数学七年级下册（2024）垂线表格教案

这是一份数学七年级下册（2024）垂线表格教案，共8页。教案主要包含了知识技能类作业，综合拓展类作业等内容，欢迎下载使用。
课型
新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析
“垂线的基本事实” 是湘教版七年级下册第四章第五节第二课时的内容。本节课是在学生已经学习了相交线、对顶角等相关知识的基础上进行的。垂线的基本事实是进一步学习平面几何图形性质和判定的基础，它在后续学习三角形、四边形、圆等知识中都有着广泛的应用。同时，垂线的概念和基本事实也是解决实际生活中测量、建筑等问题的重要工具，体现了数学知识与实际生活的紧密联系。
学习者分析
七年级的学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们对直观、生动的教学活动比较感兴趣，具有一定的动手操作能力和观察分析能力。在之前的学习中，学生已经对相交线有了初步的认识，这为学习垂线的基本事实奠定了一定的基础。但由于学生的抽象思维能力还不够成熟，对于垂线基本事实的理解和应用可能存在一定的困难，需要教师在教学过程中给予适当的引导和启发。
教学目标
1.理解垂线的概念，掌握垂线的基本事实，即 “在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”。​
2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。​
3.通过观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的动手能力、探究能力和逻辑思维能力。
教学重点
1.垂线的概念和垂线的基本事实。​
2.用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
教学难点
垂线基本事实的探究过程及对 “有且只有” 的理解。
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：引入新课
教师活动1：
教师提问：【想一想】垂直的定义是什么？
在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足 .
【思考】运动会上应该怎样测量同学们的跳远成绩？
学生活动1：
学生复习回顾前面学习的知识。
学生观察图片，思考问题，然后自由发言。
活动意图说明：从生活中的实际例子引入，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣，同时为引出“垂线段最短”做铺垫。
环节二：新知探究
教师活动2：
【做一做】任画一条直线 l，用三角板或量角器过任意一点P画直线l的垂线.
当直线 l 经过点P时 当直线l不经过点P时

总结：用三角尺或量角器画已知直线l的垂线：
“一落”： 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合
“二移”：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点
“三画”：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线，
通过画点在直线上或在直线外的垂线，你能发现什么？
无论点 P 在直线 l 上还是在直线 l 外，过点 P 都只能画直线 l 的一条垂线.
理由：假如过点P还有一条直线c，能使c ⊥ l，则c ∥ a（或c ∥ b）.
又直线c与直线a（或直线b）有公共点P，因此这是不可能的.
于是，可得关于垂线的基本事实：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
学生活动2：
学生利用手中的工具，尝试过点 P 画直线 l 的垂线。在学生操作过程中，教师巡视指导，观察学生的操作方法和遇到的问题。
活动意图说明：通过学生自主探究和小组合作学习，让学生亲身经历垂线基本事实的探究过程，培养学生的动手能力、探究能力和合作意识。利用多媒体课件的动态演示，进一步验证垂线基本事实，帮助学生更好地理解 “有且只有” 的含义。
环节三：新知探究
教师出示课本定义：如图 ，设 PO 垂直于直线 l，O 为垂足，线段 PO 叫作点 P 到直线 l 的垂线段 . 经过点 P 的其他直线分别交直线 l 于点 A，B，C，D，…，线段 PA，PB，PC，PD，…都不是垂线段，称为斜线段.
说一说：比较图中 PA，PB，PO，PC，PD 五条线段的长度，哪条线段最短？
通过比较，垂线段PO最短.
数学上已经证明这一发现是正确的. 由此可得：
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
通常简单说成：垂线段最短.
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离 .
例如，在图中，垂线段PO的长度叫作点P到直线l的距离.
【做一做】
（1） 量出图中点P到直线AB的距离.
（2） 某单位要在河岸 l 上建一个水泵房引水到 C 处，如图所示，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？
垂线段最短
（3） 由（1）（2）你会发现可以怎样求点到直线的距离？
由（1）（2）可知，求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离.
【例3】如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD ⊥ AC，垂足为点D，AB = 5，BC = 12，AC = 13. 求：
（1） 点A到直线BC的距离；
解： 因为∠ABC = 90°，
所以AB ⊥ BC，点B为垂足，
所以线段AB即为点A到直线BC的垂线段.
因为AB = 5，
所以点A到直线BC的距离为5.
