广东省广州市广州中学2024-2025学年八年级下学期数学期中考试试卷（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟；满分：120分
注意事项：1．答题前在答题卡上按要求填涂写好班级、姓名、座位号、考号等信息；
2．将答案正确填写在答题卡题号指定区域内，不得使用涂改液、修正带，不得擅自更改答题卡上的题号，否则该题作答无效，作图题使用2B铅笔画图；
3．考试期间不准使用计算器．
一、选择题（共10小题，每小题3分，每小题只有一个选项符合题目要求，共30分）
1. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
故选：C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、，故不符合题意．
故选：C．
3. 下列各组数为勾股数的是（ ）
A. 7，12，13B. 3，4，7C. 8，15，17D. 4，5，6
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，以及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，且8、15、17都是整数，故此选项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
4. 已知一个直角三角形两边长分别为和，则第三边长是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分为两种情况：斜边是有一条直角边是，和都是直角边，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，
分为两种情况：斜边是有一条直角边是，
由勾股定理得：第三边长是；
和都是直角边，
由勾股定理得：第三边长是；
即第三边长是或，
故选：D．
【点睛】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边、的平方和等于斜边的平方．
5. 如图，在中，在数轴上，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理、数轴．根据勾股定理求出，进而求出，根据数轴解答即可．
【详解】解：在中，，
∴，
由题意得，
∴，
∵点C表示的数是0，
∴点D表示的数是，
故选：A．
6. 下列说法中，下列说法中不正确的是（ ）
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 对线互相垂直的四边形是菱形
C. 有三个直角的四边形是矩形
D. 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质、菱形、矩形、正方形的判定求解．
【详解】解：A．平行四边形的对角线互相平分，正确；
B．对线互相垂直且平分的四边形是菱形，不正确；
C．有三个角为直角的四边形是矩形，正确；
D．两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确；
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的应用，熟练掌握平行四边形的性质、菱形、矩形、正方形的判定是解题关键．
7. 一天，小明吃完晚饭出去散步，从家出发沿直线匀速走了20分钟到达离家900米的书店，看了10分钟的书后，原路原速返回家，则表示小明离家距离与时间之间关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了动点问题的函数图象，关键是要正确理解题意，主要利用图象信息找到所需要的数量关系，然后利用这些关系即可确定图象．
因为在书店里花了10分钟看书，应是一段平行于x轴的线段，C是10分钟，而D是20分钟，依此即可作出判断．
【详解】解：根据题意，从第20分钟到30分钟在书店里看书，离家距离没有变化，是一条平行于x轴的线段．
故选：C．
8. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据，两点在数轴上的位置判断出，的符号，再把各二次根式进行化简即可．
【详解】解：由图可知，，，
，
原式．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，关键是根据二次根式的性质化简解答．
9. 如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（ ）
A. S1﹣S2B. S1+S2C. 2S1﹣S2D. S1+2S2
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形和勾股定理可知S1＝c2＝a2+b2，再由完全平方公式即可得到结果．
