湖南省邵阳市重点高中2025-2026学年高二下学期3月入学考试试卷 数学（含解析）

这是一份湖南省邵阳市重点高中2025-2026学年高二下学期3月入学考试试卷 数学（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A．B．0C．1D．3
2．抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A．B．C．D．1
3．如图，已知正三棱柱的棱长均为，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．
C．D．
4．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．和D．
5．求以抛物线的焦点为圆心，到直线的距离为半径的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
7．把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ）
A．10种B．种C．种D．45种
8．若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列导数计算正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．数列的公差小于0B．中最大
C．数列的公差与数列的公差相等D．使得的正整数n的最小值为24
11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．
B．的零点个数为3
C．的极值点个数为3
D．若方程有三个实数根，则的取值范围是
三、填空题
12．已知椭圆的一条弦过点，且弦的中点坐标为，则椭圆的离心率__________.
13．某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有__________种排法（数字作答）.
14．已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________.
四、解答题
15．已知函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)当时，求的最值.
16．记为数列的前项和，为数列的前项积．已知.
（1）证明：数列为等差数列.
（2）求数列的通项公式.
17．如图，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成的角为.
（1）求证：平面平面BDE；
（2）求二面角B-EF-D的余弦值.
18．已知椭圆E：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆E上在第一象限内的一个动点，且的周长为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线，分别交椭圆E于点A，B，M是线段AB的中点．
（ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值；
（ⅱ）若分别记OP，AB的斜率为，，求的最大值．
19．已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若函数有两个零点，记作，.
（ⅰ）求参数的取值范围；
（ⅱ）若，证明：.
参考答案
1．A
【详解】由于 ，则 ，
所以，
解得 .
故选：A
2．C
【详解】由抛物线，得，
则，得，
得抛物线的焦点到其准线的距离为，
故选：C
3．C
【详解】以的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正三棱柱的棱长均为，
可得，
所以，可得，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故选：C.
4．B
【详解】因为函数的导函数为，
令，即得，
所以函数的单调递增区间是.
故选：B.
5．A
【详解】由题知抛物线的焦点坐标为，
所以到直线的距离为,
所以，所求圆的圆心为，半径为，
所以圆的标准方程为.
故选：A
6．A
【详解】若成立，则，符合等差数列的定义，
所以能够推出数列是等差数列，故充分性成立.
若数列是等差数列,设其公差为，则,.
.
所以,
所以.即必要性成立.
所以甲是乙的充分必要条件.
故选：A.
7．B
【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球，
问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种.
故选：B.
8．C
【详解】任意的，都有，
则有在上恒成立，
令，函数定义域为，
，令，解得，
时，，在上单调递减；
时，，在上单调递增，
，
因此存在，使，
令，，令，解得，
时，在上单调递增；
时，在上单调递减，
有，
所以时，的最大值为.
故选：C
9．ACD
【详解】对于A选项，由，故A选项正确；
对于B选项，，故B选项错误；
对于C选项，，故C选项正确；
对于D选项，由，故D选项正确.
故选：ACD.
10．AB
【详解】对于A选项，由，可得，
可得数列的公差d小于0，故A选项正确；
对于B选项，由,可得中最大，故B选项正确；
对于C选项，由，可得数列的公差为，故C选项错误；
对于D选项，由，，
可得使得