2026年九年级中考数学一轮复习第01讲 一次方程（组）及其应用（课件）

这是一份2026年九年级中考数学一轮复习第01讲 一次方程（组）及其应用（课件），共261页。PPT课件主要包含了大考点，大重难突破，考情剖析•命题前瞻，知识导航•网络构建，方程的解，考点四实数的分类，二元一次方程组的解法，等式的基本性质，一元一次方程的解，检查分母步骤等内容，欢迎下载使用。
6大中考命题点 37题型探究
考点一 一元一次方程的解求参数
1.一元一次方程的定义：
只含有一个未知数（元），且未知数的 次数是1（最高次项为一次项），等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程；
使一元一次方程等号两边相等的未知数的值，叫做方程的解；
考点二 解一元一次方程
一元一次方程的解法（核心技能）
2．（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ．
考点三 一元一次方程的实际应用
1. 列方程解应用题的一般步骤审：审题，找出已知量、未知量及等量关系；设：设未知数（直接设：问什么设什么；间接设：设与所求量相关的量）；列：根据等量关系列出一元一次方程；解：解所列方程，求出未知数的值；验：检验解是否符合实际意义；答：写出答案（带单位）。
2.常见的应用题型和等量关系
设买鸡的人数为"x"，根据两种不同出钱方式下鸡的价钱不变这一关系，分别表示出两种情况下鸡的价钱，建立方程求解即可． 本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系（鸡的价钱不变 ）建立方程求解是解题的关键．
1．（2025·四川德阳·中考真题）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（   ）A．5B．7C．8D．9
本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题 两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可.
3．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（    ）A．350元B．320元 C．270元 D．220元
4．（2025·重庆·中考真题）列方程解下列问题：某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．
2.二元一次方程组定义：
1.二元一次方程的定义：
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，等号两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。
二元一次方程有无数组解，一组解是指一对未知数的值
由两个或两个以上的二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。
二元一次方程组通常只有一组解，特殊情况下无解或有无数组解。
3.二元一次方程组的解：
使二元一次方程组中所有方程左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解．
考点五 解二元一次方程组
核心思路：消元（将二元转化为一元一次方程求解），常用方法有两种。
本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．
考点六 二元一次方程（组）实际应用
1.列方程组解应用题的一般步骤①审：审题，找出已知量、未知量，确定两个等量关系；②设：设两个未知数（直接设或间接设）；③列：根据两个等量关系列出二元一次方程组；④解：解方程组，求出未知数的值；⑤验：检验解是否符合实际意义⑥答：写出答案（带单位）
2.常见应用题及其等量关系
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（   ）A．3种B．4种C．5种D．6种
3．（2025·吉林·中考真题）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数．
本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据“游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元”建立方程组求解即可．
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．
利用等式的基本性质判断选项是否正确一般方法1.明确原等式：确定题目给出的原始等式（如a=b）；2.分析选项的变形操作：看选项是对原等式两边进行了加、减、乘、除中的哪种操作，以及操作的对象是什么；3.对照性质逐一判断加减变形：重点看两边是否加 / 减了同一个对象（数或整式），若是则正确；若两边加/减的不是同一个对象，则错误。乘除变形乘法：看两边是否乘了同一个数，若是则正确（无特殊限制）。除法：两个关键点——①两边除以的是同一个对象；②这个对象不能为0。
本题考查等式的性质，解题的关键是掌握：等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，结果仍相等．据此依次对各选项进行分析即可．
本题考查了等式的性质，分式的意义，乘方，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据等式的性质，分式的意义，乘方，二次根式的性质解答即可．
天平问题的本质是等式的直观模型：天平平衡代表等式成立，天平两边的物体质量对应等式两边的代数式或数值。解题的核心是将天平的操作转化为等式的变形，严格遵循等式的两条基本性质
【典例】（2025·甘肃庆阳·三模）用“ ”“△”“○”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c（a，b，c均为正数），现用天平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为（    ）
