2023-2024学年上海市青浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市青浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，一定相似的是( )
A. 两个等腰三角形B. 两个菱形C. 两个正方形D. 两个等腰梯形
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=5，BC=12，那么csA等于( )
A. 512B. 125C. 513D. 1213
3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠ADE=∠C，则下列判断错误的是( )
A. ∠AED=∠B
B. DE⋅AC=BC⋅AE
C. AD⋅AB=AE⋅AC
D. S△AEDS△ABC=(DEBC)2
4.下列说法中，正确的是( )
A. a+(−a)=0
B. 如果e是单位向量，那么e=1
C. 如果|a|=|b|，那么a=b−
D. 如果a是非零向量，且b=−2a，那么a/​/b
5.如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E在线段AD上，点F、G在边BC上，且EF/​/AB，EG//AC，则下列结论一定正确的是( )
A. EFAB=ACEG
B. BFFD=DGGC
C. DFDE=DCDA
D. BDFD=ACEG
6.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(0,1)和(−1,0)，下列结论：①c=1：②ab<0；③a−b+c=0；④当x>−1时，y>0.其中正确结论的个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.如果ab=43，那么a−bb= ______ ．
8.已知线段AB=2，点P是AB的黄金分割点，且AP9.已知向量a与单位向量e方向相同，且|a|=3，那么a= ______ .(用向量e−的式子表示)
10.如果两个相似三角形的周长比为1：3，那么它们的面积比为______ ．
11.如果抛物线y=x2+bx+2的对称轴是直线x=2，那么b的值等于______ ．
12.如果点A(2,y1)和点B(3,y2)是抛物线y=x2+m(m是常数)上的两点，那么y1 ______ y2.(填“>”、“=”、“<”)
13.如图，某人沿着斜坡AB方向往上前进了30米，他的垂直高度上升了15米，那么斜坡AB的坡比i= ______ ．
14.如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点在x轴的正半轴上，那么这条抛物线的表达式可以是______ .(只需写一个)
15.如图，点G为等腰直角三角形ABC的重心，∠ACB=90°，连接CG，如果AC=3 2，那么CG= ______ ．
16.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，那么sin∠BOD的值为______ ．
17.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4.点E在边AD上，将△CDE沿直线CE翻折，点D的对应点为点G，延长DG交边AB于点F，如果BF=1，那么DE的长为______ ．
18.规定：平面上一点到一个图形的距离是指这点与这个图形上各点的距离中最短的距离.如图①，当∠P1MN>90°时，线段P1M的长度是点P1到线段MN的距离；当∠P2GN=90°时，线段P2G的长度是点P2到线段MN的距离；如图②，在△ABC中，∠C=90°，AC=3 5，tanB=2，点D为边AC上一点，AD=2DC，如果点Q为边AB上一点，且点Q到线段DC的距离不超过6 55，设AQ的长为d，那么d的取值范围为______ ．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算： (1−cs30°)2−2sin45°+(cs30°)0+1tan60°− 2．
20.(本小题10分)
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD相交于点O，BC=2AD，OD=1．
(1)求BD的长：
(2)如果AB=a，BC=b，试用a、b表示向量OB．
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC=5，tanC=34，∠BAC的平分线AD交边BC于点D，点E在边AC上，且EC=2AE，BE与AD相交于点F．
(1)求BC的长；
(2)求EF：BF的值．
22.(本小题10分)
