河北省衡水市冀州区2025_2026学年高一数学上学期期中试卷含解析

这是一份河北省衡水市冀州区2025_2026学年高一数学上学期期中试卷含解析，共18页。
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效．
3．选择题用 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上
作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解.
【详解】依题意， 或 ，而 ，
所以 .
故选：B
2. 函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数有意义列出不等式组求解.
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【详解】函数 的意义，则 ，解得 且 ，
所以函数 的定义域为 且 .
故选：D
3. 已知 ，则 与 大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用作差法比较大小即可.
【详解】因为 ，所以 .
故选：C
4. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】应用公式法解绝对值不等式求 的解，再由充分、必要性的定义得条件间的关系.
【详解】由 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
5. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则集合 的子集个数为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件利用韦达定理得 ，所求集合等价于 ，即可求出答案.
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【详解】因为不等式 的解集为 ，
所以 的解集为 ，
由韦达定理得 ，解得 ，
则 ，
因此子集个数为 个，
故选：A．
6. 在研究集合时，用 来表示有限集合 中元素的个数.集合 ， ，若
，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用新定义与集合的交集运算得到 ，进而求得 的取值范围，从而得解.
【详解】根据题意可知集合 中有两个元素，
又 ， ，所以 ，
则 .
故选：A.
7. 已知奇函数 的定义域为 且在 上单调递减， ，则满足 的 的
取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合奇函数的定义分析 的符号，分 、 和 三种情况，结合符号解不
等式即可.
【详解】因 函数 在 上单调递减， ，
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所以当 时， ；当 时， ；
又因为函数 为定义在 上的奇函数，
所以函数 在 上单调递减，且 ， ，
当 时， ；当 时， ；
对于不等式 ，
当 ，即 时，则 ，符合题意；
当 ，即 时，则 ，且 ，
可得 ，解得 ；
当 ，即 时，则 ，且 ，
可得 ，解得 ；
综上所述：满足 的 的取值范围是 .
故选：A.
8. 函数 是增函数，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数单调性结合一次函数和二次函数的图象和性质列不等式组求解即可.
【详解】由题意知， 在区间 上单调递增， 在区间
上单调递增，且 ，
所以 ，解得 ，
故选：C.
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二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】BCD
【解析】
【分析】逐项判断两函数的定义域与对应关系是否相同即可．
【详解】对于 A，函数 的定义域为 ，由 ，可得 ，
所以 定义域 ，但 ，
两函数定义域相同，对应关系不相同，不是同一函数，故 A 错误；
对于 B，函数 的定义域为 ，由 ，可得 ，
所以 定义域为 ，但 ，
两函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数，故 B 正确；
对于 C，两个函数的定义域都为 ，且 ， ，
两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故 C 正确；
对于 D，两个函数的定义域都为 ，且 ， ，
两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故 D 正确.
故选：BCD.
10. 已知正数 满足 ，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小值为
B. 的最大值为 2
C. 的最小值为
D. 的最小值为 6
【答案】CD
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【解析】
【分析】由条件等式得 且 ，再代入 、 中，利用二次函数性质求最值判断 A、
C，应用基本不等式求最值判断 B，应用“1”的代换及基本不等式求最值判断 D.
【详解】A：由 ，可得 ，则 ，
当且仅当 时取等号，故 的最大值为 ，错，
B：由 ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 的最大值为 ，错，
C：由 A 知 ，且 ，
当且仅当 时取等号，故 的最小值为 ，对，
D：由 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值为 6，对.
故选：CD
11. 设函数 ，其中 ，则下列命题是真命题 是（ ）
A. 存在实数 ，使得 ；
B. 存在实数 ，当 时，有 成立；
C. 对任意实数 ，当 时，都有 成立；
D. 若 ，则实数 的取值范围为 .
【答案】ACD
【解析】
【分析】当 时，求得 ，可判定 A 正确；分类讨论，结合二次函数的性质，求得
为 单调递增函数，可判定 B 不正确；转化为 ，结合 为 单调
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递增函数，可判定 C 正确；令 ，结合函数 的单调性和奇偶性，不等式转化为
，可判定 D 正确.
【详解】对于 A，当 时， ，则 ，
所以存在 ，使得 ，所以 A 正确；
对于 B，当 时， ，其图象开口向上，且对称轴的方程为 ，
所以 在 上单调递增，则 ；
当 时， ，其图象开口向下，且对称轴的方程为 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以函数 为 单调递增函数，所以不存在 ，使得 ，所以 B 不正确；
对于 C，要证 ，
即证 ，即证 ，
由 B 项知，函数 为 单调递增函数，所以 恒成立，所以 C 正确；
对于 D，令 ，则 ，
可得 ，所以 为奇函数，且 为 上的递增函数，
由 ，可得 ，
即 ，即 ，
因为 为 上的递增函数，所以 ，解得 ，所以 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 命题“ ”的否定是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据特称量词命题的否定的概念求解.
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【详解】命题“ ”的否定是“ ”
故答案为：
13. 已知集合 ，非空集合 ．若 是 的必要条件，
则实数 的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得 是 的子集，再根据包含关系列出不等式组即可求解.
【详解】因为 是 的必要条件，所以 是 的子集，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
14. 设函数 的最大值为 M，最小值为 m，则 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】利用分离常数项整理函数，结合函数的奇偶性，可得答案.