考查了等式的性质的应用．性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，根据图1列出等式，然后由等式的性质参照图2进行答题．
【变式1】（2025·贵州毕节·一模）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（    ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
本题考查了等式的性质，代数式的求值．设□表示的数为a，△表示的数为b，◯表示的数为c，由图①可知，a+2b=3c，由图②中，可得2a+4b=2(a+2b)=6c，即可解答．
本题考查了不等式的性质，等式的性质，实数的性质，根据已知等式，代入各选项逐项分析判断，即可求解．
解一元一次方程的一般步骤
本题主要考查了解分式方程，解一元一次方程，熟知相关计算方法是解题的关键．（1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；（2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．（1）通过移项，合并同类项，一次项系数化为1等步骤解答即可；（2）通过去分母，一次项系数化为1的步骤解答即可；（3）通过移项，合并同类项，一次项系数化为1等步骤解答即可．
【变式3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）解方程．
“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”
逐一检查每一步的变形是否符号规则
*确定是否给方程的每一项都乘了分母的最小公倍数，重点排查不含分母的常数项或参数项，是否存在漏乘情况
*若分子是多项式，检查去分母后是否给分子加了括号，避免因省略括号导致符号或乘法分配律应用错误。
2.去括号步骤检查括号前是负号时，检查括号内的每一项是否都变号，避免只变第一项、漏变后面项的情况。检查是否应用乘法分配律时漏乘括号内的项，尤其是系数为负数或分数的情况。3.检查移项步骤重点看移项的项是否都变号，未移项的项是否保持不变，避免“移项不变号”或“没移项却变号”的错误
【典例】（2025·河北·模拟预测）复习课上，老师展示了两道解方程的题目，如表所示：
(1)分别写出习题1和习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的；(2)从以上两道习题中任选一题，写出解答过程．
（1）解：习题1去分母时常数项没有乘以分母的最小公倍数，即从第一步开始出现错误；习题2常数项判断错误，即从第二步开始出现错误；
(1)你认为小丁的解法 ， 小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”）(2)请写出你的解答过程．
①小星同学的解答过程从第_______步开始出错；②请写出你认为正确的解答过程．
【变式1】（2025·河北廊坊·二模）如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数．
本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，有理数的四则混合计算，正确理解流程图是解题的关键．（1）仿照题意计算求解即可；（2）根据题意可得方程 (-3)x+(-2)=7，解方程求出x的值，进而求出n的值即可；（3）分别用含x的式子表示出m、n，再根据题意建立不等式求解即可．
一元一次方程的实际应用
配套问题的本质是比例关系，例如1个螺栓配2个螺母→螺栓数量：螺母数量=1:2→螺母数量=2×螺栓数量1张桌子配4把椅子→桌子数量：椅子数量=1:4→椅子数量=4×桌子数量m个A配n个B→A数量：B数量=m：n→n×A数量=m×B数量（交叉相乘，消去比例）
本题考查了利用一元一次方程解决配套问题，解题关键是找准等量关系．先设应该安排x台机器人生产上衣， 根据“为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子）”列出方程求解．
本题考查一元一次方程的应用——配套问题，根据套数相等建立方程是解题的关键． 设分配?名工人生产镜架，用含?的代数式表示镜架和镜片的数量，根据套数相等建立方程，求解即可．
【变式2】（2025·陕西西安·三模）太阳镜，也称遮阳镜，在光线较强的地方佩戴太阳镜可以减轻强光对眼睛的刺激．一个太阳镜由两个镜片和一个镜架组成．某工厂现共有36名工人，平均每人每天生产70个镜架或100个镜片．应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？
一元一次方程实际应用工程问题解题思路1.审题：明确工程的完成方式（单独做、合作做、分阶段做），找出已知的工作时间、工作量等条件。2.设未知数若求完成时间：设总时间为x（或某阶段时间为x）若求工作效率/人数：设未知效率或人数为x3.表示效率与工作量：根据已知条件，用含x的式子表示各主体的工作效率、工作时间、工作量等条件
一元一次方程实际应用工程问题解题思路4.列方程：根据以下等量关系列方程单独做：效率×时间=1（总工作量）；合作做：合作效率×合作时间=1；分阶段做：第一阶段工作量+第二阶段工作量=1分工做：甲工作量+乙工作量=15.解方程：求出未知数的值，注意步骤规范（去分母、移项等避免错误点）。6.检验+作答：检验解是否符合实际意义（时间、效率为正数），再回答题目问题。
本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了?h，爸爸打扫了(?−?)h，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可．
本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． 设原计划每月改造的楼层数为x层，根据平均每月实际改造的楼层数比原计划的2倍少2层，结果比原计划提前2个月完成任务，列出方程
【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）某工程队对一老旧小区进行改造，计划8个月完成任务，为了尽量减少施工对居民生活的影响，工程队加快施工进度，平均每月实际改造的楼层数比原计划的2倍少2层，结果比原计划提前2个月完成任务，求原计划每月改造的楼层数．