北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥.某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取B、C两点，在B处测得浦仓路桥顶部点A的仰角为22°，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至C处，在C处测得点A的仰角为37°，在D处测得地面BD到水面EF的距离DE为1.2米(点B、C、D在一条直线上，BD/​/EF，DE⊥EF，AF⊥EF)，求浦仓路桥顶部A到水面的距离AF.(精确到0.1米)
(参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
23.(本小题12分)
已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，AD与CE相交于点F，CD=CF，AC2=AE⋅AB．
(1)求证：△ABD～△ACF；
(2)如果∠CFD=2∠ACF，求证：AB⋅EF=AD⋅AE．
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1经过点A(1,2)和点B(2,1)，与y轴交于点C．
(1)求a、b的值和点C的坐标；
(2)点P为抛物线上一点(不与点A重合)，当∠PCB=∠ACB时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线CA上，设平移后的抛物线的顶点为点D，当△CDP与△CAP相似时，求平移后的抛物线的表达式．
25.(本小题14分)
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.点D、E分别在边AB、BC上，连接ED，将线段ED绕点E按顺时针方向旋转90°得到线段EF．
(1)如图1，当点E与点C重合，ED⊥AB时，AF与ED相交于点O，求AO：OF的值；
(2)如果AB=5BD(如图2)，当点A、E、F在一条直线上时，求BE的长；
(3)如图3，当DA=DB，CE=2时，连接AF，求∠AFE的正切值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；
B、两个菱形，对应边比值相等，对应角不一定相等，故两菱形不一定相似，故不符合题意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；
D、任意两个两个等腰梯形的对应边的比不一定相等，对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；
故选：C．
根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
本题考查了相似图形，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=5，BC=12，
则AB= 52+122=13，
那么csA=ACAB=513，
故选：C．
由题意求得AB的长度，然后利用锐角三角函数的定义即可求得答案．
本题考查锐角三角函数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3.【答案】B
【解析】解：∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，
∴△AED∽△ABC，
∴∠AED=∠B，DEBC=ADAC=AEAB，S△AEDS△ABC=(DEBC)2，
∴DE⋅AC=BC⋅AD，AD⋅AB=AE⋅AC，
故A、C、D正确，不符合题意；B错误，符合题意；
故选：B．
根据相似三角形的判定与性质判断求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：a+(−a)=0，
故A选项不正确，不符合题意；
如果e是单位向量，那么|e|=1，
故B选项不正确，不符合题意；
如果|a|=|b|，并不能得出a=b−，可能两个向量的方向不相同，
故C选项不正确，不符合题意；
如果a是非零向量，且b=−2a，那么a/​/b，
故D选项正确，符合题意．
故选：D．
根据向量的有关性质判断即可．
本题考查平面向量、向量的模、单位向量、相等向量等知识，熟练掌握基本概念是解答本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵EF//AB，EG//AC，
∴△EFD∽△ABD，△EGD∽△ACD，
∴EFAB=EDAD，EGAC=EDAD，
∴EFAB=EGAC≠ACEG，
故A错误；
∵BFFD=AEED，GCDG=AEED，
∴BFFD=GCDG≠DGGC，
故B错误；
∵DFDB=DEDA，
∴DFDE=DBDA，
∵DB与DC不一定相等，
∴DBDA与DCDA不一定相等，
∴DFDE与DCDA不一定相等，
故C错误；
