上海市嘉定区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（一模）（含解析）

这是一份上海市嘉定区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（一模）（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）如果抛物线y＝（k﹣1）x2+2的开口向下，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞0B．k＜0C．k＞1D．k＜1
2．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，那么下列等式成立的是（ ）
A．b＝2aB．b＝﹣2aC．b＝4aD．b＝﹣4a
3．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（ ）
A．6000米B．12000米C．米D．米
5．（4分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，，，那么等于（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角是36°的两个等腰三角形相似
B．有一个角是45°的两个等腰三角形相似
C．有一个角是60°的两个等腰三角形相似
D．有一个角是钝角的两个等腰三角形相似
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．（4分）如果函数y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）是二次函数，那么k的取值范围是 ．
8．（4分）将抛物线y＝3+x﹣2x2向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是 ．
9．（4分）如果抛物线y＝x2+c经过两点A（2，1）和B（1，b），那么b的值是 ．
10．（4分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+m图象的最高点的横坐标是 ．
11．（4分）如果5a＝3b（a、b都不等于零），那么＝ ．
12．（4分）已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AB＝4cm，AP＜BP，那么BP＝ cm．
13．（4分）如果向量、、满足关系式3，那么＝ （用向量、表示）．
14．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，AD：AB＝1：2，AC＝4，那么当AE＝ 时，DE∥BC．
15．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA上，DE∥BC，＝，BC＝9，那么DE＝ ．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DA⊥AB，联结BD，，BC＝1，AD＝2，那么csD＝ ．
17．（4分）如图，在港口A的南偏西30°方向有一座小岛B，一艘船以每小时12海里的速度从港口A出发，沿正西方向行驶，行了30分钟时这艘船在C处测得小岛B在船的正南方向，那么小岛B与C处的距离BC＝ 海里（结果保留根号）．
18．（4分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，AC＝20，点P、Q分别在边AC、BC上，且CP：BQ＝3：2（如图），将△PQC沿直线PQ翻折，翻折后点C落在点C1处．如果QC1∥AB，那么cs∠QPC1＝ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：4（1﹣cs30°）+．
20．（10分）已知平面直角坐标系xOy（如图），抛物线y＝x2+bx+c，经过点A（﹣3，0）和B（0，﹣3）两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果将这个抛物线向右平移k（k＞0）个单位，得到新抛物线经过点B，求k的值．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点H是边AB上一点，且BH＝2AH，直线DH与AC相交于点G．
（1）求的值；
（2）如果DH⊥AB，，AD＝9，求四边形ABCD的面积．
22．（10分）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔CD．小山斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，坡长AB为39米，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为45°，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为74°．
（1）求坡顶B到地面AH的距离BH的长；
（2）求古塔CD的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin74°≈0.96，cs74°≈0.28，tan74°≈3.49）
23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是BC延长线上一点，点E是斜边AB上一点，且BC•BD＝BE•BA．
（1）求证：AB⊥ED；
（2）联结AD，在AB上取一点F，使AF＝AC，过点F作FG∥BC交AD于点G．求证：FG＝DE．
24．（12分）定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2＝ac，则称该抛物线是黄金抛物线．已知平面直角坐标系xOy（如图），抛物线y＝x2﹣2x+k是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D．
（1）求此黄金抛物线的表达式及D点坐标；
（2）点B（2，b）在这个黄金抛物线上，
①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求∠OBC的正弦值．