（2） 点B到直线AC的距离.
解：因为BD ⊥ AC，垂足为点D，
所以线段BD的长度即为点B到直线AC的距离.
因为S△ABC =BC·AB =AC·BD，
所以B到直线AC的距离
学生活动3：
学生按照教师的要求进行测量操作，记录数据，并在小组内交流自己的发现。之后每个小组推选代表汇报小组讨论的结果。
学生完成例题。
活动意图说明：通过学生亲自动手测量、观察、比较，自主探究垂线段最短这一性质，培养学生的动手实践能力和归纳总结能力。
板书设计
课题：4.5.2 垂线的基本事实
一、垂线的画法.
二、垂线的基本事实.
三、垂线段最短.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.下列各图中，过直线 l 外的点 P 作直线l的垂线，三角尺操作正确的是( C ).
2.如图，小李计划把河中的水引到水池C进行蓄水，结果发现沿线段CD挖渠，能使水渠最短，其中蕴含的数学原理是( C ).
A.过两点有且仅有一条直线
B.经过一点有无数条直线
C.垂线段最短
D.两点之间，线段最短
3.如图，三角形ABC 中，∠ACB =90°，CD⊥AB于点D.在线段AC，AB，BC，CD 中，长度最短的是( D ).
A.线段AB
B.线段AC
C.线段BC
D.线段CD
4. 如图，笔直小路DE 的一侧栽种有两棵小树BM，CN，若AB=3 m，AC=5 m，则点A到DE的距离可能为( D ).
A. 5 m
B. 4m
C. 3 m
D. 2 m
选做题：
5.如图，点C到AB所在直线的距离是下列哪条线段的长度（ D ）.
A.AE
B.BE
C.BD
D.CF
6.如图，在直角三角形ABC中，∠C =90°，BC = 4cm，AC = 3cm，AB =5 cm.
(1)点B到AC的距离是___4__cm，点A到BC的距离是___3__cm;
(2)画出表示点C到AB的距离的线段，这个距离为__2.4____cm.
【综合拓展类作业】
7.如图，为了解决A，B，C，D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂.
(1)不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小；
解：如图，连接AC，BD交于点H，则点H就是水厂的位置.
(2)另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由.
如图，过点H作HM⊥EF于点M，则沿HM铺设引水管道即可.
理由:垂线段最短.
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.用三角尺或量角器画已知直线l的垂线：“一落”；“二移”；
“三画”.
2.垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
4.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离 .
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1.数学源于生活，寓于生活，用于生活.下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是( A ).
A. 测量跳远成绩
B. 木板上弹墨线
C. 弯曲河道改直
D. 两钉子固定木条
2.下列说法正确的是( D ).
A.过线段外一点不一定能作出它的垂线
B.过直线m外一点A和直线m上一点B可画一条直线与m垂直
C.只能过直线外一点画一条直线和这条直线垂直
D.过任意一点均可作一条直线的垂线
选做题：
3.下列说法错误的个数是( C )
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②平面内，互相垂直的两条直线一定相交；
③有公共顶点且相等的角是对顶角；
④直线外一点到已知直线的垂线段叫作这点到直线的距离.
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 如图所示，在三角形ABC中，∠BAC=90°，过点A画AD ⊥BC，
（1）图中可以表示点到直线距离的线段共有__5___条.
（2）若BC=10，AC= 6，AB=8，则点C到AB的距离为__6___，点B到AC的距离为____8__，点A到BC的距离为__4.8_____.
【综合拓展类作业】
5.如图，在三角形ABC中，AC=5，BC=6，BC边上的高AD=4，若
点P在边AC上(不含端点)移动，当BP等于多少时长度最短？
解：根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时,BP最短，
此时S三角形ABC=BC·AD= AC·BP，
所以6×4=5BP，所以BP=4.8，
即BP最短时的长度为4.8.
教学反思
在本节课的教学过程中，通过创设生活情境引入新课，激发了学生的学习兴趣。在探究垂线基本事实和垂线段最短性质的过程中，让学生充分参与自主探究和小组合作学习活动，培养了学生的动手能力和探究精神。但在教学过程中也存在一些不足之处，例如在学生探究活动中，部分学生的操作不够熟练，导致探究时间过长，影响了后面的教学进度。在今后的教学中，我将加强对学生操作技能的训练，合理安排教学时间，提高课堂教学效率。