∵△ACD∽△EGC，
∴ACEG=ADED，
∵AB/​/EF，
∴BDFD=ADED，
∴BDFD=ACEG，
故D正确，
故选：D．
由EF/​/AB，EG//AC，证明△EFD∽△ABD，△EGD∽△ACD，则EFAB=EGAC=EDAD，可判断A错误；根据平行线分线段成比例定理得BFFD=GCDG=AEED，可判断B错误；因为DFDB=DEDA，DFDE=DBDA，而DB与DC不一定相等，可推导出DFDE与DCDA不一定相等，可判断C错误；由相似三角形的性质得ACEG=ADED，由平行线分线段成比例定理得BDFD=ADED，所以BDFD=ACEG，可判断D正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△EFD∽△ABD，△EGD∽△ACD是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由所给函数图象可知，
a<0，b>0，c=1，
则ab<0．
故①②正确．
因为函数图象经过点(−1,0)，
所以a−b+c=0．
故③正确．
由函数图象可知，
抛物线与x轴有两个不同的交点，且抛物线开口向下，
所以当x的取值在两个交点横坐标之间的时候(不包括端点)，函数值大于零．
故④错误．
故选：C．
根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．
本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
7.【答案】13
【解析】解：∵ab=43，
∴a−bb=ab−1=43−1=13，
故答案为：13．
利用比例的性质进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
8.【答案】 5−1
【解析】解：∵线段AB=2，点P是AB的黄金分割点，且AP∴BP= 5−12AB= 5−12×2= 5−1，
故答案为： 5−1．
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
9.【答案】3e
【解析】解：∵向量a与单位向量e方向相同，且|a|=3，
∴a=3e．
故答案为：3e．
根据单位向量与向量同向的定义可得答案．
本题考查平面向量，熟练掌握单位向量以及向量同向的定义是解答本题的关键．
10.【答案】1：9
【解析】解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为1：3，
∴它们的相似比为1：3，
∴它们的面积比为1：9．
故答案为：1：9．
由两个相似三角形对应角平分线的比为1：3，根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比，即可求得它们的相似比，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是注意掌握相似三角形对应角平分线的比等于相似比与相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．
11.【答案】−4
【解析】解：∵y=x2+bx+2，
∴抛物线对称轴为x=−b2×1=−b2，
∴−b2=2，解得b=−4，
故答案为：−4．
由对称轴公式可得到关于b的方程，可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即y=ax2+bx+c的对称轴为x=−b2a．
12.【答案】<
【解析】解：∵y=x2+m，
∴抛物线的对称轴是直线x=0，抛物线的开口向上，
∵0<2<3，
∴y1故答案为：<．
根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x=0，抛物线的开口向上，然后根据二次函数的性质即可判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的图象和性质是解此题的关键．
13.【答案】1： 3
【解析】解：如图，过点B作BC⊥水平面于点C，
∵AB=30米，BC=15米，
∴sinA=BCAB=1530=12，
∴∠A=30°，
∴斜坡AB的坡比i=tan30°= 33，
∴i=1： 3，
故答案为：1： 3．
根据特殊角的三角函数值求出∠A，再根据坡度与坡角的关系计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
14.【答案】y=(x−1)2(答案不唯一)
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点在x轴的正半轴上，
∴抛物线的顶点坐标可为(1,0)，
若a取1，此时抛物线解析式为y=(x−1)2．
故答案为：y=(x−1)2.(答案不唯一)