【变式3】（2025·陕西咸阳·二模）人工智能已经成为当今社会发展的重要驱动力，合理使用人工智能可以大幅度提升工作效率．一家公司开发了甲、乙两款AI模型．为了提高效率，实验中学同时使用这两款模型处理一批数据，甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．已知乙模型每小时处理的数据比甲模型少15GB．甲模型和乙模型每小时分别处理多少GB的数据？
1.基本术语盈：分配后有剩余（多出来的数量）；亏：分配后不够分（缺少的数量）；恰好分完：既没有剩余，也没有不足。2.核心不变量无论采用哪种分配方案，物品总数和分配对象的数量是固定的，这是列方程的关键依据。
3.通用等量关系方案1的物品总数=方案2的物品总数推导公式：若每人分m个，盈a个→物品总数=m×人数+a若每人分n个，亏b个→物品总数=n×人数-b
(1)出售一份套装可获得的利润是______元；
【变式2】（2025·北京·三模）我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．
(2)为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少分别定制小熊和钥匙扣各多少个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）？
(1)出售一份套装可获得的利润是______元；(2)为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少分别定制小熊和钥匙扣各多少个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）？
通过设未知数表示各类场次，进而列方程求解。1.审题：提取关键信息－总场次、总积分、各场次的得分标准（胜/负/平的分值），明确题目所求（胜场数、负场数等）2.舍未知数：若只有胜负两种场次，直接设胜场数为x，则负场数=总场次-x若有胜负平三种场次，通常设胜场数为x，平场数为y，但是一元一次方程题型中会给出平常数（或负场数）的相关条件，转化为单一未知数。
3.表示积分：用含x的式子分别表示胜场积分、负场积分（平场积分）4.列方程：根据“总积分=各场次积分之和”建立一元一次方程5.解方程：求出未知数的值，注意场次必须是非负整数（0或正整数）6.检查作答：检验解是否为非负整数，是否符合总场次限制；回答题目所求的场次或积分问题
比赛积分问题的核心是明确比赛规则（胜负平的得分标准、总场次），抓住两个关键等量关系：
总场次 = 胜场数 + 负场数 + 平场数总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分
【典例】（2023·河北·中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．(1)求珍珍第一局的得分；(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．设她答对了?道题，则她答错或不答一题为(??−?)道，根据题意??−?(??−?)=??，解得?=??，即可得到答案．
【变式3】（2025·河北邯郸·一模）某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分．(1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数；(2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数．
【典例】（2025·河北邯郸·三模）今年冬季，为了让学生们更好地体验冰雪快乐，某学校新开设了滑冰选修活动课，现需要购买一批滑冰鞋，已知两家商场A，B分别推出了自己的优惠方案：A商场：每双滑冰鞋标价为120元，若购买超过20双，超过部分按每双标价的八折出售；B商场：每双滑冰鞋标价为120元，若购买超过15双，超过部分按每双标价的九折出售，然后每双再优惠10元．若用字母x表示购买滑冰鞋的数量，字母y表示购买的总价，其函数图象如图所示．
【典例】（2025·河北邯郸·三模）A商场：每双滑冰鞋标价为120元，若购买超过20双，超过部分按每双标价的八折出售；B商场：每双滑冰鞋标价为120元，若购买超过15双，超过部分按每双标价的九折出售，然后每双再优惠10元．若用字母x表示购买滑冰鞋的数量，字母y表示购买的总价，其函数图象如图所示．
(1)分别写出选择购买A，B两家商场滑冰鞋的总价y与数量x之间的函数关系式；
∴点M表示的实际意义为当买75双滑冰鞋时，在A，B两家商场所付的钱数相同，均为7680元．
(3)根据图象直接写出选择哪家商场更划算．
(2)假如你是该茶具加工厂的负责人，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
【变式2】（2025·河南周口·一模）我国古代文房四宝（笔、墨、纸、砚）是文人墨客必备的文具．某文房阁直接从作坊购进毛笔、砚台两款文具进行销售，进货价和销售价如下表：
(1)该文房阁第一次用1300元购进毛笔、砚台两款文具共40件，求两款文具分别购进的件数；(2)第一次购进的两款文具售完后，该文房阁计划最多用5600元再次购进毛笔、砚台两款文具共150件，该文房阁应如何设计进货方案，才能使第二次所购毛笔、砚台全部销售完后能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？
(2)第一次购进的两款文具售完后，该文房阁计划最多用5600元再次购进毛笔、砚台两款文具共150件，该文房阁应如何设计进货方案，才能使第二次所购毛笔、砚台全部销售完后能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？
答：应该购进毛笔40件，购进砚台110件，才能获得最大利润，最大利润为2800元．
【典例】（2024·四川攀枝花·中考真题）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则a的值为 ．
