2025-2026学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模） （含解析）

这是一份2025-2026学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模） （含解析），共30页。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．下列各组图形中不一定是相似形的是（ ）
A．两个等腰直角三角形B．两个等边三角形
C．两个正方形D．两个直角三角形
2．下列函数中，二次函数是（ ）
A．B．C．D．
3．下列说法中，一定正确的是（ ）
A．如果是非零向量，且，那么
B．如果是单位向量，那么
C．向量与是相等向量
D．如果是非零向量，那么
4．如图，已知△，直线与边、分别相交于点、，直线与边、分别相交于点、，，那么下列比例式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知抛物线（其中、、是常数，且的对称轴是直线，且与轴有两个交点，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知抛物线与轴交于、两点．将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点、；再将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点、若直线与这3条抛物线交于点、、、、、，则这6个点的横坐标之和是（ ）
A．6B．18C．30D．54
二、填空题（共48分，每小题4分）
7．如果，那么的值是 ．
8．计算： ．
9．如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是 ．
10．已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是 （不要求写定义域）．
11．在△中，，，的余弦值是，那么的长是 ．
12．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是 米（结果保留根号）．
13．在△中，点、分别是、的黄金分割点，且，，，那么的长是 （结果保留根号）．
14．在△中，，，，结合尺规作图痕迹所提供的信息可求出的长是 ．
15．如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的 （填“几分之几” ．
16．如图，在△中，点、分别是、的中点，联结、交于点，交于点，那么 ．
17．如图，在△中，，，，点是边上的一点，联结，如果，那么 ．
18．如图，矩形中，联结，点是的中点，过点作交于点，将△沿直线翻折，点落在平面内点处，如果点恰在上，那么的值是 ．
三、解答题（本大题共7题，共78分）如无特别说明，本大题作答须写出证明或计算的主要步骤。
19．（10分）计算：．
20．（10分）如图，已知平行四边形中，点是边的中点，与对角线交于点，设，．
（1）填空：向量 ，向量 ．
（注：本题结果用含向量、的式子表示）
（2）作出向量分别在、方向上的分向量．
（注：画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
21．（10分）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．
表一：地面所受压强与接触面积之间的关系
表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系
（1）求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）；
（2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？
22．（12分）如图，线段、相交于点，点是线段的中点，联结、、，分别延长、交于点．已知，且．
（1）求证：；
（2）如果平分，求证：．
23．（10分）探究活动：巧拼地砖外边．
装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中，，如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图图9的操作解决了问题，完成了拼接．
（1）请根据图图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母；
（2）如果大条形边角为的宽度为，小条形边角为的宽度为，大条形边角料裁剪后的锐角是，那么 ；
（3）请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线、是常数）经过点，对称轴为直线，顶点为．
（1）求抛物线的函数表达式及点的坐标．
（2）点为抛物线上的动点，过点作直线．
①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为，求的值；
②当点不在坐标轴上时，直线交抛物线于点，过点作轴垂线，垂足为点，在线段的延长线上截取，联结，当抛物线的顶点在△内部时，直接写出的取值范围．
25．（14分）如图，已知在△中，点是边上的一点．
（1）当时．
①如图1，是边上的高，求证：；
②如图2，，点在边上，且，顺次联结、、．如果，，求的值．
（2）如图3，如果点是边的中点，，点在线段延长线上，且，联结，取中点，分别延长、交于点，求的值．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．下列各组图形中不一定是相似形的是（ ）
