湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高一下学期入学考试 数学试题（含解析）

这是一份湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高一下学期入学考试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了 若集合，，则， 已知命题， 已知为锐角，，则， 已知为偶函数，则实数的值为， 已知函数，， 下列说法不正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合交集运算求解即可.
【详解】由集合交集运算可得.
故选：C.
2. 已知命题：，，则为（ ）.
A. ，B. ，
C. ，或D. ，或
【答案】D
【解析】
【分析】利用全称命题否定求解即可.
【详解】由全称命题的否定是特称命题知：
原命题的否定为，或.
故选：D
3. 定义在R上奇函数，，当时函数单调递增，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意画出的图象，数形结合，求得的解集．
【详解】由题意可得，(1)，在上单调递增，的图象如图所示：
再根据，可得与异号，①，或②．
由①可得x∈，由②可得，故的范围是：．
故选：D．
4. 已知，则“”是“点在第一象限内”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】结合三角函数的想先符号判断即可.
【详解】若，则在第一或三象限，
则或，则点在第一或三象限，
若点在第一象限，
则，则.
故“”是“点在第一象限内”的必要不充分条件.
故选：B
5. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s) 可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数，当一条鲑鱼以2m/s的速度游动时，它的耗氧量的单位数为（ ）
A. 8100B. 8000C. 1000D. 1100
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数模型，将代入解析式，把对数式等价转化为指数式，即可解得的值.
【详解】由题意，，则，即，所以.
故选：A.
6. 已知为锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出的范围，再由平方关系求出，然后利用诱导公式、正弦的二倍角公式计算可得答案.
【详解】因为为锐角，所以，，
因为，所以，
所以，
所以
.
故选：D.
7. 已知为偶函数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用偶函数的定义化简，推理计算即得.
【详解】因为偶函数，
则
，
又因不恒为0 ，故，解得.
故选：A.
8. 已知函数，（ 且，），则的单调性（ ）
A. 与无关，与有关B. 与有关，与无关
C. 与有关，与有关D. 与无关，与无关
【答案】D
【解析】
【分析】根据单调性定义判断即可
【详解】设,则
当时,又因 可得,,所以,
即得,所以是单调递增的.
当时,又因 可得,,所以,
即得,所以是单调递增的.
所以的单调性与无关，与无关.
故选:.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法不正确的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 若，则的最大值为
C. 若不等式的解集为，则
D. 命题“，使得．”的否定为“，使得．”
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断A，消元，根据二次函数性质判断B，根据一元二次不等式的解集与二次方程的关系求的关系，由此判断的正负，判断C，根据含量词的命题的否定方法判断D.
【详解】对于A，取，，则，但，
取，，则，但，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，A错误；
对于B，因为，所以，
所以的最大值为，B错误；
因为不等式的解集为，
所以，且为方程的根，
所以，，
所以，，
所以，C正确；
命题“，使得．”的否定为“，使得．”D错误；
故选：ABD.
10. 若关于的方程在区间上有两个不等的实根，则的可能取值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】BC
【解析】
【分析】解法一：换元转化为一元二次方程，分参采用数形结合即可得到答案.
解法二：换元转化为一元二次方程，找到对应的二次函数，再利用，即可得到答案.
【详解】解法1：令，则方程变为，于是，由得，由关于的方程在区间上有两个不等的实根知关于的方程在区间上有两个不等的实根，即直线与函数的图象有两个不同的交点，
，当且仅当，取得最小值为
结合图象知，
故选：BC．
解法2：令，则方程变为，由得，由关于的方程在区间上有两个不等的实根知关于的方程在区间上有两个不等的实根，记，则解得，
故选：BC．
11. 已知函数的两个相邻零点间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数在区间上单调递减
C.
D. 函数在区间内的零点个数为3
【答案】CD
【解析】
【分析】根据函数两个相邻零点间的距离为可得周期，即可知，进而得函数的解析式，利用整体代换可判断A、B；根据图象平移可得函数的解析式，进而判断C、D.
【详解】由题意，函数的周期，则，故，
对于A，令，，解得，，
所以函数的图象关于直线，对称，
令，，解得，故A错误；
对于B，由，，解得，，
所以函数的单调递减区间为，，故B错误；
对于C，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，故C正确；
对于D，令，，得，，
所以函数在区间内的零点有，，，共3个，故D正确．
故选：CD．
三､（本题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 若正实数a，b满足，则的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】由基本不等式得到，将代入，求出最小值.