【详解】解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，
则S1＝c2＝a2+b2
S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
∴2ab＝S1﹣S2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，
故选：C
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．
10. 如图，正方形的边长为9，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中不正确的是（ ）
A. 矩形是正方形B.
C. 平分D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点E分别作，垂足分别为K，L，则，根据角平分线的性质，可得，可证明四边形是矩形，再证明，可得，从而得到矩形是正方形，可判断A选项；证明，可得，，从而得到平分，可判断C选项；再由勾股定理可得，可判断D选项；再由 与的大小无法判断，可得不一定成立，可判断B选项．
【详解】解：如图，过点E分别作，垂足分别为K，L，则，

∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，故A选项正确，不符合题意；
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，平分，故C选项正确，不符合题意；
∵，
∴，故D选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∵与的大小无法判断，
∴不一定成立，故B选项不正确，符合题意；
故选：B
【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理及其推论以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
12. 正比例函数的图象经过点，则a=______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
将点代入正比例函数计算即可．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
故答案为：3．
13. 如图，在菱形中，对角线与交于点，，则菱形的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式等知识点，解题的关键是掌握菱形的面积公式．
利用菱形的面积和勾股定理求得，再利用菱形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：∵在菱形中，，
,
∴由勾股定理得
，
∴菱形的面积为,
故答案为：．
14. 如图所示，在中，，点D是的中点，点E是的中点，连接，若，则____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，由直角三角形的性质得出，由三角形中位线定理得出，由勾股定理求出，则可求出答案．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
【详解】解：点D是的中点，点E是的中点，
,
,点D是的中点，
，
根据勾股定理，
．
故答案为：3．
15. 如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为__．
【答案】3或6
【解析】
【分析】分两种情况分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝6；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝10，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x，根据勾股定理得，D′E2＋D′C2＝EC2，代入相关的值，计算即可．
【详解】解：当∠CED′＝90°时，如图（1），
∵∠CED′＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝6；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD′E为直角三角形，
即∠CD′E＝90°，
∴∠AD′E＋∠CD′E＝180°，
∴A、D′、C在同一直线上，
根据勾股定理得，
∴CD′＝10−6＝4，
设DE＝D′E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x，
在Rt△D′EC中，D′E2＋D′C2＝EC2，
即x2＋16＝(8−x)2，
解得x＝3，
即DE＝3；
综上所述：DE的长为3或6；
故答案为：3或6．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，作出图形是解题关键．
16. 如图，已知正比例函数的图象与x轴相交所成的锐角为，定点A的坐标为，P为y轴上的一个动点，M、N为函数的图象上的两个动点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称，最短问题，垂线段最短，直角三角形角的性质，勾股定理，利用轴对称性，找到正确的的位置是解答本题的关键．
作直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，点是点关于直线的对称点，作，作，此时最小，即，在中，利用勾股定理得到答案．
【详解】解：如图，直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，

点是点关于直线的对称点，
作，垂足为，交轴于点，交直线于点，作，
∴，，
，
此时最小，
在中，
，，，
∴，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（共72分）
17. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的乘法，同类二次根式的加减等运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
先对二次根式进行化简，利用二次根式的乘法法则进行运算，最后进行二次根式的加减即可．
【详解】解：
．
18. 如图，在边长都为1的小正方形组成的方格中，线段、、的端点均在格点（即小正方形的顶点），判断线段、、能否围成一个直角三角形，并说明理由．
【答案】能围成一个直角三角形,理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
利用勾股定理分别求得，，，然后可得，即可得出结论．
【详解】解：能围成一个直角三角形,理由如下：
根据网格和勾股定理可求，
，，
而，
，
根据勾股定理的逆定理可得，线段、、能围成一个直角三角形．
19. 如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．
连接，与交于点O，根据平行四边形的性质可得，，从而得，进而即可得到结论．
【详解】证明：连接，与交于点O，
四边形为平行四边形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形．
20. 已知y与x成正比例，且当时，．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当时，求y的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）根据正比例函数的定义可设，然后把时，代入可计算出k，从而可确定y与x之间的函数关系式；
（2）把代入（1）的解析式中解方程得出对应的x值．
【小问1详解】
∵y与x成正比例，
