的负根，
综上所述，方程有四个不相等的实数解，即集合有个元素，故D正确.
故选：ABD
11. 如图，在边长为12的正方形中，分别边的三等分点，正方形内有两点，点到的距离分别为，点到的距离也是和，其中.将该正方形沿折起，使与重合，则在该空间图形中，（ ）
A. 直线平面
B. 的最小值为
C. 线段的中点到的距离不超过
D. 异面直线与成角时，
【答案】ABD
【解析】如图，取中点，的中点，连接，
因为，所以，
因为，，又，面，
所以面，又，所以面，
故，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
设于，于，过作于,
易知，，又，所以，又，
所以，同理可知，所以，
对于选项A，易知平面的一个法向量为，因为，
显然平面，所以平面，故选项A正确，
对于选项B，因为，
令，其中，
对称轴，所以，
所以，故选项B正确，
对于选项C，因为中点，，
所以 ，故选项C错误，
对于选项D，因为，所以，
所以，整理得到，
解得或（舍），故选项D正确，
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，若，则__________.
【答案】4
【解析】因为随机变量，，
所以
又因为，
所以由对称性知，.
故答案为：4
13. 已知，则__________，被6除所得的余数是__________.
【答案】2；5
【解析】依题意，，，
所以；
，
显然是6的整数倍，而除以6余5，
所以被6除所得的余数是5.
故答案为：2；5.
14. 已知函数，若对任意，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为，
当时，，，所以不恒成立，
故，
当时，，显然不恒成立，
（如），
当时，由可得，
平方可得，
由时，恒成立，
令，
当，即时，，显然不恒成立，
当时，恒成立，
需满足，解得，即，
综上，实数的取值范围为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式的各项系数和为256.
（1）求展开式中的常数项；
（2）设，证明：；
（3）求证：.
解：（1）因为的展开式的各项系数和为256，
所以，解得，
所以，
展开式的通项公式为，
令，得，
所以展开式中的常数项为；
（2）因为
，
所以；
（3）因为由（2）知，
所以
．
16. 为加快推动旅游业复苏，进一步增强市民旅游消费意愿，某景区推出针对中､高考生的优惠活动：凭中､高考准考证可优惠购票,并可以八折购买“金榜题名”文创雪糕.该景区从中､高考生游客中随机抽取200人了解他们对这项活动的满意度，统计得到列联表如下：
（1）判断能否有的把握认为满意度与考生类型有关？
（2）现从高考生的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中不满意的人数的概率分布及数学期望.
附：，其中.
解：（1）零假设为满意度与考生类型相互独立，即满意度与考生类型无关.
由列联表可得：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
所以有的把握认为满意度与考生类型有关.
（2）高考生共有100人，其中不满意的有60人，满意的有40人，
由分层抽样，其中抽得不满意的有3人，满意的有2人，
由题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
.
17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，，.
（1）若点为棱的中点，求二面角的余弦值；
（2）若，设直线与平面，平面所成的角分别为，求的最大值.
解：（1）连接，因为，所以，
又，，所以四边形为菱形，
又，故菱形为正方形，
故，由勾股定理得，
因为，所以，
由勾股定理逆定理得⊥，故为等腰直角三角形，
取的中点，连接，则⊥，
因为平面平面，交线为，平面，
所以⊥平面，
又，所以⊥，，
故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
故，
设二面角的大小为，由图形可知，为锐角，

故二面角的余弦值；
（2）由（1）知，.
所以，
平面ABCD的一个法向量为，
由（1）知，平面PAD的一个法向量为，所以
，
所以当，
即时，有最大值.
18.对于函数,记.已知定义在上的函数满足,当时,，其中是给定的正整数，记集合.
（1）当时，求；
（2）证明：当时，；
（3）求.
解：（1）当时，，
当时，，所以，则，所以，
当时，，所以，则，所以，
，
；
（2）设，则，
，故
设，则，
，故；
设，则，
，故；
设，则，
，故；
综上，当时，.
（3），由（2）知当时，有，故，
而，故.
当时，，
,
由上，当且时，；
下证：对于任意且.
由（2）知，若，则，故；
若，则，故；
综上，对于任意且.
故.
19. 在空间直角坐标系中，一个质点从原点出发，每秒向轴正､负方向､轴正､负方向或轴正､负方向移动一个单位，且向六个方向移动的概率均相等.如在第1秒末，质点会等可能地出现在六点处.
（1）求该质点在第4秒末移动到点的概率；
（2）设该质点在第2秒末移动到点，记随机变量，求的均值；
（3）设该质点在第秒末回到原点的概率为，证明：.
解：（1）在第4秒末质点要移动到点，需要沿轴正方向移动2次，
沿轴正方向移动2次，所以共有种可能.
故该质点在第4秒末移动到点的概率为.
（2）质点在第2秒可能移动到点，
，
，
所以的所有可能取值为.
，
所以.
（3）质点要在第秒末回到原点，
则必定向轴正、负方向移动相同的次数，设为次，
向轴正、负方向移动相同的次数，设为次，
向轴正、负方向移动相同次数，为次.
所以，
所以p2n=162ni=0nC2niC2n-iiC2n-2in-iC2n-2in-i
>162ni=0nC2niC2n-iiC2n-2in-i=162nC2nn2=C2nn6n2.
不满意
满意
合计
高考生
60
40
100
中考生
35
65
100
合计
95
105
200
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
1
2
3