安徽省合肥市第八中学2025-2026学年高三下学期数学统一作业1含答案

这是一份安徽省合肥市第八中学2025-2026学年高三下学期数学统一作业1含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合 A=x∈Z x2−3x−4≤0,B={x∥x+1∣≤1} ，则 A∩B= ()
A. {−1,0} B. {−2,−1,0}
C. {0,1,2} D. {0,1}
2. 设 a,b 为单位向量,且 a−b=2 ,则 a+b= ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
3. 已知直线 a⊥ 平面 α ,则“直线 a// 平面 β ” 是 “平面 α⊥ 平面 β ” 的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某地区有 20000 名考生参加了高三第二次调研考试. 经过数据分析,数学成绩 X 近似服从正态分布 N72,82 ，则数学成绩位于 80,88 的人数约为( )
参考数据: Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827,Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545 , Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.
A. 455 B. 2718 C. 6346 D. 9545
5. 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 4S7=7a7−21 ,则 a3= ( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
6. 已知圆 C:x−12+y−22=4 ,直线 l:kx−y+1−k=0 ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值为( )
A. 14 B. 22 C. 3 D. 23
7. △ABC 中，三边之比 a:b:c=2:3:4 ，则 sinA−2sinBsin2C 等于( )
A. 12 B. −12 C. 2 D. -2
8. 若将函数 fx=3mx2x 的图象绕坐标原点逆时针旋转 135∘ 可以得到另一个函数的图象,则 m 的取值范围为( )
A. 0,e23 B. 0,e
C. 0,e22 D. 0,e33
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 下列计算结果与 z⋅z 相等的是( )
A. z2 B. z−2 C. z2 D. z
10. 公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把 5−125−12≈0.618 称为黄金数. 离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线. 若黄金双曲线 E:x2a2−y2=1a>0 的左，右顶点分别为 A1,A2 ,虚轴的上端点为 B ,左焦点为 F ,离心率为 e ,则( )
A. a2e=1
B. A2B⋅FB=0
C. 顶点到渐近线的距离为 e
D. △A2FB 的外接圆的面积为 2+54π
11. 已知四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形， AA1=AB ， ∠A1AB=∠A1AD=60∘ ，则( )
A. 点 A1 在平面 ABCD 内的射影在 AC 上
B. AC1⊥ 平面 A1BD
C. AC1 与平面 A1BD 的交点是 △A1BD 的重心
D. 二面角 B1−BD−C 的大小为 45∘
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 在二项式 x+111 的展开式中，系数最大的项的系数为_____(结果用数值表示).
13. 椭圆 x29+y24=1 的焦点 F1、F2 ，点 P 为其上的动点，当 ∠F1PF2 为钝角时，点 P 横坐标的取值范围是_____.
14. 一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6. 随机地抛掷该骰子三次(各次抛掷结果相互独立)，所得的点数依次为 a1 ， a2 ， a3 ，则事件 a1−a2+a2−a3+a3−a1=8 ”发生的概率为_____.
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.)
15. 已知函数 fx=sinπ2−xsinx−3cs2x .
(1)求 fx 的最小正周期和最大值;
(2)讨论 fx 在 π6,2π3 上的单调性.
16. 在四棱棱 P−ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA⊥ 平面 ABCD,PA=AD=8.M 为线段 PD 上一点 M不与D重合 ,且 AM⊥MC .

(1)证明: M 为 PD 的中点；
(2)若平面 BAM 与平面 CAM 夹角的余弦值为 33 ，求 AB .
17. 已知函数 fx=ax+lnx .
(1)当 a=1 时，求曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程；
(2)若 fx 有极小值,记 fx 的极小值为 ga ,证明: ga≤ea−1 .
18. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F ,过点 K−1,0 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D .
(1)证明:点 F 在直线 BD 上；
(2)设 FA⋅FB=89 ，求 △BDK 的内切圆 M 的方程.
19. 编号为 1,2,3,⋯,nn≥2,n∈N∗ 的 n 个球依次被等可能地涂成黑色或白色,设编号为奇数的黑色球的个数为 X ,编号为偶数的白色球的个数为 Y ,记事件 “ X>Y ”为
An,PAn=an.
(1)求 a2,a3,PA3∣A2 ；
( 2 )当 n=2k+1k∈N∗ 时，求 an ；
(3)当 n=2kk∈N∗ 时,设 ξ=k+X−Y ,证明: Eξ=2k1−a2k .
1. A
解不等式化简集合 A,B ,再利用交集的定义求解即可.
依题意, A={x∈Z −1≤x≤4}={−1,0,1,2,3,4} ,
B={x∣−1≤x+1≤1}={x∣−2≤x≤0},
所以 A∩B={−1,0} .
故选: A
2. B
根据向量模的关系得 a⋅b=0 ,再计算 a+b 即可.