A．两个等腰直角三角形B．两个等边三角形
C．两个正方形D．两个直角三角形
解：、两个等腰直角三角形一定相似，不符合题意；
、两个等边三角形一定相似，不符合题意；
、两个正方形一定相似，不符合题意；
、两个直角三角不一定相似，符合题意，
故选：．
2．下列函数中，二次函数是（ ）
A．B．C．D．
解：．，为一次函数，不符合题意；
．，是反比例函数，不符合题意；
．，是二次函数，符合题意；
．，为一次函数，不符合题意；
故选：．
3．下列说法中，一定正确的是（ ）
A．如果是非零向量，且，那么
B．如果是单位向量，那么
C．向量与是相等向量
D．如果是非零向量，那么
解：、如果，是非零向量，且，那么，正确，本选项符合题意；
、如果是单位向量，那么，错误，应该是，本选项不符合题意；
、向量与向量是相等向量，错误，本选项不符合题意；
、如果，是非零向量，那么，错误，应该是，本选项不符合题意．
故选：．
4．如图，已知△，直线与边、分别相交于点、，直线与边、分别相交于点、，，那么下列比例式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
解：，
△△，△△，，，
，，
故、、错误，不符合题意；正确，符合题意；
故选：．
5．已知抛物线（其中、、是常数，且的对称轴是直线，且与轴有两个交点，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
解：由题知，
因为抛物线的对称轴为直线，
所以，
则，
所以选项符合题意；
因为，
所以，
所以选项不符合题意．
因为无法确定抛物线与轴的交点位置及抛物线顶点的位置，
所以选项不符合题意．
故选：．
6．如图，已知抛物线与轴交于、两点．将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点、；再将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点、若直线与这3条抛物线交于点、、、、、，则这6个点的横坐标之和是（ ）
A．6B．18C．30D．54
解：对于抛物线，
令，得或，
，
即抛物线向右平移6个单位得到抛物线，以此类推，
则，，
由抛物线对称性可得、关于直线对称，
、关于直线对称，
、关于直线对称，
，，，
，
故选：．
二、填空题（共48分，每小题4分）
7．如果，那么的值是 ．
解：设，，
则原式．
故答案为：．
8．计算： ．
解：．
故答案为：．
9．如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是 ．
解：两个相似三角形的面积之比为，
它们的相似比为，
它们的周长之比为，
故答案为：．
10．已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是 （不要求写定义域）．
解：长方形的长是，宽是长的一半，
宽为，
．
故答案为：．
11．在△中，，，的余弦值是，那么的长是 16 ．
解：，
，
的长是16．
故答案为：16．
12．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是 米（结果保留根号）．
解：斜坡的坡度为，
，
米，
米，
（米，
答：物体所经过的路程为米，
故答案为：．
13．在△中，点、分别是、的黄金分割点，且，，，那么的长是 （结果保留根号）．
解：如图，点、分别是、的黄金分割点，且，，
，，
，
又，
△△，
，
，
故答案为：．
14．在△中，，，，结合尺规作图痕迹所提供的信息可求出的长是 6 ．
解：由作图痕迹可知：平分，，
，
，
故答案为：6．
15．如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的 （填“几分之几” ．
解：点为光源，为小狗手影，为小明的手，
，
作交于点，延长交于点，则，
，
，，
△△，
，
米，米，
，
设，
，
在光源不动的情况下，光源与手的距离增加1米，
米，
△△，
，
，
，
，
答：小狗手影的高度变为原来的，
故答案为：．
16．如图，在△中，点、分别是、的中点，联结、交于点，交于点，那么 ．
解：点、分别是、的中点，联结、交于点，
点是△的重心，
，
，
△△，且相似比为，
同理可得：△△，且相似比为，
．
故答案为：．
17．如图，在△中，，，，点是边上的一点，联结，如果，那么 ．
解：如图，过点作于点，过点作于点．
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
△的面积，
，
，
．
故答案为：．
18．如图，矩形中，联结，点是的中点，过点作交于点，将△沿直线翻折，点落在平面内点处，如果点恰在上，那么的值是 ．
解：如图，连接交于点，
则，
为中点，且在上，
，
，则，
在矩形中，，
△△，
，
设，则，
在△中，，
，，
△△，
，
，
在△中，，
，
在△中，，
，
在△中，，
．
三、解答题（本大题共7题，共78分）如无特别说明，本大题作答须写出证明或计算的主要步骤。
19．（10分）计算：．
解：原式
．
20．（10分）如图，已知平行四边形中，点是边的中点，与对角线交于点，设，．
（1）填空：向量 ，向量 ．
（注：本题结果用含向量、的式子表示）
（2）作出向量分别在、方向上的分向量．
（注：画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
解：（1），，
．
四边形为平行四边形，
，，
，，
△△，
，
，
．
点是边的中点，