【详解】易知 ，设 ，则 为奇函数， ．
于是 ， ，
由奇函数的图象关于原点对称，得 ，
∴ ．因此 ．
故答案为： .
四、解答题：本题共 6 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
（1）至少有一个整数，既能被 11 整除，又能被 9 整除；
（2） ， ；
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（3） ，使 为 29 的约数；
（4） ， ．
【答案】（1）存在量词命题，真命题
（2）全称量词命题，真命题
（3）存在量词命题，真命题
（4）全称量词命题，假命题
【解析】
【分析】利用全称量词命题与存在量词命题的概念，及不等式的性质，举例子分别判断各命题.
【小问 1 详解】
命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，
既能被 整除，又能被 整除，故该命题为真命题．
【小问 2 详解】
命题中含有全称量词“ ”，故是全称量词命题，
因为 ，所以 恒成立，故该命题为真命题．
【小问 3 详解】
命题中含有存在量词“ ”，故是存在量词命题，
当 时， 为 的约数，所以该命题为真命题．
【小问 4 详解】
命题中含有全称量词“ ”，故是全称量词命题，
当 时， ，所以该命题为假命题．
16. 已知全集 ，集合 ， ．
（1）求 和 ；
（2）求 和 ．
【答案】（1） ， 或 ；
（2） ，
【解析】
【分析】（1）利用集合的补集运算即可求解；
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（2）利用集合的交并补集运算即可求解.
【小问 1 详解】
因为全集 ，集合 ，
所以 ， 或 ；
【小问 2 详解】
由（1）得，
因为 ，所以 ．
17. 解下列关于 的不等式．
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1） 或 ；
（2） 或 ；
（3）解集见解析；
【解析】
【分析】（1）直接根据二次函数图象解一元二次不等式可得；
（2）先化为一元二次不等式的标准形式，再解一元二次不等式可得；
（3）先将分式不等式转化为一元二次不等式，再分类讨论一元二次不等式可得.
【小问 1 详解】
由 ，即 ，
所以方程 的两个根为 和 .
画函数 的图象如图：
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由函数图象得不等式 的解集为 或 .
【小问 2 详解】
由 ，即 .
所以方程 的两个根为 和 .
画函数 的图象如图：
由函数图象得不等式 的解集为 或 .
【小问 3 详解】
由 ， ，即 .
所以方程 两个根为 4 和 .
①当 时，即 ，函数 的图象如图：
所以不等式 的解集为 或 ；
②当 时，即 ，方程为 有两个相等的根.
函数 的图象如图：
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所以不等式 的解集为 或 ；
③当 时，即 ，函数 的图象如图：
所以不等式 的解集为 或 ；
综上，当 时，不等式 的解集为 或 ；
当 时，不等式 的解集为 或 ；
当 时，不等式 的解集为 或 .
18. 某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为 的花园．图中阴影部分是宽度
为 的小路，中间 三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中 区域的形状、大小完全相
同）．设矩形花园的一条边长为 ，鲜花种植的总面积为 ．
（1）用含有 的代数式表示 ；
（2）当 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？
【答案】（1） ，
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（2）当 时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为 .
【解析】
【分析】（1）设矩形花园的长为 ，结合 ，进而求得 关于 的关系式；
（2）由（1）知 ，得到 ，结合基本不等式，即可求解.
【小问 1 详解】
设矩形花园的长为 ，因为矩形花园的总面积为 ，
所以 ，可得 ，又 ，则 ，
又因为阴影部分是宽度为 1m 的小路，可得 ，
可得 ，即 关于 的关系式为 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ， ，
则
，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以当 时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为 .
19. 已知奇函数 的定义域为 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）试判断函数 的单调性，并根据定义证明；
（3）求使 成立的实数 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）单调递增，证明见解析；
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（3） .
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义及给定函数值列式求解.
（2）判断单调性，再利用函数单调性定义推理得证.
（3）利用奇函数定义变形不等式，再利用单调性求解不等式即得.
【小问 1 详解】
由奇函数 定义域为 ，得 ，解得 ，
由 ，得 ，解得 ，经验证函数 是 上的奇函数，
所以 .
【小问 2 详解】
函数 在 上单调递增.
任取 ，且 ，则 ，
由 ，得 ， ，则 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增.
【小问 3 详解】
奇函数 在 上单调递增，
不等式 ，即 ，
因此 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
20. 设 .
（1）当 时，求 的最小值和最大值；
（2）设 ，将 表示为关于 的函数 ；
（3）设 的最大值为 ，求 的表达式.
【答案】（1）最小值为 2，最大值为
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（2） ，
（3）
【解析】
【 分 析 】（ 1） 当 时 ， ， 先 求 得 函 数 的 定 义 域 ， 由
，进而求解即可；
（2）由（1）知, ， ，进而得到 ，进而求解即可；
（3）结合（2），根据二次函数的性质讨论求解即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，
则 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，
而 ，
由于 ，则 ，所以 ，
则 ，即 的最小值为 2，最大值为 .
【小问 2 详解】
由（1）知, ， ，
所以 ，则 ， .
【小问 3 详解】
由（2）知，当 时， 在 上单调递增，
则 ；
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当 且 ，即 时， 在 上单调递减，
则 ；
当 且 ，即 时，
则 ；
当 且 ，即 时， 在 上单调递增，
则 .
综上所述， .
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