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为，
【小问2详解】
把代入得．
21. 如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，，点B在y轴上，轴于点A，将沿着直线翻折得到，其中点C的对应点为点M，且交y轴于点N，求点N的坐标．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键．
【详解】∵，轴，，
∴四边形是矩形，
∵点C的坐标为，
∴，，
∴由轴对称变换可知，，，
又∵，
∴，
∴，
∴在中，
∵，
∴，
∴，
∴．
22. 俗话说：十个车祸九个快，超速行驶是引发交通事故主要原因．交警部门在近年来事故多发的路段设立了固定测速点，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为．并测得，，，．试判断此车是否超过了的限制速度？并说明理由．（）
【答案】超过了限速，理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
根据题意利用特殊角的三角函数比求得，，然后求得，最后求出速度进行比较即可．
【详解】解：超过了限速，理由如下：
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
∴此车的速度为
，
所以，此车超过了的限制速度．
23. 如图，矩形中，E为上一点，且，过A作于F，若．
（1）当，求的长；
（2）当取得最小值时，求的长．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，算术平方根，勾股定理，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）根据勾股定理即可求出的长；
（2）根据，当时，取得最小值，可得，然后由勾股定理求出的长，再证明，可得，即可解决问题．
【小问1详解】
，
，
，
，．
，
故的长为；
【小问2详解】
解；，
当时，取得最小值，
，
，
，
．
，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
，
故的长为．
24. 如图，在等腰△ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不B、C重合），以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF．
【猜想】如图①，当点D在线段BC上时，直接写出CF、BC、CD三条线段的数量关系．
【探究】如图②，当点D在线段BC的延长线上时，判断CF、BC，CD三条线段的数量关系，并说明理由．
【应用】如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A、F分别在直线BC两侧，AE．DF交点为点O连接CO，若，，则 ．
【答案】【猜想】CD= BC- CF，理由见解析；【探究】CF= BC+ CD，理由见解析；【应用】
【解析】
【分析】【猜想】 利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，然后根据线段的和差关系可得结论；
【探究】利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，然后根据线段的和差关系可得出结论；
【应用】 利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，∠ACF=∠ABD = 135°，求出∠DCF= 90°，在Rt△DCF中利用勾股定理求出DF，利用直角三角形的斜边中线的性质可得结论．
【详解】解：【猜想】CD= BC- CF，理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD= AF，∠DAF= 90°=∠BAC，
∴∠BAD=∠FAC，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD= CF，
∵CD= BC- BD，
∴CD= BC- CF：
解：【探究】CF= BC+ CD，理由如下：
∵∠BAC= 90°，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形 ADEF是正方形，
∴ AD= AF，∠DAF= 90°，
∴∠BAD=∠BAC +∠DAC，
∴∠CAF=∠DAF+∠DAC，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD= CF，
∵BD= BC＋CD，
∴CF= BC+CD；
解：【应用】∵∠BAC= 90°，AB= AC,
∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD= AF，∠DAF= 90°，
∴∠BAC=∠DAF，
∴，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD=CF,
∴∠ACF=∠ABD= 180°- 45°= 135°，,
∴∠FCD=∠ACF-∠ACB = 90°，
∴△FCD为直角三角形，
∵，
∴ ，
∴CD= BC+ BD，
∴ CD = BC+CF= 2+1=3，
∴ ，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识点，解题的关键是能够综合运用运用有关的知识解决问题．
25. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，，．点E是的中点，动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形是平行四边形？
（2）若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由；
（3）在线段上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）65秒
（2）四边形是矩形，理由见解析
（3）线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒
【解析】
【分析】（1）根据点C坐标可得，根据中点定义可得，根据矩形的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，即可得出的长，根据点M的速度即可得答案；
（2）如图，由（1）可得，可证明四边形是平行四边形，由可得四边形是矩形；
（3）当点M在点N右侧时，根据菱形的性质可得，利用勾股定理可求出的长，进而可得出的长，根据点M的速度可求出t值；当点M在点N左侧时，则，利用勾股定理可求出的长，根据点M的速度即求得出t值，综上即可得答案．
【小问1详解】
解：如图，∵四边形为矩形，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵动点的速度为每秒个单位长度，
∴（秒）．
【小问2详解】
解：如图，四边形是矩形；
理由如下：由（1）可知，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
【小问3详解】
解：如图，点M在点N右侧时，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（秒），
如图，点M在点N左侧时，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴（秒），
综上所述：线段存在一点，使得以，，，为顶点四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒．
【点睛】本题考查坐标与图形性质、矩形的判定与性质、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题关键．