，
，
．
故答案为：；．
（2）如图，即为所求．
21．（10分）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．
表一：地面所受压强与接触面积之间的关系
表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系
（1）求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）；
（2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？
解：（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．
设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为．
将，代入，得，
地面所受压强关于接触面积的函数表达式为．
（2）把代入得，，
答：该机器人与地面的接触面积至少为平方米．
22．（12分）如图，线段、相交于点，点是线段的中点，联结、、，分别延长、交于点．已知，且．
（1）求证：；
（2）如果平分，求证：．
解：（1）证明：，，
△△，
，，
点是的中点，
，，
，
，
；
（2）平分，
，
，
，
，点是的中点，
，，
，，
，
，
，
，
△△，
，
．
23．（10分）探究活动：巧拼地砖外边．
装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中，，如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图图9的操作解决了问题，完成了拼接．
（1）请根据图图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母；
（2）如果大条形边角为的宽度为，小条形边角为的宽度为，大条形边角料裁剪后的锐角是，那么 ；
（3）请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由．
解：（1）操作图形如图所示；
（2）如图，过作于点，作于点，
则四边形为矩形，
，，
，
故答案为：；
（3）延长与交于点，连接，过点作平行线，交于点，沿着、切割．
理由：、，
四边形是平行四边形，，
，，
则切割后与重合，且角度能拼接成．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线、是常数）经过点，对称轴为直线，顶点为．
（1）求抛物线的函数表达式及点的坐标．
（2）点为抛物线上的动点，过点作直线．
①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为，求的值；
②当点不在坐标轴上时，直线交抛物线于点，过点作轴垂线，垂足为点，在线段的延长线上截取，联结，当抛物线的顶点在△内部时，直接写出的取值范围．
解：（1）对称轴为直线，
，
抛物线经过点，
，
解得，
抛物线的函数表达式为，
当时，，
；
（2）①由题可知，
当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分是随增大而减小，
点即为最高点，
此时，
解得，
在对称轴右侧，即，
；
②当点在点右侧时，此时，如图，
此时要满足题意则点需在点右上方，找出临界值，即点在上时，
由题可知，
，
解得或（舍去），
；
当点在点左侧时，即，如图，
同理可得；
当点在上时，此时，
此时，即，
则，
解得，
，
综上，或．
25．（14分）如图，已知在△中，点是边上的一点．
（1）当时．
①如图1，是边上的高，求证：；
②如图2，，点在边上，且，顺次联结、、．如果，，求的值．
（2）如图3，如果点是边的中点，，点在线段延长线上，且，联结，取中点，分别延长、交于点，求的值．
【解答】（1）①证明：，
，
，
，
△△，
，
；
②解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
如图，过作于点，
则，
，
，
△△，
，，
设，则，
在△中，，
即，
解得，即，
；
（2）设，则，
，，
△△，
，
，
，
，
，
如图，连接，
则，
设，则，
，为中点，
垂直平分，
，
，
，
，
为中点，
，
，
．
地面所受压强
接触面积
地面材质
玻璃
木地板
大理石
能承受的最大压强
图1
图2
图3
图4
图5
【操作说明】将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边．
【操作说明】画出的延长线，交于点．
【操作说明】联结．
【操作说明】沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形
【操作说明】画出的延长线，交小条形边角料的边
图6
图7
图8
图9
【操作说明】联结．
【操作说明】沿着、切割．
【操作说明】拼接切割后的两根条形边角料．
地面所受压强
接触面积
地面材质
玻璃
木地板
大理石
能承受的最大压强
图1
图2
图3
图4
图5
【操作说明】将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边．
【操作说明】画出的延长线，交于点．
【操作说明】联结．
【操作说明】沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形
【操作说明】画出的延长线，交小条形边角料的边
图6
图7
图8
图9
【操作说明】联结．
【操作说明】沿着、切割．
【操作说明】拼接切割后的两根条形边角料．