因为 a,b 为单位向量,所以 a=b=1 ,
因为 a−b=2 ,平方得 a2+b2−2a⋅b=2 ,即 a⋅b=0 ,
所以 a+b2=a2+b2+2a⋅b=2 ,即 a+b=2 .
故选: B.
3. A
根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
若“直线 a// 平面 β ”成立,设 l⊂β ,且 l//a ,又 a⊥ 平面 α ,所以 l⊥ 平面 α ,又 l⊂β ,所以“平面 α⊥ 平面 β ”成立;
若“平面 α⊥ 平面 β ”成立,且直线 a⊥ 平面 α ,可推出 a// 平面 β 或 a⊂ 平面 β ,
所以“直线 a// 平面 β ”不一定成立.
综上,“直线 a// 平面 β ”是“平面 α⊥ 平面 β ”的充分不必要条件.
故选: A.
4. B
根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于 80,88 的人数.
由题意可知, μ=72,σ=8,P80≤X≤88=Pμ+σ≤X≤μ+2σ =12Pμ−2σ≤X≤μ+2σ−Pμ−σ≤X≤μ+σ≈120.9545−0.6827=0.1359 则数学成绩位于 80,88 的人数约为 0.1359×20000=2718 .
故选: B
5. B
结合等差数列 an 的前 n 项和公式以及等差数列的性质即可求出结果.
设设等差数列 an 的公差为 d ,因为 S7=7a1+a72=7a4,4S7=7a7−21 , 所以 47a4=7a7−21 ,所以 28a3+d=7a3+4d−21 ,解得 a3=−1 .
故选: B.
6. D
定点与圆心连线垂直于直线 l 时,圆心到直线的距离最大,此时弦长最小.
因为圆 C:x−12+y−22=4 ,圆心 1,2 ,半径 r=2 ,
直线 l:kx−1−y−1=0 过定点 1,1 ,
则定点到圆心的距离 d=1−12+2−12=10 ,
则 csC=a2+b2−c22ab=4k2+9k2−16k212k2=−14 ,
所以 sinA−2sinBsin2C=sinA−2sinB2sinCcsC=a−2b2c×−14=4b−2ac=12k−4k4k=2 .
故选: C.
8. A
原命题等价于 ∀t∈R ,直线 y=−x+t 与曲线 y=fx 最多有一个交点,即函数 px=x+3mx2x 必为单调函数,结合 p′1ln2=1>0 ,故只能 p′x≥0 ,即 ∀x∈R,2x≥3mln2x−1 ，求出临界值，即可求出答案.
原命题等价于 ∀t∈R ,直线 y=−x+t 与曲线 y=fx 最多有一个交点,
所以直线 y=t 与曲线 y=px=x+3mx2x 最多有一个交点,
所以函数 px 必为单调函数,否则必存在直线 y=t 与其有多个交点.
求导得到 p′x=1+3m1−ln2x2x ,
又因为 p′1ln2=1>0 ,所以只能 p′x≥0 ,即 ∀x∈R,2x≥3mln2x−1 ,
设曲线 y=2x 与直线 y=3mln2x−1 相切时切点的横坐标为 x0 ,
则 3mln2x0−1=2x03mln2=2x0ln2 ，解得 x0=2ln2,m=e23 ，
所以 0≤m≤e23 ,
则 m 的取值范围为 0,e23 .
故选: A.
9. ACD
设 z=a+bia,b∈R ,则 z=a−bi ,利用复数的乘法以及复数的模长公式逐项判断即可.
设 z=a+bia,b∈R ,则 z=a−bi,z⋅z=a+bia−bi=a2+b2=z2 , z2=a+bi2=a2−b2+2abi, z2=a−bi2=a2−b2−2abi,
所以 z2=a2−b22+4a2b2=a4+2a2b2+b4=a2+b2 ,同理可得 z=a2+b2 ,
因此, z⋅z=z2=z2=z2≠z2 ,
故选: ACD.
10. ABD
利用双曲线的几何性质, 结合图形进行计算即可.

设双曲线的半焦距为 c ,则 c=a2+1,ca=25−1 ,
由题意知 a2+1a=5+12⇒a2=5−12,∴c2=5+12,∴a2e=ac=1 , A 正确.
A2a,0,B0,1,F−c,0,A2B=−a,1,FB=c,1,∴A2B⋅FB=12−ac=0, B 正确.
对于 C ,双曲线 x2a2−y2=1 的渐近线方程为 x±ay=0 ,
所以顶点到渐近线距离 d=aa2+12=ac=1e ， C 错误.
