河北省衡水市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试题含解析

这是一份河北省衡水市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试题含解析，共16页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 下列函数中，值域为 是， 已知 为正实数，设甲， 下列选项为真命题的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题
卡上的非答题区城均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解出绝对值不等式 ，求出集合 ，再利用并集的运算求出 .
【详解】 ， 或 ，
或 ，
或 ， ，
，所以 .
故选：D.
2. 设命题 ， ，则 的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
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【分析】由特称命题的否定是全称命题即可得.
【详解】由命题 ， ，则 的否定为： ， .
故选：C.
3. 已知实数 a，b 满足 ， ，则 的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意设 ，从而求出 ，从而可得 ，即可得解
.
【详解】由题意设 ，
则 ，解得 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，
即 范围是 ．
故选：C
4. 已知函数 是幂函数，则 （ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂函数的定义列方程组求得 ，代入求解即可.
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【详解】因为函数 幂函数，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 .
故选：C
5. 下列函数中，值域为 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数单调性求值域判断 A；利用二次函数性质求值域判断 B；利用绝对值的含义求值域判断
C；利用 求值域判断 D.
【详解】对于 A，因 在 上单调递增，故其值域为 ，不合题意；
对于 B， ，则其值域为 ，不合题意；
对于 C， ，则其值域为 ，不合题意；
对于 D，因 ，则 ，即 的值域为 ，符合题意.
故选：D
6. 已知 为正实数，设甲： ；乙： ，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式和分式不等式可求得甲、乙的解，根据推出关系可得到结论.
【详解】 为正实数， ，
由 得： 或 ， 甲： ；
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由 得： ，解得： 或 ， 乙： ；
； ；
甲是乙的必要条件，但不是充分条件.
故选：B
7. 已知命题“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得 ， 恒成立，由 即可求出.
【详解】因为命题“ ，使 ”是假命题，
所以 ， 恒成立，所以 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 .
故选：B.
8. 函数 ，若对任意 ，都有 成立，
则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解.
【详解】因为对任意 ，都有 成立，
可得 在 上是单调递减，
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则 ，解得 .
故选：B
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 下列选项为真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由空集的定义判断 A；由 0 为自然数，可判断 B；由 为无理数，可判断 C；由 是整数及集合
间的关系判断 D.
【详解】对于 A，因为空集中没有任何元素，
所以 ，故 A 错误；
对于 B，因为 0 为自然数，
所以 ，故 B 正确；
对于 C，因为 为无理数，
所以 ，故 C 错误；
对于 D，因为 是整数，
所以 ，故 D 正确.
故选：BD.
10. 定义在 上的偶函数 在 内单调递减，则下列判断错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
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【分析】利用特殊值法可判断 AD 选项；利用函数的奇偶性和单调性可判断 BC 选项.
【详解】因为定义在 上的偶函数 在 内单调递减，则函数 在 内单调递增，
对于 A 选项，当 时， ，A 错；
对于 B 选项， ，B 错；
对于 C 选项， ，C 对；
对于 D 选项，当 时， ，D 错.
故选：ABD.
11. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对于 A 当 时即可判断，对于 B、D 利用不等式的性质即可判断，对于 C 利用作差法
即可判断.
【详解】对于 A：由 满足前提，而 ，故 A 假命题；
对于 B：由 有 ，故 B 真命题；
对于 C：由 ，
又 ， ，所以 ，当 时， ，
所以 ，故 C 假命题；
对于 D：由 ，所以 ，又 ，所以 ，故 D 真命题.
故选：BD.
12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.他和阿基米德、牛顿并列为世
界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称
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为高斯函数.例如： ， .下列命题中正确的是（ ）
A.
B. ，
C. ，
D. 若 ， ，则方程 的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据高斯函数的定义，逐项判断即可
【详解】由高斯函数定义显然 A 正确；
对于 B，不妨取 ， ，故 B 正确；
对于 C，不妨取 ， ，故 C 错误；
对于 D，因为当 时， ，所以方程 等价于 ，
又因为 表示不超过 的最大整数，所以 恒成立，
即对任意 ， 恒成立，所以方程 的解集为 ，故 D 正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 函数 的定义域为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意有 ，解出即可.
【详解】由题可得 ，解得 且 ，
的定义域为 .
故答案为： .
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14. _____.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数的运算求解即可.
【详解】
.
故答案为： .
15. 已知一元二次不等式 的解集为 ，则不等式 的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据已知条件求出 的值，进而求出不等式 的解集.
【详解】因为一元二次不等式 的解集为 ，
则一元二次方程 的两个根为 2 和 3，
所以 ，
所以不等式 变为 ，
即 ，解得 或 .
故答案为： .
16. 对于实数 ，我们用符号 表示 两数中较大的数，如 ．若函数
在 上有最小值，则 的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
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【分析】根据二次函数和绝对值函数画出图象，求出特殊交点的坐标，进而求得结果.