根据题意设抛物线的顶点坐标可为(1,0)，则利用顶点式得到抛物线解析式为y=(x−1)2，然后把a取一个不为0的实数即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
15.【答案】2
【解析】解：延长CG交AB于K，
∵点G为等腰直角三角形ABC的重心，
∴K是AB的中点，CG=23CK，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴CK⊥AB，∠A=45°，
∴△ACK是等腰直角三角形，
∴CK= 22AC，
∵AC=3 2，
∴CK=3，
∴CG=23×3=2．
故答案为：2．
延长CG交AB于K，由三角形重心的性质，得到K是AB的中点，CG=23CK，由等腰直角三角形的性质得到CK= 22AC=3，即可求出CG=23×3=2．
本题考查重心的性质，等腰直角三角形，关键是由重心的性质得到CG=23CK，由等腰直角三角形的性质求出CK的长，即得到出CG的长．
16.【答案】 55
【解析】解：平移CD到BK，连接MK，则MK⊥AB，
∴∠ABK=∠BOD，
由勾股定理得：MK= 12+12= 2，BK= 12+32= 10，
∴sin∠ABK=MKBK= 2 10= 55，
∴sin∠BOD= 55．
故答案为： 55．
平移CD到BK，连接MK，则MK⊥AB，由平移的性质得到∠ABK=∠BOD，由勾股定理求出MK= 2，BK= 10，由锐角的正弦定义即可求出sin∠ABK的值，于是得到sin∠BOD的值
本题考查平移的性质，解直角三角形，勾股定理，关键是平移CD到BK，得到∠ABK=∠BOD，求出
17.【答案】32
【解析】解：如图所示，CD=AB=3，
由折叠可得，D，G关于CE对称，
∴CE垂直平分DG，
∴∠CDG+∠DCE=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠CDG+∠ADF=90°，
∴∠DCE=∠ADF，
又∵∠A=∠CDE=90°，
∴△ADF∽△DCE，
∴DEAF=DCAD，即DE3−1=34，
解得DE=32．
故答案为：32．
依据∠DCE=∠ADF，∠A=∠CDE=90°，即可判定△ADF∽△DCE；再根据相似三角形的对应边成比例，即可得到DE的长．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是利用相似三角形的对应边成比例．
18.【答案】4−4 55≤d≤6
【解析】解：过点D作CD的垂线，交AB于点E，
∵AC=3 5，AD=2DC，
∴AD=2 5，CD= 5．
又∵∠DEA=∠B，
∴tan∠DEA=tanB=2，
∴ADDE=2，
则DE= 5．
∵ 5<6 55，
∴在点E的右侧存在到线段DC距离等于6 55的点Q．
当Q1M⊥AC且Q1M=6 55时，
∴AMMQ1=2，
则AM=12 55，
由勾股定理得，AQ1=6．
当点Q在点E的左侧，且DQ=6 55时，
过点D作AB的垂线，垂足为N，
由△ADN∽△ABC得，
ADAB=ANAC=DNBC，
∴AN=4，DN=2．
在Rt△DQ2N中，
Q2N= (6 55)2−22=4 55，
∴AQ2=4−4 55．
∴4−4 55≤d≤6．
故答案为：4−4 55≤d≤6．
过点Q作CD边的垂线，当垂线段长为6 55时，求出AQ的长；当点Q靠近点A，且QD等于6 55时，求出AQ的长即可解决问题．
本题考查解直角三角形及勾股定理，理解题中的定义是解题的关键．
19.【答案】解：原式= (1− 32)2−2× 22+1+1 3− 2
=1− 32− 2+1+ 3+ 23−2
=1− 32− 2+1+ 3+ 2
=2+ 32．
【解析】利用特殊锐角的三角函数值，零指数幂计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵AD/​/BC，
∴∠DAO=∠BCO，∠ADO=∠CBO，
∴△AOD∽△COB，
∴ODOB=ADBC=AD2AD=12，
∵OD=1，
∴OB=2，
∴BD=OB+OD=3．
(2)∵BC=b，BC=2AD，
∴AD=12b，
∴DB=AB−AD=a−12b，
由(1)知，OB=23DB，
∴OB=23(a−12b)=23a−13b．
【解析】(1)由题意可得△AOD∽△COB，则ODOB=ADBC=AD2AD=12，即可得OB=2，根据BD=OB+OD可得答案．
(2)由题意得，AD=12b，则DB=AB−AD=a−12b，由(1)知，OB=23DB，进而可得答案．
本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形法则、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵AB=AC，∠BAC的平分线AD交边BC于点D，
∴AD⊥BC，BD=CD=12BC，
∵tanC=ADCD=34，