本题考查有理数的加法，方程的应用，平均数的应用，明确“三阶幻方”中数字的特点是解题的关键． 本题也可将数从小到大排序，最中间的数填入中心位置．
【变式1】（2023·陕西西安·模拟预测）已知三阶幻方中的9个数满足每行、每列、每条对角线上的三数之和都相等，如果一个三阶幻方中填入的是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数，则这个幻方正中间的数字是 ．
本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．（1）根据题意，整理出代数式进行分析即可；（2）根据题意，列出一元一次方程求解即可．
【点睛】主要考查了绝对值非负性的应用，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及解法，勾股定理，点的平移与点的坐标之间的关系，本题的关键是理解一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解法．
【典例】（2023·陕西·中考真题）“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？
本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设学校这次共买了x棵树苗，根据组植5棵，就会多出6棵树苗； 如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗列出方程求解即可．
【变式1】（2024·湖北·一模）现有甲、乙两种型号的商品，已知一个甲种型号商品比一个乙种型号商品多20元，购买甲、乙两种型号商品各10个共需1760元，(1)求甲、乙两种型号的商品单价各是多少元？(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的商品共50个，求最多可购买多少个甲种型号的商品？
【变式2】（2025·黑龙江佳木斯·二模）开放性问题某校九年级共有300名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少30人．(1)设女生人数为x人，用含x的代数式表示全校学生人数；(2)若该校计划组织一次户外活动，要求男生和女生分别分组，且每组人数相同．已知男生每组不超过15人，女生每组不超过12人，求分组方案中每组人数最多是多少？此时男生、女生各分多少组？
【典例】（2023·江苏连云港·中考真题）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯：
【变式1】（2025·江苏淮安·一模）综合与实践【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产．【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表：
【变式2】（2025·内蒙古·二模）金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）关系如图．
(2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的函数解析式，当电池剩余电量为10%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？
(3)金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算．
【变式1】（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．
【典例】（2025·吉林·中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 ．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，即可求解．
本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程．设有?辆车，根据题意，列出方程，即可求解．
一、代入消元法专属易错点1.变形方程时移项忘变号规避方法：移项严格遵循“移项必变号”，变形后可代入原方程验证是否等价。2.代入时选错方程，导致循环推导规避方法：必须代入另一个未变形的方程，消去一个未知数。3.代入多项式时漏乘括号内的项规避方法：代入含多项式的式子时，先给多项式加括号，再用乘法分配律展开。
错误示例：方程x-y=3变形为y=x+3（正确应为y=x-3）
错误示例：将y=x-1代入2x+3y=7，写成2x+3y-1=7（正确应为2x+3(x-1)=7）
二、加减消元法专属易错点1.给方程乘系数时漏乘常数项规避方法：方程两边每一项都要乘同一个系数，包括常数项，乘完后检查每一项的系数。
错误示例：方程2x+y=4两边乘2，写成4x+y=4（正确应为4x+2y=8）
2.加减消元时符号处理错误错误场景1：系数相等时用减法，未给被减方程的所有项变号错误场景2：混淆加减消元的适应条件，系数相反时误用减法规避方法：系数互为相反数→两方程相加消元系数相等→两方程相减消元，减法时把被减方程的每一项变号后在相加。
本题考查解二元二次方程组，把二元二次方程组化为两个二元一次方程组是解题的关键， 先将二元二次方程组化成二元一次方程组，然后再运用加减消元求解即可．
二元一次方程组的同解问题，核心是指两个不同的方程组有完全相同的解。解题关键是抓住 “公共解同时满足四个方程” 这一特点，通过 “先求无参公共解，再代入含参方程求参数” 的步骤求解。
二元一次方程组的实际应用
本题考查根据实际问题，列二元一次方程组，根据每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，列出方程组即可．
【变式2】（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（   ）
【变式1】（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：信息一
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多?