②在射线AB上是否存在点P，使以点P、A、D所组成的三角形与△AOD相似，且相似比不为1，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）如图1，在△ABC和△ACD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，BC＝16，CD＝15，DA＝9．
（1）求证：∠B＝∠ACD；
（2）已知点M在边BC上一点（与点B不重合），且∠MAN＝∠BAC，AN交CD于点N，交BC的延长线于点E．
①如图2，设BM＝x，CE＝y，求y与x的函数关系式，并写出定义域；
②当△CEN是等腰三角形时，求BM的长．
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）如果抛物线y＝（k﹣1）x2+2的开口向下，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞0B．k＜0C．k＞1D．k＜1
【分析】由开口向下可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围．
【解答】解：因为抛物线y＝（k﹣1）x2+2的开口向下，
所以k﹣1＜0，即k＜1，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的开口方向与二次项系数有关是解题的关键．
2．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，那么下列等式成立的是（ ）
A．b＝2aB．b＝﹣2aC．b＝4aD．b＝﹣4a
【分析】根据题意对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，继而得到答案；
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴b＝4a，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．
3．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意可得AC＝4，然后根据锐角三角函数的定义即可求得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴AC＝＝4，
∴sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝，ctA＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4．（4分）一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（ ）
A．6000米B．12000米C．米D．米
【分析】在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：
在Rt△ACB中，∠B＝30°，AC＝6000米，
∴BC＝＝＝6000（米），
∴此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是6000米，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．（4分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，，，那么等于（ ）
A．B．
C．D．
【分析】延长AD到点E，使AD＝DE，连接BE、CE，根据SAS证明△ADC≌△EDB（SAS），BE＝AC，再根据平面向量三角形法则求解即可．
【解答】解：如图，延长AD到点E，使AD＝DE，连接BE、CE，
∵点D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC，
∵，
∴＝，
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角是36°的两个等腰三角形相似
B．有一个角是45°的两个等腰三角形相似
C．有一个角是60°的两个等腰三角形相似
D．有一个角是钝角的两个等腰三角形相似
【分析】根据等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：A．有一个角是36°的两个等腰三角形不一定相似，所以A选项错误；
B．有一个角是45°的两个等腰三角形不一定相似，所以B选项错误；
C．有一个角是60°的两个等腰三角形相似，所以C选项正确；
D．有一个角是钝角的两个等腰三角形不一定相似，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了命题和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．（4分）如果函数y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）是二次函数，那么k的取值范围是 k≠1 ．
【分析】根据二次函数定义得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵函数y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）是二次函数，
∴k﹣1≠0，
解得k≠1．
故答案为：k≠1．
【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
8．（4分）将抛物线y＝3+x﹣2x2向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是 y＝﹣2x2+x+1 ．
【分析】根据函数图象的平移规则“上加下减”进行求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝3+x﹣2x2向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是y＝3+x﹣2x2﹣2，即y＝﹣2x2+x+1．
故答案为：y＝﹣2x2+x+1．
【点评】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移规则是解答的关键．