【详解】因为，由基本不等式得，
即，解得，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
13. 化简：______.
【答案】
【解析】
【分析】根据同角三角函数基本关系，利用立方差公式与平方差公式，即可求出结果.
【详解】原式
故答案为
【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.
14. 已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】画出函数图像，根据图像结合函数性质确定，，，变换，根据函数的单调性计算最值即可.
【详解】画出函数的图象，如图所示：
方程有四个不同的解，，，，且，
由时，，则与的中点横坐标为，即：，
当时，由于在上是减函数，在上是增函数，
又因为，，则，有，
，又，，
在上递增，故取值范围是．
故答案为：.
四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知正实数.
（1）若，求的最小值及相应a，b的值；
（2）若，求的最小值及相应a，b的值.
【答案】（1），，
（2）9，
【解析】
【分析】应用基本不等式结合条件求解即可.
【小问1详解】
，
当且仅当时取得最小值，此时
【小问2详解】
由，得，解得
解得
当且仅当时取得最小值，此时
16. 如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米．
（1）若，米，求该扇形环面展台的周长；
（2）若该扇形环面展台周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用．
【答案】（1）米
（2）元
【解析】
【分析】（1）利用弧长计算公式计算即可；
（2）设，米，利用扇形环面的展台周长，表示出与的关系，代入面积公式求出扇形环面展台的面积，最后计算可得.
【小问1详解】
弧的长度，弧的长度，
所以扇形环面展台周长为：米；
【小问2详解】
设，米，
则弧的长度，弧的长度，
因为该扇形环面的周长为米，所以，即，
整理得，
则该扇形环面展台的面积：平方米，
所以布置该扇形环面展台总费用为：元.
17. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为.若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)和；(2)或.
【解析】
【详解】分析：（1）整理函数的解析式可得 ，结合正弦函数的性质可知单调递增区间为，又，故的单调递增区间为和.
（2）由题意可知，由函数的定义域可知的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令，则，原问题等价于在上仅有一个实根.据此讨论可得或.
详解：（1）∵


，
令，
得，
又因为，
所以的单调递增区间为和.
（2）将的图象向左平移个单位后，得，
又因为，则，
的函数值从0递增到1，又从1递减回0.
令，则，
依题意得在上仅有一个实根.
令，因为，
则需或，
解得或.
点睛：本题主要考查三角函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18. 某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．
（1）求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；
（2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
（3）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，求当H取得最大值时t的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式；
（2）由（1）中的解析式，结合正弦函数的性质计算可得；
（3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解；
【小问1详解】
设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为
则，
∴，
依题意，∴，
当时，∴，
∴．
【小问2详解】
令，即，
∴，
∵，∴，
∴或，
解得或，
∴或时，1号座舱与地面的距离为17米．
【小问3详解】
依题意，
∴
令，解得，
所以当时，H取得最大值
19. 已知函数偶函数.
（1）求实数的值；
（2）设函数.
（i）若在上有且仅有个零点，求实数的取值范围；
（ii）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）（i）；（ii）.
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的性质得恒成立，求参数即可；
（2）（i）由题设，令，问题化为在有且仅有一个根，利用对勾函数单调性求右侧范围，即可得参数范围；
（ii）利用换元法及对勾函数性质得，且是值域的子集，结合换元及二次函数性质，列不等式组求参数范围.
【小问1详解】
因为是偶函数，所以，
即，
即，
即恒成立，
所以，得.
【小问2详解】
（i）由（1）知，
所以.
令，由，得.
因为函数在上有且仅有个零点，
所以在上有且仅有个零点.
即在有且仅有一个根，
对于，若，则，
又，即，故在上递减，
所以，即，则.
所以实数取值范围是.
（ii），令，
由，得，函数在上单调递增，所以，
即.
设函数的值域为，依题意得.
由（i）知，令，得.
当，即时，函数在上单调递增，
则，即，解得；
当，即时，
函数在最大值为和中的较大者，
而，不合题意；
当，即时，函数在上单调递减，
则，即，不等式组无解.
综上知，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：第三问，利用函数不等式恒、能成立确定函数值域之间的包含关系，通过包含关系求参数范围.