∴AD=34CD，
在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，AC=5，
∴(34CD)2+CD2=52，
∴CD=4或CD=−4(舍去)，
∴BC=2CD=8；
(2)如图，过点E作EM⊥BC于点M，

∵AD⊥BC，
∴AD/​/EM，
∴AEEC=DMCM，
∵EC=2AE，CD=DM+CM=4，
∴DM=43，
∵AD//EM，
∴EFBF=DMBD=434=13，
故答案为：13．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质求出AD⊥BC，BD=CD=12BC，解直角三角形求出CD=4，据此即可得解；
(2)过点E作EM⊥BC于点M，根据平行线分线段成比例定理求解即可．
此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
22.【答案】解：延长BD交AF于点G，

由题意得：BG⊥AF，DE=GF=1.2米，BC=17米，
设CG=x米，
∴BG=BC+CG=(x+17)米，
在Rt△ACG中，∠ACG=37°，
∴AG=CG⋅tan37°≈0.75x(米)，
在Rt△ABG中，∠ABG=22°，
∴AG=BG⋅tan22°≈0.4(x+17)，
∴0.75x=0.4(x+17)，
解得：x=1367，
∴AG≈0.4x=27235(米)，
∴AF=AG+FG=27235+1.2≈9.0(米)，
∴浦仓路桥顶部A到水面的距离AF约为9.0米．
【解析】延长BD交AF于点G，根据题意可得：BG⊥AF，DE=GF=1.2米，BC=17米，然后设CG=x米，则BG=(x+17)米，分别在Rt△ACG和Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AC2=AE⋅AB，
∴AEAC=ACAB，
∵∠EAC=∠CAB，
∴△EAC∽△CAB，
∴∠ECA=∠B．
∵CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD，
∵∠CDF=∠B+∠BAD，∠CFD=∠ECA+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴△ABD～△ACF；
(2)∵∠CFD=2∠ACF，∠CFD=∠ECA+∠DAC，
∴∠ACE=∠FAC，
由(1)知：∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠ACF，
∵∠AEF=∠CEA，
∴△AEF∽△CEA，
∴AEEF=ACAF．
由(1)知：△ABD～△ACF，
∴ABAD=ACAF，
∴AEEF=ABAD，
∴AB⋅EF=AD⋅AE．
【解析】(1)利用相似三角形的判定定理得到△EAC∽△CAB，则∠ECA=∠B，利用等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠BAD=∠CAD，再利用相似三角形的判定定理解答即可；
(2)利用相似三角形的判定定理得到△AEF∽△CEA，由(1)得：：△ABD～△ACF，利用相似三角形的对应边成比例的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由题意得：
a+b+1=24a+2b+1=1，解得：a=−1b=2，
则抛物线的表达式为：y=−x2+2x+1①，
则点C(0,1)；
(2)由点B、C的坐标知，BC/​/x轴，

由点A、C的坐标知，∠ACB=45°=∠PCB，
则直线CP的表达式为：y=−x+1②，
联立①②得：−x+1=−x2+2x+1，
解得：x=0(舍去)或3，
则点P(3,−2)；
(3)如上图，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=x+1，
故设点D(m,m+1)(m>0)，
由点P、D、C、A的坐标得，PC2=18，AC= 2，CD= 2m，
∵当△CDP与△CAP相似时，
∵∠ACP=∠DCP，∠CPA≠∠CPA，
则∠APC=∠CDP，
∴△CPA∽△CDP，
则CPCD=ACPC，
即PC2=AC⋅CD，
即18= 2⋅ 2m，
解得：m=9，
则点D(9,10)，
则抛物线的表达式为：y=−(x−9)2+10．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)证明∠ACB=45°=∠PCB，则直线CP的表达式为：y=−x+1，即可求解；
(3)当△CDP与△CAP相似时，证明∠APC=∠CDP，得到△CPA∽△CDP，则PC2=AC⋅CD，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质等，有一定的综合性，难度适中．