9．（4分）如果抛物线y＝x2+c经过两点A（2，1）和B（1，b），那么b的值是 ﹣2 ．
【分析】把点A（2，1）和B（1，b）代入y＝x2+c即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+c经过两点A（2，1）和B（1，b），
∴，
解得b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
10．（4分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+m图象的最高点的横坐标是 ﹣1 ．
【分析】化成函数顶点式，进而得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+m＝﹣（x+1）2+1+m，
∴二次函数图象上的最高点的横坐标为：﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值，正确得出二次函数顶点式是解题关键．
11．（4分）如果5a＝3b（a、b都不等于零），那么＝ ﹣ ．
【分析】利用比例的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵5a＝3b，
∴＝，
∴＝﹣1＝﹣1＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12．（4分）已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AB＝4cm，AP＜BP，那么BP＝ （2﹣2） cm．
【分析】利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵点P是线段AB的一个黄金分割点，且AB＝4cm，AP＜BP，
∴BP＝AB＝×4＝（2﹣2）cm，
故答案为：（2﹣2）．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
13．（4分）如果向量、、满足关系式3，那么＝ +5 （用向量、表示）．
【分析】根据等式的性质变形，得到答案．
【解答】解：∵3﹣（﹣2）＝2﹣3，
∴3﹣+2＝2﹣3，
∴﹣＝2﹣3﹣3﹣2，
∴﹣＝﹣﹣5，
∴＝+5，
故答案为：+5．
【点评】本题考查的是算术平均数、平面向量，正确利用等式的性质是解题的关键．
14．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，AD：AB＝1：2，AC＝4，那么当AE＝ 2 时，DE∥BC．
【分析】证明△EAD∽△CAB，根据相似三角形的性质得到∠E＝∠C，根据平行线的判定定理判断即可．
【解答】解：AE＝2时，DE∥BC，
∵AE＝2，AC＝4，
∴＝＝，
∵AD：AB＝1：2，
∴＝，
∵∠EAD＝∠CAB，
∴△EAD∽△CAB，
∴∠E＝∠C，
∴DE∥BC，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
15．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA上，DE∥BC，＝，BC＝9，那么DE＝ 3 ．
【分析】根据相似三角形的性质相似三角形的面积之比等于相似比的平方建立等量关系就可以求出结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△DEA∽△BCA，
∴（）2＝，
∵＝，
∴＝，
∵BC＝9，
∴（）2＝，
∴＝，
∴DE＝3
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定及相似三角形，解决本题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DA⊥AB，联结BD，，BC＝1，AD＝2，那么csD＝ ．
【分析】先利用勾股定理求出AB、BD，然后根据余弦的定义解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴在Rt△ACB中，AB＝，
在Rt△ABD中，BD＝，
∴csD＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握余弦的定义．
17．（4分）如图，在港口A的南偏西30°方向有一座小岛B，一艘船以每小时12海里的速度从港口A出发，沿正西方向行驶，行了30分钟时这艘船在C处测得小岛B在船的正南方向，那么小岛B与C处的距离BC＝ 6 海里（结果保留根号）．
【分析】过点B作BC⊥东西方向于点C，根据正切的定义求出BC．
【解答】解：过点B作BC⊥东西方向于点C，
由题意得：AC＝12×＝6海里，∠B＝30°，
∵tanB＝，
∴BC＝＝＝6（海里），
故答案为：6．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
18．（4分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，AC＝20，点P、Q分别在边AC、BC上，且CP：BQ＝3：2（如图），将△PQC沿直线PQ翻折，翻折后点C落在点C1处．如果QC1∥AB，那么cs∠QPC1＝ ．
【分析】作∠ABC的平分线BD，过点A作AE∥BD交CB的延长线于点E，可将∠QPC1转化为∠EAC，因此设法求出cs∠EAC的值即可解决问题．
【解答】解：作出△PQC沿直线PQ翻折后的△PQC1，
则∠PQC1＝∠PQC，∠QPC1＝∠QPC，
∵QC1∥AB，
∴∠CQC1＝∠CBA，
作∠ABC的平分线BD，
则∠CBD＝∠CQP，
∴PQ∥BD，
过点A作AE∥BD交CB的延长线于点E，
则∠CBD＝∠E，∠ABD＝∠BAE，AE∥PQ，
∴∠E＝∠BAE，∠QPC＝∠EAC，
∴BE＝BA＝25，cs∠QPC1＝cs∠QPC＝cs∠EAC，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，AC＝20，
由勾股定理，得BC＝＝＝15，
∴EC＝BC+EB＝15+25＝40，
在Rt△ACE中，
由勾股定理，得AE＝＝＝，
∴cs∠EAC＝＝＝，
∴cs∠QPC1＝．
故答案为：．