对于 D ,因为 A2B⋅FB=0 ,所以 A2F⊥FB ,所以 △A2FB 为直角三角形,且 ∠A2BF=90∘,A2F=a+c,
所以 △A2FB 的外接圆半径为 a+c2 ,故 △A2FB 外接球面积
S=π⋅a+c22=π4a2+c2+2ac=2+54π,D 正确.
故选: ABD.
11. ACD
设 AA1=a,AB=b,AD=c ,正方形的边长为 1,根据对称性得到 A 正确,计算 AC1⋅A1B≠0 得到 B 错误,根据相似得到 A1QOQ=2 得到 C 正确,确定 ∠HOC 为二面角 B1−BD−C 的平面角，计算得到 D 正确，得到答案.
设 AA1=a,AB=b,AD=c ，正方形的边长为 1，
则 a⋅b=1×1×cs60∘=12,a⋅c=1×1×cs60∘=12,b⋅c=0 ,
对选项 A: AA1=AB,∠A1AB=∠A1AD=60∘ ,根据对称性知,点 A1 在平面 ABCD 内的射影在 ∠BAD 的角平分线上,即在 AC 上,正确;
对选项 B: AC1=a+b+c,A1B=−a+b ,
AC1⋅A1B=a+b+c−a+b=−a2+b−a⋅c−b⋅c=−12≠0 ,错误;
对选项 C: 设 AC ， BD 相交于 O ， AC1 与 A1O 交于 Q 点，
Q 即为 AC1 与平面 A1BD 的交点，

则 A1QOQ=A1C1AO=2 ， AO 为 △A1BD 中 BD 边上的中线，故 Q 为 △A1BD 的重心，正确；
对选项 D: 连接 B1D1 与 A1C1 相交于 H ,连接 HO ,根据对称性知 HO⊥BD ,
又 AC⊥BD,HO⊂ 平面 B1BD,AC⊂ 平面 CBD ,
故 ∠HOC 为二面角 B1−BD−C 的平面角,
HC=−a+12b+12c,
故 HC2=−a+12b+12c2=a2+14b2+14c2−a⋅b−a⋅c+14c⋅b=12 ,故 HC=22 ,
HO=AA1=1,OC=22 ,故 ∠HOC=45∘ ,正确
故选: ACD.
12. 462
先求出二项式展开式的通项公式, 然后利用二项式系数的性质可求得结果.
二项式 x+111 的展开式的通项公式为 Tr+1=C11rx11−r ,
所以当 r=5 或 r=6 时,其系数最大,
则最大系数为 C115=C116=462 ,
故答案为: 462 .
13. −355,355
试题分析: 在 ΔPF1F2 中,由余弦定理知 cs∠F1PF2=PF12+PF22−4c22PF1PF2 ,因为 ∠F1PF2 为钝角,所以 PF12+PF22−4c20 在 a=1 时取得极小值,也是最小值,
所以 ha≥h1=e1−1−1−ln1=0 ,即 ha=ea−1−1−lna≥0 ,
即 ga≤ea−1 .
18.
(1)利用斜率相等即可证得结果;
(2)利用向量数量积和内切圆的性质即可求得结果.
(1) 设 Ay124,y1,By224,y2 ,已知点 A 关于 x 轴的对称点为 D ,
则点 D 的坐标为 y124,−y1 ,由 kAK=kBK ,可得 y1y124+1=y2y224+1
整理可得 y1y2−4y2−y1=0 ,即 y1y2=4 .
则 kDF=−y1y12−14−1=4y14−y12=16y24−4y22=4y2y22−4=y2y224−1=kBF ,
由 kDF=kBF ,可知点 F 在直线 BD 上.
(2)由 FA⋅FB=89 ，可得 y124−1y224−1+y1y2=89 ，即可得 y1+y2=±163 ，
由于 A,B 在抛物线上, y12=4x1y22=4x2 ,所以 k=y1−y2x1−x2=4y1+y2=±34 ,
不妨设 A,B 在 x 轴上方,则 kAB=34 ,可知 AB 的直线方程为 4y−3x−3=0 ,
而 y2−y1=y1+y22−4y1y2=473 ,故 kBD=y2+y1y224−y124=4y2−y1=37 ,
则 DB 的直线方程为 7y−3x+3=0 ,由于 x 轴是 ∠AKD 的角平分线,可知内切圆的圆心必然在 x 轴上,
故设圆心坐标为 m,0 ,由于角平分线上的点到角的两边距离相等,
则 r=−3m+34=−3m−35 ,解得 m=19 或 m=9 (舍),则可得 r=23 ,
△BDK 的内切圆 M 的方程为 x−192+y2=49 .

19.
(1) 根据独立事件定义分析 a2,a3 分别对应的事件,并计算对应概率,再根据条件概率公式计算 PA3∣A2 即可.
