安徽省桐城中学2023-2024学年高一下学期开学检测数学试卷(含答案)

这是一份安徽省桐城中学2023-2024学年高一下学期开学检测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设集合,则集合中元素的个数是( )
A.1B.3C.5D.9
2．已知实数集A满足条件:若,则,则集合A中所有元素的乘积为( )
A.1B.-1C.D.与a的取值有关
3．已知,则等于( )
A.B.C.D.
4．设函数,则是( )
A.奇函数,且在上是增函数B.奇函数,且在上是减函数
C.偶函数,且在上是增函数D.偶函数,且在上是减函数
5．已知是定义域为的奇函数,满足.若,则( )
A.-50B.0C.2D.50
6．定义在上的函数满足,对任意的,,,恒有,则关于x的不等式的解集为( )
A.B.C.D.
7．设,,若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．对于定义在R上的函数,若存在正常数a、b,使得对一切均成立,则称是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①;②;③;④.
是“控制增长函数”的有_______个( )
A.1B.2C.3D.4
二、多项选择题
9．已知正数x,y,z满足,则下列说法中正确的是( )
A.B.C.D.
10．若“,使得成立”是假命题,则实数可能的值是( )
A.1B.C.3D.
11．衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村,也是重要的研学基地,村口的大水车,是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示）,水轮中心O距离水面2米,水轮每60秒按逆时针转动一圈,如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时,则( )
A.点P第一次达到最高点,需要20秒
B.当水轮转动155秒时,点P距离水面2米
C.在水轮转动的一圈内,有15秒的时间,点P距水面超过2米
D.点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为
12．已知函数,．若实数a,b（a,b均大于1）满足,则下列说法正确的是( )
A.函数在R上单调递减B.函数的图像关于中心对称
C.D.
三、填空题
13．若函数的定义域为,则函数的定义域为______________.
14．已知,,且在区间上有最小值,无最大值,则_____________.
15．已知实数a,b,c满足,则的最大值为____________.
16．已知函数,当时,设的最大值为,则的最小值为__________．
四、解答题
17．已知全集,集合,集合.
（1）若,求和B;
（2）若,求实数a的取值范围.
18．回答下列问题.
（1）已知函数,求函数的值域.
（2）已知函数,,求函数的值域.
19．回答下列问题
（1）已知x,,求的最大值.
（2）已知,且,求a的最大值.
20．已知函数.
（1）求函数的单调递增区间;
（2）若函数,且,求函数在区间上的取值范围.
21．定义在上的函数满足对任意的x,,都有,且当时,．
（1）求证：函数是奇函数;
（2）求证：在上是减函数;
（3）若,对任意,恒成立,求实数t的取值范围．
22．已知函数,a为常数且．若满足,但,则称为函数的二阶周期点,如果有两个二阶周期点,,,试确定a的取值范围．
参考答案
1．答案：C
解析：,,
当,y分别取0,1,2时,的值分别为0,-1,-2;
当,y分别取0,1,2时,的值分别为1,0,-1;
当,y分别取0,1,2时,的值分别为2,1,0;
,
集合中元素的个数是5个．
故选：C．
2．答案：A
解析：由题意,若,,
,
,
,
综上,集合.
所以集合A中所有元素的乘积为.
故选：A.
3．答案：D
解析：因为,解得或,
又
,
当时;
当时;
综上可得.
故选：D.
4．答案：A
解析：由题意得,函数的定义域为,解得,
又,所以函数的奇函数,
由,令,又由,
则,即,
所以函数为单调递增函数,根据复合函数的单调性可知函数在上增函数,
故选：A.
5．答案：C
解析：因为是定义域为的奇函数,且,
所以,,,
因此,
因为,,所以,
,从而,
选：C.
6．答案：B
解析：设,
因为对任意的,,,恒有,
所以函数在上为增函数,则在上为增函数,
又,而,所以,
所以为奇函数,
综上,为奇函数,且在上为增函数,
所以不等式等价于,
即,亦即,
可得,解得.
故选：B．
7．答案：D
解析：设的解集为A,所以或,
设的解集为B,
所以,
由题知p是q的必要不充分条件,
即得B是A的真子集,
所以有或
综合得,
故选：D.