25.【答案】解：(1)如图1，∵点E与点C重合，ED⊥AB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠B=90°−∠BAC，
∵AC=6，BC=8，
∴ADDC=tan∠ACD=tanB=ACBC=68=34，
由旋转得FC=DC，∠DCF=∠DEF=90°，
∴∠ADC=∠DCF，
∴AD/​/FC，
∴△AOD∽△FOC，
∴AOOF=ADFC=ADDC=34，
∴AO：OF的值为34．
(2)如图2，作DG⊥BC于点G，则∠BGD=∠EGD=90°，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=5BD，
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∴BD=15AB=15×10=2，AC：BC：AB=6：8：10=3：4：5，
∵GDBD=sinB=ACAB=35，BGBD=csB=BCAB=45，
∴GD=35BD=35×2=65，BG=45BD=45×2=85，
∴CG=BC−BG=8−85=325，
∴EG=BE−BG=BE−85，CE=BC−BE=8−BE，
∵点A、E、F在一条直线上，∠DEF=90°，
∴∠AED=90°，
∴∠DEG=∠EAC=90°−∠AEC，
∴GDEG=tan∠DEG=tan∠EAC=CEAC，
∴EG⋅CE=GD⋅AC=65×6=365，
∴(BE−85)(8−BE)=365，
整理得5BE2−48BE+100=0，
解得BE=24−2 195或BE=24+2 195，
∴BE的长是24−2 195或24+2 195．
(3)如图3，作DH⊥BC于点H，AL⊥FE交FE的延长线于点L，FL交AC于点K，
∴∠BHD=∠EHD=∠L=90°，
∴HDDB=sinB=35，BHDB=csB=45，
∵DA=DB=12AB=12×10=5，CE=2，
∴HD=35DB=35×5=3，BH=45DB=45×5=4，
∴HE=BC−CE−BH=8−2−4=2，FE=DE= HE2+HD2= 22+32= 13，
∵∠DEK=∠DEF=90°，
∴∠CEK=∠HDE=90°−∠DEH，
∴CKCE=tan∠CEK=tan∠HDE=HEHD=23，
∴CK=23CE=23×2=43，
∴AK=AC−CK=6−43=143，EK= CK2+CE2= (43)2+22=2 133，
∵∠AKL=∠EKC，
∴∠LAK=90°−∠AKL=90°−∠EKC=∠CEK=∠HDE，
∴LKAK=sin∠LAK=sin∠HDE=HEDE=2 13=2 1313，ALAK=cs∠LAK=cs∠HDE=HDDE=3 13=3 1313，
∴LK=2 1313AK=2 1313×143=28 1339，AL=3 1313AK=3 1313×143=14 1313，
∴FL=FE+EK+LK= 13+2 133+28 1339=31 1313，
∴tan∠AFE=ALFL=14 131331 1313=1431，
∴∠AFE的正切值为1431．
【解析】(1)因为点E与点C重合，ED⊥AB，所以CD⊥AB，则∠ADC=∠ACB=90°，所以∠ACD=∠B=90°−∠BAC，则ADDC=tanB=34，由旋转得FC=DC，∠DCF=∠DEF=90°，则AD/​/FC，所以△AOD∽△FOC，则AOOF=ADFC=ADDC=34；
(2)作DG⊥BC于点G，由∠ACB=90°，AC=6，BC=8，求得AB= AC2+BC2=10，则BD=15AB=2，可求得GD=35BD=65，BG=45BD=85，则CG=BC−BG=325，所以EG=BE−85，CE=8−BE，而∠AED=90°，则∠DEG=∠EAC=90°−∠AEC，可证明GDEG=CEAC，则EG⋅CE=GD⋅AC=365，于是得(BE−85)(8−BE)=365，即可求得BE=24−2 195或BE=24+2 195；
(3)作DH⊥BC于点H，AL⊥FE交FE的延长线于点L，FL交AC于点K，则HDDB=sinB=35，BHDB=csB=45，而DA=DB=12AB=5，CE=2，所以HD=35DB=3，BH=45DB=4，HE=BC−CE−BH=2，FE=DE= HE2+HD2= 13，再证明∠CEK=∠HDE，则CKCE=tan∠CEK=tan∠HDE=23，可求得CK=23CE=43，则AK=AC−CK=143，EK= CK2+CE2=2 133，再证明∠LAK=∠HDE，则LKAK=sin∠LAK=sin∠HDE=HEDE=2 1313，ALAK=cs∠LAK=cs∠HDE=HDDE=3 1313，求得LK=2 1313AK=28 1339，AL=3 1313AK=14 1313，则FL=FE+EK+LK=31 1313，所以tan∠AFE=ALFL=1431．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．