初中数学华东师大版（2024）七年级下册（2024）二元一次方程组和它的解学案

这是一份初中数学华东师大版（2024）七年级下册（2024）二元一次方程组和它的解学案，共9页。学案主要包含了知识链接，合作交流，课堂练习，【作业布置】等内容，欢迎下载使用。
► 学习目标与重难点
学习目标：
1. 学生能够理解并掌握二元一次方程组的定义、组成及解的概念；
2. 学生能够运用所学知识，从实际问题中抽象出数学模型，并正确列出二元一次方程组；
3. 通过小组讨论、动手操作等方式，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
学习重点：二元一次方程组的定义、组成及解的概念；如何从实际问题中抽象出数学模型，并正确列出二元一次方程组。
学习难点： 从实际问题中抽象出数学模型，并正确理解和运用二元一次方程组进行准确计算和推理。
► 预习自测
一、知识链接
1.判断下列方程中哪些是二元一次方程：
2x + 3y = 5
x² + y = 0
xy = 6
x + y + z = 1
3x - 2 = 4y
5x + y = 7
(1x) + y = 2
x = 2y
x + y = 3
x + y2 = 4
4x - 5 = y
x + y = y + 3
3x - 2y + z = 7
2x + y = 0

自学自测
2、下列不是方程2x+3y=13解的是（ ）
A．x=2y=3B．x=−1y=5C．x=−5y=1D．x=8y=−1
3、若x=ay=b是关于x、y的二元一次方程2x+y=7的正整数解，则a+b的值为_______．
► 教学过程
一、创设情境、导入新课
教材第29页
问题 1
暑假里, 某地组织了 “我们的小世界杯” 足球邀请赛. 比赛规定: 胜一场得 3 分, 平一场得 1 分, 负一场得 0 分. 勇士队在第一轮比赛中赛了 9 场, 负了 2 场, 共得 17 分. 那么这个队胜了几场? 平了几场呢?
你会解决这个问题吗?
请同学们举手讨论或者小组回答问题。
二、合作交流、新知探究
探究一： 思考与探索
问题 1 中告诉了我们哪些等量关系? 问题 1 中有两个未知数, 如果分别设为 x 、 y ,又会怎样呢?
探索 ：在下表的空格中填入数字或式子.
请根据表格列方程回答问题1：
【强调】有两个未知数, 并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程, 叫做二元一次方程.
探究二：新知导入
教材第31页
问题 2 某校现有校舍 20000 m2 ,计划拆除部分旧校舍,改建新校舍,使校舍总面积增加 30%. 若新建校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的 4 倍, 则应拆除多少旧校舍, 建造多少新校舍?
试一试：若设应拆除 x m2 旧校舍,建造 y m2 新校舍,请你根据题意列出方程组.
回答：
三、课堂练习
【必做题】
1.下列各组数中，是方程x+y＝5的解的是（ ）
A．x=−2y=−3B．x=−3y=2C．x=4y=3D．x=3y=2
2. 二元一次方程x+3y＝10的非负整数解共有（ ）对．
A．1B．2C．3D．4
3.若方程ax﹣2y＝4的一个解是x=2y=1，则a的值是 ．
【选做题】
4、若关于x，y的方程m−1xm−y=2是一个二元一次方程，则m的值为_____________．
5.水果店一天卖出苹果和梨共50公斤，总收入为360元。已知苹果每公斤8元，梨每公斤6元。请问苹果和梨各卖了多少公斤？
【综合拓展作业】
6、一个三位正整数， 百位、十位、个位上的数字分别为 a、b、c， 如果满足 a=b+c， 那 么称这个三位数为 “开心数”．
(1)三位正整数中，最小的 “开心数”为 ， 最大的“开心数”为 ．
(2)如果一个“开心数” 满足百位为 6 ， 且能被 6 整除， 那么称这个“开心数”为“顺利 开心数”，请求出所有的 “顺利 开心数”．
总结反思、拓展升华
二元一次方程组的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组。
二元一次方程组的组成：由两个二元一次方程组成。
二元一次方程组的解：使二元一次方程组中两个方程的左、右两边的值都相等的一对未知数的值。
4.如何从实际问题中抽象出数学模型，并正确列出二元一次方程组。
五、【作业布置】
【知识技能类作业】
1、已知x=2y=1是二元一次方程组ax+by=7ax−by=1 的解，则a−b的值为( )
A．－1B．1C．2D．3
2、若关于x，y的方程组2x−y=kx+2y=8+k 的解满足x与y的值相等，则k的值为___________．
3、若x=4y=1是二元一次方程2x＋3y＝k的一个解，则k的值是__________．
【综合拓展类作业】
4.已知方程组3x−m−3ym−2−2=1m+1x=−2是二元一次方程组，求m的值．
5. 某读者俱乐部成员订阅两种期刊，期刊C每月出版，定价10元/期；期刊D每季度出版，定价25元/期。每位成员选择其中一本订阅半年，另一本订阅一年。已知期刊C的总订阅费为3600元，期刊D的总订阅费为3000元。求该俱乐部的成员人数。
【答案】
1. 正确答案包括1、5、6、8、11、14
2.C
3. a+b的值为6，5或4。
【课堂练习答案】
1.