8．答案：C
解析：对于①,可化为,
即对一切恒成立,
由函数的定义域为R可知,不存在满足条件的正常数a、b,
所以,函数不是“控制增长函数”;
对于②,若函数为“控制增长函数”,
则可化为,
对一切恒成立,
又,若成立,则,显然,当时,不等式恒成立,所以,函数为“控制增长函数”;
对于③,, ,
当且a为任意正实数时,恒成立,
所以,函数是“控制增长函数”;
对于④,若函数是“控制增长函数”,则恒成立,
,若,即,
所以,函数“控制增长函数”.
因此,是“控制增长函数”的序号是②③④.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：正数x,y,z满足,设,
则,,．
对于A,,故A正确;
对于B,,,,
, ,
, ,,故B错误;
对于C,由,两边平方,可得,故C正确;
对于D,由,可得,故D正确．
故选：ACD.
10．答案：AB
解析：由题意可知,命题“,成立”,
所以,,可得,
当时,由基本不等式可得,
当且仅当时,等号成立,所以,.
故选：AB.
11．答案：ABD
解析：如图所示,过点O作水面于点C,作OA平行于水面交圆于点A,
过点P作于点B,则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈,
故转动的角速度为（）,且点P从水中浮现时（图中）开始计时,t（秒）后,
可知,又水轮半径为4米,水轮中心O距离水面2米,即m,,
所以,所以,因为,所以,
故,D选项正确;
点P第一次达到最高点,此时,令,解得：,A正确;
令,解得：,,当时,,B选项正确;
,令,解得：,故有30s的时间点P距水面超过2米,C选项错误;
故答案为：ABD.
12．答案：BD
解析：对于A,,
R上恒成立,
定义域为R,即的定义域关于原点对称,
,
为奇函数,
函数的图像关于点中心对称,
,,在上单调递增,
函数在上单调递增,
函数在R上单调递增,故A错误;
对于B,,
,
函数的图像关于点中心对称,故B正确;
对于C,函数的图像关于点中心对称,
,,
,,
相当于向右平移1个单位,
和单调性相同,
函数在R上单调递增,,,
,故C错误;
对于D,令,,
令,则
在上单调递增,
,
,
在上单调递减,
,,,故D正确．
故选：BD.
13．答案：
解析：当时,所以,
所以,即,则,
即,解得,
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．答案：
解析：依题意,当时,y有最小值,即,
则,所以.
因为在区间上有最小值,无最大值,所以,
即,令,得.
故答案为：.
15．答案：
解析：设,因为,
所以,
令,解得或（舍去）,
因此,即,当且时取等号,
故的最大值为.
故答案为：.
16．答案：
解析：设,则,
由于,,
则,,
所以将以上三式两边相加可得,
即,
应填答案：．
17．答案：（1）或;;
（2）.
解析：（1）若,则集合,
或,
若,则集合,
（2）因为,所以,
①当时,,解,
②当时,即时,,
又由（1）可知集合,
,解得,且,
综上所求,实数a的取值范围为：．
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）,
令,
因为,所以,所以,
所以,且,
令,,
显然在上单调递减,又,,
所以函数在的值域为.
（2）由,则,,
所以,
因为,所以,
所以函数在上的值域为.
19．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由题意,令,解得,,
则,
当且仅当时,即时,等号成立,
所以的最大值为.
（2）由题意,令,可得,
因为,可得,即,
又由柯西不等式,可得,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,
所以,解得,所以实数a的最大值为.
20．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由题意可得,
所以,
,
,解得,
所以函数的单调递增区间为;
（2）由题意及（1）可知,
因为,,
又,且,所以,,则,
则,,
所以,所以,
则,即在区间上的取值范围为.
21．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）.
解析：（1）令,,得,所以．令,
得,即,所以函数是奇函数．
（2）设,则,所以．
因为,,,所以,即,所以．
又,所以,所以,
所以,即．所以在上是减函数．
（3）由（2）知函数在上是减函数,
所以当时,函数的最大值为,
所以对任意,恒成立等价于对任意恒成立,即对任意恒成立．
设,是关于a的一次函数,,
要使对任意恒成立,
所以,即,解得或,
所以实数t的取值范围是．
22．答案：
解析：
当时,
由可解得,而,故不是二阶周期点,
所以不合题意．
当时,
由得解集为,而当时,恒成立,故不合题意．
当时,
由解得或或或
又,
所以恰有两个二阶周期点．
综上,a的取值范围是.