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
二元一次方程组解行程问题的核心是抓住两个核心等量关系：路程=速度×时间（s=vt），以及题目中给出的路程、速度、时间的数量关系（如路程和、路程差、时间差等），通过设两个未知数，列方程组求解。1.审题：明确行程类型（相遇/追及/顺水逆水等），提取关键信息——甲、乙的速度/时间/路程，以及它们之间的数量关系（如“甲速度是乙的2倍”“相遇时甲比乙多走10km”）。2.设未知数直接设：求什么设什么，如设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h；间接设：若直接设不便，设与所求量相关的量，如设相遇时间为xh，水速为ykm/h。技巧：未知量有几个，就设几个未知数，通常设 2 个未知数。
3.找等量关系列方程组根据基本公式和题目中的特殊关系，列出两个独立的等量关系；例：相遇问题中，①甲路程+乙路程=总路程；②甲速度= 2×乙速度。解方程组：用代入消元法或加减消元法求解，得到未知数的值。4.检验作答检验解是否符合实际意义（速度、时间为正数）；回答题目所求的量，注意带单位。
【变式2】（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：
(1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？(2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元．
二元一次方程组解工程问题的核心是：将总工作量设为单位“1”，以“工作效率×工作时间=工作量”为基础，结合“合作效率=各效率之和”“总工作量=各部分工作量之和”列方程组。
3.找等量关系列方程组从题目中提取两个独立的等量关系，结合核心公式列方程，常见等量关系有：关系1：合作效率×合作时间=总工作量关系 2：单独完成时间的数量关系关系 3：分阶段工作量之和=总工作量 （如甲先做m天的工作量+甲乙合作n天的工作量 = 1）。4.解方程组若方程含分式，先通过去分母转化为整式方程。用代入消元法或加减消元法求解，得到未知数的值。5.检验作答检验解的合理性： 时间、效率必须为正数，若为分式方程，需检验是否为增根。 代入原条件验证：确保解满足题目中的时间、效率关系。 规范作答：明确回答所求问题，带单位。
【典例】（2023·四川德阳·中考真题）若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？
答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务．
多位数的数值 = 各数位上的数字 × 对应数位的计数单位之和
二元一次方程组解数字问题的核心：利用数位与数值的关系，用代数式表示多位数，再结合题目中的数字关系（如和差、倍数、数位对调）列出两个等量关系，进而列方程组求解。
核心基础：数位与数值的关系
（a为 1~9 的整数，b、c为 0~9 的整数）
【典例】（2025·江苏徐州·二模）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数．
【典例】（2023·山西·中考真题）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；(2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
【变式1】（2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位．(1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数．(2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
二元一次方程组解销售利润问题的核心“单价、数量、总价”“进价、售价、利润”梳理两组核心关系，提取题目中关于数量、利润的两个独立等量关系，设未知数后列方程组求解。
【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元．(1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；(2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？
【变式1】（2025·江西吉安·二模）今年清明假期，陶溪川创意集市吸引了大量游客，某摊位在集市销售两种特色陶瓷工艺品：A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元．(1)求A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件的单价；(2)该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1000元，则至少需要带多少个A款陶瓷工艺品？
∴A款手绘青花瓷杯的单价为80元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为50元；
∵a为整数，∴a的最小值为9，答：保证总销售额不低于1000元，至少需要带9个A款陶瓷工艺品．
【变式2】（2025·贵州·一模）某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话：
答：每件A款木偶工艺品的售价为20元，每件B款木偶工艺品的售价为25元；
二元一次方程组解和差倍问题的核心：抓住 “和、差、倍” 三类数量关系，设两个未知数，根据题目给出的两个独立等量关系列方程组求解。
特点：条件清晰，等量关系直接，常见于两种对象的数量对比场景。
