浙江省杭州第二中学2025-2026学年高一下学期周末练2数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份浙江省杭州第二中学2025-2026学年高一下学期周末练2数学试卷含解析（word版+pdf版），文件包含浙江杭州第二中学2025-2026学年高一下学期周末练2数学试题解析版docx、浙江杭州第二中学2025-2026学年高一下学期周末练2数学试题与解析pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知向量，则下列关系正确的是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因向量，且、都是非零向量，
对于A，，即与不垂直，A不正确；
对于B，，则，即，B正确；
对于C，，即与不垂直，C不正确；
对于D，，即与不垂直，D不正确.
2. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设向量与的夹角为θ.
由，左右两边平方得,得.
由，得，从而.
3.A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】，令，
则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即在的平分线上，
，共线，
故点P的轨迹一定通过△ABC的内心 .
4.点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
因为中点，则，
代入可得，从而三点共线，，
即点是线段上靠近点的四等分点.
则，而，故.
5.如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】方法一：
因为为等边三角形，是边的中点.所以.故.
所以.
因为是边上的中点，所以有.
因此.
方法二：
以为原点，，为轴，轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设，，，.
则，，，.
所以.
又因为，，所以有
两式作差得.故.
6.长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，且，
在中，，
∴，即，
解得.
7.已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，由正弦定理可得，
即，则，
又，所以，因为，当且仅当时等号成立，
所以，则．
设边上中线的长度为，则，
所以边上中线长度的最大值为.
8.已知平面向量、、 满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，两边平方得
又，且对任意实数恒成立，
即恒成立，所以，
即，所以，即.
由，知，
所以,
当且仅当与同向时取等号.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知则下列说法正确的是
A．a可能是最大边B．b可能是最大边
C．a可能是最小边D．c可能是最小边
【答案】BCD
【解析】由题意可得
所以
由正弦定理可得
所以
即
即
等价于
所以则或即
若则c是最大边，a，b可能是最小边；
若则b是最大边，a，c可能是最小边.
综上，选项B，C，D正确.
10.设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】对于A，由正弦定理可知，即，
所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，不符合题意；
对于B，由正弦定理可知，又因为，所以，所以，所以是等腰三角形，符合题意；
对于C，因为，解得，所以，是直角三角形，不符合题意；
对于D，由正弦定理可知，所以，
即，，即，
所以，是等腰三角形，符合题意.
11.将七个边长相等的正六边形拼成如图所示的图形，其中O为中间六边形的中心，且．设点是图中所有正六边形中的任意一个顶点，则下列结论中正确的是
A．
B．存在，使得
C．若，则的所有取值的和为
D．若，则的取值集合为
【答案】BC
【解析】如图，连接，
找中点，中点，作，
以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
对于A，设正六边形的边长为，故，，，
则，，而，
得到，解得，
则正六边形的边长为，而是正六边形的边长，得到，故A错误，
对于B，此时，，故，
设，故，则，
即，而点是图中所有正六边形中的任意一个顶点，
当，时，满足，
此时，与重合，则存在，使得，故B正确，
对于C，由题意得，，，，
，，设的所有取值的和为，
得到，，，，
，而，我们进行如下讨论，
当与重合时，，
当与重合时，，
当与重合时，，
当与重合时，，
当与重合时，，
当与重合时，，
则，
得到的所有取值的和为，故C正确，
对于D，由题意得，故，
而，由题意得，
则我们进行如下讨论，当与重合时，，
但不在内，
则的取值集合不可能为，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】∵与的夹角为锐角，设为θ，则 0＜csθ＜1，
又csθ＝，∴0＜＜1，
∴λ＜1 且4﹣8λ+4λ2＜20+5λ2，即 λ＜1 且λ≠﹣4.
故答案为 λ＜1 且λ≠﹣4 .
13.在中，角的对边分别为，且的周长为，则角为_______.
【答案】
【解析】由题意知，，
由正弦定理得，，即，所以，
由余弦定理得，，
又，所以 .
14.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆半径为为边BC的中点，，为钝角，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】如图，
解法一： 根据正弦定理得，，所以，
因为为钝角，所以；
延长AD到点E，使得，连接BE，CE，易知四边ABEC为平行四边形，
则，
设，则，
在中，
，所以，，
故，
因为，所以，所以，
，所以的取值范围是．
解法二:根据正弦定理得， ，所以，
因为为钝角，所以．
因为D为边BC的中点，所以，
两边平方，，得①．
设，则，将其代入①得， ②，
所以关于b的方程至少有1个正实数根．
当，即时，经检验，不符合题意；
所以或，解得，
故的取值范围是；
解法三：根据正弦定理得，，
所以，因为为钝角，所以．
则根据余弦定理得，，
又，，
所以，即，
将代入，得 ①．
设，则，将其代入①得， ②，
所以关于b的方程至少有1个正实数根．
当，即时，经检验，不符合题意；
所以或，解得，
故的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知向量，满足，，
(1)若，的夹角为，求；
(2)若，求的值 .
【解析】（1）由，，故向量，，
且，的夹角为，可得
则.
（2）由，所以，
又，故
所以，故 .
16.在锐角三角形中，角、、对应的边分别为、、，已知.
(1)求；
(2)求的取值范围.
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
因为为锐角三角形，则，，
所以，，即，所以，.
（2）因为为锐角三角形，可得，解得，
则，
因为，则,所以，可得，
即，所以的取值范围为 .
17.设是半径为5的半圆的直径(如图)，是半圆上两点，已知．
(1)求的值；
(2)求的值.
【解析】（1）如图，连接OB，
由余弦定理得，
由知，
则.
（2）解法1：因为，所以为的中点，
所以，
又因为，所以，则，
在中，，则，
又在中，可得，
所以，
故．
解法2：
.
18.在平面四边形中，，且.
(1)中，设角的对边分别为，若.
①当时，求的值；
②当时，求的最大值.
(2)若，当变化时，求长度的最大值.
【解析】（1），由正弦定理得，
由余弦定理得，化简得：，
①当时，，
.
②当时，，
当且仅当即时取等号，
的最大值为.
(2) 设，
由余弦定理可得，即。
由正弦定理，可得，
则
，
故当时，取最大值，
即的最大值为.
19.对于平面向量，定义“变换”：，
(1)若向量，，求；
(2)求证：；
(3)已知，，，，求证：.
【解析】（1）因为向量，，
所以；
（2）因为向量，，
所以，
所以；
（3）因为，，，，
则，
，
故，所以，
，
所以 .