(2)当 n=2k+1k∈N∗ 时，分析可能情况，记事件“编号为奇数的 k+1 个球中，被涂成黑色的球的个数为 i ”为 Ci ，事件“编号为偶数的 k 个球中，被涂成白色的球的个数小于 i ”为 Di ,则 A2k+1=C1D1∪C2D2∪⋯∪Ck+1Dk+1 ,且 C1D1,C2D2,⋯,Ck+1Dk+1 两两互斥,再根据公式计算即可.
(3)根据题意列出对应事件及其概率，再用期望公式计算，最后根据组合数性质进行化简计算即可得证.
(1)记事件“编号为 i 的球被涂黑色”为 Bi ，则 PBi=12
A2=B1B2 ,且 B1,B2 相互独立,所以 a2=PA2=14 ,
同理,可得 A3=B1B2B3∪B1B2B3∪B1B2B3∪B1B2B3 ,
所以 PA3=12×12×12+12×12×12+12×12×12+12×12×12
事件 A2A3=B1B2B3∪B1B2B3 ,
所以 PA2A3=12⋅12⋅12+12⋅12⋅12=14 ,
故 PA3∣A2=PA2A3PA2=1 .
(2)记事件“编号为奇数的 k+1 个球中，被涂成黑色的球的个数为 i ”为 Ci ， 事件“编号为偶数的 k 个球中,被涂成白色的球的个数小于 i ”为 Di ,
则 A2k+1=C1D1∪C2D2∪⋯∪Ck+1Dk+1 ,
且 C1D1,C2D2,⋯,Ck+1Dk+1 两两互斥,
所以 a2k+1=PA2k+1=PC1D1∪C2D2∪⋯∪Ck+1Dk+1
设 Sk=Ck+11Ck0+⋯+Ck+1iCk0+Ck1+⋯+Cki−1+⋯+Ck+1kCk0+⋯+Ckk−1 ,
则 Sk=Ck+11Ck0+⋯+Ckk−1+⋯+Ck+1k+1−iCk0+Ck1+⋯+Cki−1+⋯+Ck+1kCk0 ,
故 2Sk=Ck+11+⋯+Ck+1i+⋯+Ck+1kCk0+⋯+Ckk−1+Ckk=2k2k+1−2 ,
从而 Sk=2k2k−1 ,所以 a2k+1=22k−2k+2k22k+1=12 .
(3)设 η=X−Y ，则 η 可取 0,±1,±2,⋯,±k ，故 ξ 可取 k,k+1,k+2,⋯,2k ，
根据对称性 Pη=i=Pη=−i,i=1,2,⋯,k ,
且 Pη=i=Ck0Cki+Ck1Cki+1+⋯+Ckk−iCkk22k ,
根据组合数的对称性 Cki=Ckk−i,i=1,2,⋯,k ,
可得 Pη=i=CkkCki+Ckk−1Cki+1+⋯+CkiCkk22k=C2kk+i22k ,
因为 1+x2k 展开式中 xk+i 的系数为 C2kk+i ,
1+xk1+xk 展开式中 xk+i 的系数为 CkkCki+Ckk−1Cki+1+⋯+CkiCkk ,
故 CkkCki+Ckk−1Cki+1+⋯+CkiCkk=C2kk+i ,
故 Pη=i=C2kk+i22k
从而 Eξ=k⋅Pξ=k+k+1⋅Pξ=k+1+⋯+2k⋅Pξ=2k ,
整理,得 Eξ=k⋅Pξ=k+i=1kk+i2C2kk+i22k
=k⋅Pξ=k+222ki=1kk+iC2kk+i
又 rCnr=rnn−1n−2⋯n−r+1r!
=nn−1n−2⋯n−1−r−1+1r−1!=nCn−1r−1,
所以 rCnr=nCn−1r−1 ,
所以 Eξ=k⋅Pξ=k+2×2k22ki=1kC2k−1k+i−1=k⋅Pξ=k+k22k−1i=1k2C2k−1k+i−1 ,
又 i=1k2C2k−1k+i−1=2C2k−1k+C2k−1k+1+⋯+C2k−12k−1
=C2k−10+C2k−11+⋯+C2k−1k−1+C2k−1k+C2k−1k+1+⋯+C2k−12k−1
根据 Cn0+Cn1+…+Cnn=2n ,可得 i=1k2C2k−1k+i−1=22k−1 .
可得 Eξ=k⋅Pξ=k+k22k−122k−1=k⋅Pξ=k+k .
记“偶数号白球个数与奇数号黑球个数相等”为事件 c2k ,其概率为 c2k
由(2)知 c2k=PX−Y=0=Pξ=k ，所以 Eξ=k⋅c2k+k ，
又由(2)知 2a2k+c2k=1 ，可得 c2k=1−2a2k ，
所以 Eξ=k1−2a2k+k=2k1−a2k