对于选项A：代入 x=−2 和 y=−3 到方程 x+y=5 中，得：−2+(−3)=−5，因为 −5≠5，所以A不是方程的解。
对于选项B：代入 x=−3 和 y=2 到方程 x+y=5 中，得：−3+2=−1，因为 −1≠5，所以B不是方程的解。
对于选项C：代入 x=4 和 y=3 到方程 x+y=5 中，得：4+3=7，因为 7≠5，所以C不是方程的解。
对于选项D：代入 x=3 和 y=2 到方程 x+y=5 中，得：3+2=5，因为等式成立，所以D是方程的解。
故答案为：D。
考虑方程 x+3y=10，
当 x=10 时，y=0；
当 x=7 时，y=1；
当 x=4 时，y=2；
当 x=1 时，y=3；
所以，方程 x+3y=10 的非负整数解共有4对。
故答案为：D。
代入 x=2 和 y=1 到方程 ax−2y=4 中，
得：2a−2=4，
解得：a=3。
故答案为：3。
由题意得：∣m∣=1 且 m−1≠0，
解得：m=−1。
故答案为：-1。
设卖出苹果 x 公斤，梨 y 公斤，
根据题意得方程组：
x+y=50
8x+6y=360​
解此方程组得：
x=30
y=20​
答：卖出苹果30公斤，梨20公斤。
(1) 最小的“开心数”为百位取1（因为a,b,c都是正整数），b+c=1，那么只有b=0，c=1满足，所以这个数为101；
最大的“开心数”为百位取9，b+c=9，那么最大的组合为b=8，c=1（或b=1，c=8），所以这个数为981（或918）；
答：最小的“开心数”为101，最大的“开心数”为981（或918）。
(2) 根据“顺利开心数”的定义，有：
100×6+10b+c=600+10b+c=6(100+b+c6)，
因为该数能被6整除，所以 c 必须是6的倍数，且 c=6−b，
又因为 b 和 c 都是正整数且小于10，所以可能的组合有：
b=1,c=5 得数615；
b=2,c=4 得数624；
b=3,c=3 得数633；
b=4,c=2 得数642；
b=5,c=1 得数651。
答：所有的“顺利开心数”为615，624，633，642，651。
【作业答案】
【知识技能类作业】
1、解析：a=2,b=3,a-b=-1选A
2、解答：
由于x=y，代入得：
{2x−x=k
x+2x=8+k​
即
{x=k
3x=8+k​
将x=k代入3x=8+k得：
3k=8+k⟹2k=8⟹k=4
故k的值为4。
3、
解答：k=11
【综合拓展类作业】
4.
解答：我们需要确保它是一个二元一次方程组。这意味着方程组中的每个方程都应该是关于x和y的一次方程。
首先，我们观察第二个方程(m+1)x=−2，这个方程已经是关于x的一次方程，所以我们只需要确保m+1≠0，即m≠−1，以保证x的系数不为零。
为了使第一个方程成为关于y的一次方程，我们需要确保y的指数为1。因此，我们有：∣m−2∣−2=1
解这个方程，我们得到：∣m−2∣=3
这意味着m−2=3或m−2=−3。
解得到：m=5或m=−1
但是，由于我们已经知道m=−1（以保证第二个方程中x的系数不为零），所以唯一可能的m值是5。
因此，m的值为5。
5.
解答：选项一：订阅C半年（6个月×10元/月=60元），D一年（4期×25元/期=100元）
选项二：订阅C一年（12×10=120元），D半年（2期×25=50元）
设选择选项一的有x人，选项二的有y人。总成员x+y。
期刊C的总费用为60x +120y =3600；
期刊D的总费用为100x +50y=3000.
于是方程组：
60x +120y =3600 →简化为x + 2y =60
100x +50y=3000 →简化为2x + y =60
这样解的话，可得x=20,y=20，总人数40人
胜
平
合计
场 数
x
y
得 分