【点评】本题考查翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，平行线性质和判定，通过作辅助线将求cs∠QPC1转化为求cs∠EAC是解题的关键．值得注意的是：本题中的条件“CP：BQ＝3：2”多余，若利用此条件求出CP，CQ，PQ的长来求cs∠QPC1的值也可以，但比较麻烦．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：4（1﹣cs30°）+．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而得出答案．
【解答】解：原式＝4×（1﹣）+
＝4﹣2+
＝4﹣2+2+3
＝7．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
20．（10分）已知平面直角坐标系xOy（如图），抛物线y＝x2+bx+c，经过点A（﹣3，0）和B（0，﹣3）两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果将这个抛物线向右平移k（k＞0）个单位，得到新抛物线经过点B，求k的值．
【分析】（1）将点A（﹣3，0）和点B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）利用平移的规律得到新抛物线的解析式为y＝（x+1﹣k）2﹣4，，代入点B的坐标即可求得k的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c，经过点A（﹣3，0）和B（0，﹣3）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴将这个抛物线向右平移k（k＞0）个单位，得到新抛物线为y＝（x+1﹣k）2﹣4，
∵经过点B（0，﹣3），
∴﹣3＝（1﹣k）2﹣4，
解得：k＝2或k＝0（舍去），
故k的值为2．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点H是边AB上一点，且BH＝2AH，直线DH与AC相交于点G．
（1）求的值；
（2）如果DH⊥AB，，AD＝9，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD＝3AH，AB∥CD，根据相似三角形的判定与性质得到＝＝，根据比例的性质求解即可；
（2）根据平行四边形的性质得出∠DAH＝∠BCD，则cs∠DAH＝cs∠BCD＝，根据锐角三角函数定义求出AH＝3，则AB＝9，根据勾股定理求出DH＝6，根据平行四边形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）∵BH＝2AH，
∴AB＝AH+BH＝3AH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴CD＝3AH，
∵AB∥CD，
∴△AGH∽△CGD，
∴＝＝＝，
∴＝＝＝；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAH＝∠BCD，
∴cs∠DAH＝cs∠BCD＝，
∵DH⊥AB，
∴cs∠DAH＝，
∵AD＝9，
∴＝，
∴AH＝3，
∴AB＝3AH＝9，DH＝＝＝6，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DH＝9×6＝54．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练运用相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质是解题的关键．
22．（10分）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔CD．小山斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，坡长AB为39米，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为45°，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为74°．
（1）求坡顶B到地面AH的距离BH的长；
（2）求古塔CD的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin74°≈0.96，cs74°≈0.28，tan74°≈3.49）
【分析】（1）根据题意可得：BH⊥AH，再根据已知可设BH＝5x米，则AH＝12x米，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理进行计算，即可解答；
（2）延长CD交AN于点E，根据题意可得：BD＝HE，BH＝DE＝15米，然后设BD＝HE＝x米，则AE＝（36+x）米，在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，再在Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：BH⊥AH，
∵斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，
∴＝＝，
∴设BH＝5x米，则AH＝12x米，
在Rt△ABH中，AB＝＝＝13x（米），
∵AB＝39米，
∴13x＝39，
解得：x＝3，
∴BH＝15米．AH＝36米，
∴坡顶B到地面AH的距离BH的长15米；
（2）延长CD交AN于点E，
由题意得：BD＝HE，BH＝DE＝15米，
设BD＝HE＝x米，
∵AH＝36米，
∴AE＝AH+HE＝（36+x）米，
在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，
∴CE＝AE•tan45°＝（36+x）米，
在Rt△CBD中，∠CBD＝74°，
∴CD＝BD•tan74°≈3.49x（米），
∵DE+CD＝CE，
∴15+3.49x＝36+x，
解得：x≈8.4，
∴CD＝3.49x≈29（米），
∴古塔CD的高度约为29米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是BC延长线上一点，点E是斜边AB上一点，且BC•BD＝BE•BA．