【详解】令 ，
当 时，化简方程为 ，解得 ；
当 时，化简方程为 ，解得 ，作出函数 的图象，如图所示，
所以 ．又函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，即 ．
若函数 在 上有最小值，则 的取值范围为 ．
故答案为： .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知集合 ， .
（1）求 及 ；
（2）求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先解一元二次方程把集合 具体化，再利用集合的运算法则计算即可；
（2）利用集合的运算法则计算即可.
【小问 1 详解】
得 或
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集合 ，
故 ；
【小问 2 详解】
.
18. 设全集 ，已知集合 .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）由 结合交集定义即可列关于参数的不等式求解；
（2）先由 得到 ，再由子集定义列关于参数的不等式组即可求解.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 或 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 或 ；
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
19. 某地区上年度电价为 0.8 元/kW•h，年用电量为 akW•h，本年度计划将电价降到 0.55 元/kW•h 至 0.75 元
/kW•h 之间，而用户期望电价为 0.4 元/kW•h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电
价的差成反比（比例系数为 k）．该地区电力的成本为 0.3 元/kW•h．
（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益 y 与实际电价 x 的函数关系式；
（2）设 ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%？
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（注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价））
【答案】（1）
（2）0.6 元/kw•h
【解析】
【分析】（1）先根据题意设下调后的电价为 x 元/kw•h，依题意知用电量增至 ，得出电力部门的
收益即可；
（2）依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%”得到关于 x 的不等关系，
解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%．
【小问 1 详解】
设下调后的电价为 x 元/kw•h，
依题意知用电量增至 ，电力部门的收益为
【小问 2 详解】
依题意有 ，
整理得 ，
解此不等式得 ，
答：当电价最低定为 0.6 元/kw•h 仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%．
【点睛】本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决
实际问题的能力．
20. 设正数 a，b 满足 ．
（1）求 的最大值；
（2）求 的最小值；
（3）从（ⅰ）（ⅱ）中任选一个问题回答，若回答多个问题，则按第一个问题计分．
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（ⅰ）求 的最大值；
（ⅱ）求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式即可得出答案；
（2）将原式化简，然后代换一下，利用二次函数的性质求最值；
（3）若选（ⅰ），代换，然后利用基本不等式即可求解；若选（ⅱ）,也是先代换，然后利用二次函数的性
质求最值.
【小问 1 详解】
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最大值为 ；
【小问 2 详解】
，所以 ，
，
当 时， 取到最小值 ；
【小问 3 详解】
若选（ⅰ）, ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 ;
若选（ⅱ）， ，所以 ，
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，
显然当 时取到最小值 .
21. 已知函数 ， 是奇函数．
（1）求 的值；
（2）判断并证明 的单调性；
（3）求不等式 的解集．
【答案】（1）
（2） 在 上单调递增；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据 求得，再利用奇偶性的定义检验；
（2）利用单调性的定义求证；
（3）利用单调性和奇偶性解不等式.
【小问 1 详解】
由题意可知， ，则 ，
检验： ，且定义域关于原点对称，则 是奇函数；
【小问 2 详解】
，且 ，
则
，
因 ，则 ， ， ，
故 ，即 ，
故 在 上单调递增；
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【小问 3 详解】
因 ， 是奇函数，则 ，
因 在 上单调递增，则 ，得 ，
故不等式 的解集为 .
22. 设函数 ， .
（1）若对于任意的 ， 恒成立，求 a 的取值范围；
（2）若 的解集为 .
①求 a，b 的值;
②求函数 在 的最大值 .
【答案】（1）
（2）① ；② .
【解析】
【分析】（1）法 1：问题化为当 ，只需 ，讨论对称轴与已知区间的位置关系，结合二
次函数性质求对应最小值，即可得参数范围；法 2：问题化为 在 上恒成立，应用对勾
函数性质求右侧最大值，即可得范围；
（2）①根据一元二次不等式解集求参数值即可；②由 ，讨论已知区间与对称轴位置
关系求最值.
【小问 1 详解】
法 1：由题知，任意 有 ，即当 ，只需 ，
由 的对称轴为 ，
当 ，即 时， 在 上单调递增，
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此时 ，即 ；
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
此时 ，解得 ，与前提矛盾，舍去；
当 ，即 时， 在 上单调递减，
此时 ，即 ，与前提矛盾，舍去.
综上所述：a 取值范围 .
法 2：由题，得 对任意 都成立，即 ，
令 ，则 ，
令 ，则 在 上单调递增，
则 在 上单调递减，故 ，即 ，
所以 a 的取值范围 .
【小问 2 详解】
① ，即 的解集为 ，
则有 ，解得 ，
②由于
当 ，即 时， 在 上单调递增，
所以 ；
当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ；
当 时， 在 单调递减，所以 ；
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综上所述，所以
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