【变式1】（2025·云南昭通·二模）绿化树种具有过滤和滞纳大气污染颗粒物的能力，因此成为城市绿化的常用树种，其中榆树和白蜡树因其生长迅速，枝叶繁茂而被广泛种植．已知3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克．(1)每棵榆树和白蜡树的滞尘量分别是多少千克？(2)一条新建的城市道路需要种植这两种树，一棵榆树的种植成本是400元，一棵白蜡树的种植成本是200元，种植两种树木的总棵数为60棵，要求滞尘总量不少于280千克，且种植总成本尽可能低，应该怎样种植这两种树才能使种植总成本最低？求出该费用．
【变式1】（2025·云南昭通·二模）绿化树种具有过滤和滞纳大气污染颗粒物的能力，因此成为城市绿化的常用树种，其中榆树和白蜡树因其生长迅速，枝叶繁茂而被广泛种植．已知3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克．(2)一条新建的城市道路需要种植这两种树，一棵榆树的种植成本是400元，一棵白蜡树的种植成本是200元，种植两种树木的总棵数为60棵，要求滞尘总量不少于280千克，且种植总成本尽可能低，应该怎样种植这两种树才能使种植总成本最低？求出该费用．
三元一次方程组及其应用
3.解三元一次方程组的核心思路：解三元一次方程组的核心是消元，即通过代入消元法或加减消元法，先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再消去一个未知数转化为一元一次方程，求解后逐步回代，得到三个未知数的值。
1. 三元一次方程的定义： 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。
2. 三元一次方程组的定义：由三个一次方程组成，并且一共含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组
核心特征：方程组中含有3个未知数；每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为 1；方程的个数一般为3个
基本步骤：①消元 1：从方程组中选两个方程，消去其中一个未知数（如z），得到一个二元一次方程；②消元 2：再选另外两个方程，消去同一个未知数（z），得到另一个二元一次方程；③解二元一次方程组：将两个二元一次方程联立，求解得到两个未知数的值；④回代求解：将求出的两个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出第三个未知数的值；⑤检验：将三个未知数的值代入原方程组的所有方程，验证是否成立。
【变式1】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．
【典例】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（   ）A．12种B．15种 C．16种 D．14种
【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团有20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间住满，那么租房方案有（   ） A．2种B．3种 C．4种 D．5种
【变式2】（2025·江苏南京·一模）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如下表．现各买一杯，需要花费 元．
本题主要考查了有理数的四则混合运算，解一元一次方程．（1）根据有理数四则混合运算的法则计算即可；（2）将式子化简为2-m=3，解一元一次方程即可．
【典例】（2025·河北衡水·模拟预测）综合实践课上，同学们玩“接力游戏”，由每组学生合作解一元一次方程．如图，老师将题目交给甲同学，他完成一步解答后交给乙同学，依次进行，最后由戊同学完成求解．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．
(1)写出这个“接力游戏”中过程出错的同学；(2)请你写出正确的求解过程．
（2）解：正确的解答过程如下
【典例】（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题．
(1)图5中共有 个黑色小正方形， 图n（n为正整数）中共有 个黑色小正方形．(2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？
【变式2】（2024·江西·模拟预测）下图是用相同的木棒拼成的图形，其中第1个图形用了9根木棒，第2个图形用了13根木棒，第3个图形用了17根木棒……．
【变式3】（2025·安徽亳州·二模）如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，…，按此规律，
(1)则第5个图案中有______个六边形；(2)用含n的代数式表示第n个图案中六边形的个数；(3)若第n个图案中有601个六边形，求n的值．
【典例】（2025·广东深圳·一模）根据以下素材，探索完成任务．
【变式1】（2025·广西桂林·二模）根据以下素材，探索解决任务．
【变式2】（2024·宁夏银川·三模）如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分．
［拓展探究］（3）学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售，如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过3500元，求至多购买A种品牌足球多少个？
［迁移类比］（2）小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价．