（1）求证：AB⊥ED；
（2）联结AD，在AB上取一点F，使AF＝AC，过点F作FG∥BC交AD于点G．求证：FG＝DE．
【分析】（1）根据题意推出＝，结合∠ABC＝∠DBE，推出△ABC∽DBE，根据相似三角形的性质及垂直的定义即可得解；
（2）根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【解答】证明：（1）∵BC•BD＝BE•BA，
∴＝，
又∵∠ABC＝∠DBE，
∴△ABC∽DBE，
∴∠ACB＝∠DEB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEB＝90°，
∴AB⊥ED；
（2）∵△ABC∽DBE，
∴＝，
∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABD，
∴＝，
∵AF＝AC，
∴＝，
∴FG＝DE．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（12分）定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2＝ac，则称该抛物线是黄金抛物线．已知平面直角坐标系xOy（如图），抛物线y＝x2﹣2x+k是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D．
（1）求此黄金抛物线的表达式及D点坐标；
（2）点B（2，b）在这个黄金抛物线上，
①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求∠OBC的正弦值．
②在射线AB上是否存在点P，使以点P、A、D所组成的三角形与△AOD相似，且相似比不为1，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据黄金抛物线定义，得到抛物线的解析式，从而求出顶点D的坐标；
（2）①求出点B和点C的坐标，得到OB，BC和OC的长度，证明△BOC是直角三角形后，通过定义求出正弦值；
②求出点A的坐标，证明△ADE是等腰直角三角形，分类讨论求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x+k是黄金抛物线，
∴（﹣2）2＝k，得k＝4，
∴此黄金抛物线的表达式为y＝x2﹣2x+4，
整理得y＝（x﹣1）2+3，
得顶点D的坐标为（1，3）；
（2）①把B（2，b）代入y＝x2﹣2x+4，得b＝4，
∴点B的坐标为（2，4），
∵抛物线y＝x2﹣2x+4对称轴为直线x＝1，且点C在对称轴上，
∴点C的坐标为，
∵B（2，4），
∴OB＝，BC＝，OC＝，
∵，，
∴BC2＝OB2+OC2，
∴△BOC是直角三角形，∠BOC＝90°，
∴；
②把x＝0代入y＝x2﹣2x+4，得y＝4，
∴点A的坐标为（0，4），
∵点D的坐标为（1，3），
∴OA＝4，OD＝，AD＝，
过点D作DE⊥y轴，
∵A（0，4），B（2，4），
∴AE＝DE＝1，且AB⊥y轴，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠OAD＝∠BAD＝45°，
1）若△AOD∽△ADP，
得，即，
得AD＝，
得点P的坐标为，
2）若△AOD∽△APD，
得，
∵相似比不为1，
∴此种情况舍去，
综上所述，点P的坐标为．
【点评】本题考查利用待定系数法求函数解析式，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质和判定，另外还利用分类讨论思想解题．
25．（14分）如图1，在△ABC和△ACD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，BC＝16，CD＝15，DA＝9．
（1）求证：∠B＝∠ACD；
（2）已知点M在边BC上一点（与点B不重合），且∠MAN＝∠BAC，AN交CD于点N，交BC的延长线于点E．
①如图2，设BM＝x，CE＝y，求y与x的函数关系式，并写出定义域；
②当△CEN是等腰三角形时，求BM的长．
【分析】（1）由勾股定理得AC＝12，再证＝，然后证△ABC∽△DCA，即可得出结论；
（2）①证△ABM∽△ACN，得CN＝BM＝x，则DN＝CD﹣CN＝15﹣x，然后证△CEN∽△DAN，得＝，即可得出结论；
②当△CEN是等腰三角形时，△DAN也是等腰三角形，分三种情况，a、当AN＝DN时，b、当AD＝ND＝9时，c、当AN＝AD＝9时，分别求出CN的长，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠CAD＝90°，CD＝15，DA＝9，
∴AC＝＝＝12，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠ACB＝∠CAD，
∴△ABC∽△DCA，
∴∠B＝∠ACD；
（2）解：①∵∠ACB＝90°，BC＝16，AC＝12，
∴AB＝＝＝20，
∵∠MAN＝∠BAC，
∴∠MAN﹣∠CAM＝∠BAC﹣∠CAM，
即∠CAN＝∠BAM，
由（1）可知，∠B＝∠ACD，
∴△ABM∽△ACN，
∴＝＝＝，
∴CN＝BM＝x，
∴DN＝CD﹣CN＝15﹣x，
∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥BC，
∴△CEN∽△DAN，
∴＝，
即＝，
∴y＝，
即y与x的函数关系式为y＝（0＜x≤16）；
②由（2）可知，△CEN∽△DAN，
∴当△CEN是等腰三角形时，△DAN也是等腰三角形，
分三种情况：
a、当AN＝DN时，∠NAD＝∠D，
∵∠NAD+∠CAN＝90°，∠D+∠ACD＝90°，
∴∠CAN＝∠ACD，
∴AN＝CN，
∴AN＝CN＝DN＝CD＝，
∴x＝，
解得：x＝；
b、当AD＝ND＝9时，CN＝CD﹣DN＝16﹣9＝6，
∴x＝6，
解得：x＝10；
c、当AN＝AD＝9时，
如图3，过A作AH⊥CD于点H，
则DH＝NH，
∵S△CAD＝AC•AD＝CD•AH，
∴AH＝＝＝，
∴NH＝DH＝＝＝，
∴CN＝15﹣2×＝，
∴x＝，
解得：x＝7；
综上所述，BM的长为或10或7．
【点评】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．