河北省承德市九校联考2026届高三数学上学期11月期中试题含解析

这是一份河北省承德市九校联考2026届高三数学上学期11月期中试题含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合 中不等式的解集，然后根据交集的定义进行计算即可.
【详解】因为 ，
，
所以 .
故选：B.
2. 命题“ ”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解.
【详解】命题“ ”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以所求的否定是 .
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故选：C
3. 已知两个线性相关变量 x 与 y 的统计数据如下表：
x 3 4 5 6 7
y 2.4 m 4 4.6 5.2
其经验回归方程为 则 m=（ ）
A. 2.8 B. 3 C. 3.2 D. 3.4
【答案】A
【解析】
【分析】利用经验回归方程经过 求出 .
【详解】 ， ，经验回归方程经过点 ，
所以 ，解得 .
故选：A.
4. 若点 为函数 的图象的一个对称中心，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正切函数 性质求出函数图象的对称中心，再求出最小值.
【详解】由 ，得 ，
因此函数 图象的对称中心为 ，
而 ，则 ， ，
所以 最小值为 .
故选：D
5. 已知函数 ，则 f(x)的最小值为（ ）
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A. 2 B. 3
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 ，令 ，得 ，利用
基本不等式即可求解.
【详解】由 ，
令 ，得 ， ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，当 时，即 时，等号成立，
故选：B.
6. 在△ABC 中，点 D 为 BC 的中点，若 则 （ ）
A. B. 3 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题干信息得到 ， ，对 进行
化简求值，再根据 ，即可得到答案.
【详解】因为点 为 的中点，所以 ，
又 ，
则 ，
又 ，则 .
故选：B.
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7. 已知正三棱锥 的底面边长是高的 倍，则 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，作出 与平面 所成的角，再利用余弦定理求解即得.
【详解】在正三棱锥 中，令底面正 的中心为 ，连接 ，连 并延长交 于 ，
连接 ，
则 平面 ， ，而 平面 ，
因此 平面 ，而 平面 ，则平面 平面 ，
又平面 平面 ，于是直线 在平面 内的射影为直线 ，
则 是 与平面 所成的角，令 ，则 ，
，由 ，得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
故选：D
8. 已知 且 ，若函数 的图象与 的图象在第一象限恰好有两个不同的交点，则实数 a
的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】将两个图象交点问题转化为方程 有两个不等正根求解，再取对数构造函数，利用导数分析
求解.
【详解】由函数 的图象与 的图象在第一象限恰好有两个不同的交点，
得方程 有两个不等正根，
令函数 ，求导得 ，当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，函数值集合为 ，在 上单调递减，函数值集合为 ，
当 时， ，直线 与函数 的图象只有一个交点，
方程 只有 1 个解，不符合题意；
当 时， ，直线 与函数 的图象有两个交点，
方程 在 内各有 1 个解，则 ；
当 时， ，方程 只有 1 个解 ，不符合题意；
当 时， ，直线 与函数 的图象有两个交点，
方程 在 内各有 1 个解，则 ，
所以实数 a 的取值范围为 .
故选：C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知复数 ，其中 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 是 z 为纯虚数的充要条件
C. 若 ，则 D. 若 ，则 的最大值为
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【答案】ACD
【解析】
【分析】利用复数的除法求出 ，再逐项求解判断.
【详解】复数 ， ，
对于 A，由 ，得 ，则 ，A 正确；
对于 B，当 时， 是纯虚数，B 错误；
对于 C， ，则 ，C 正确；
对于 D，由 ，得 ，则 ，
当且仅当 时取等号， ，因此 最大值为 .
故选：ACD
10. 某校高一、高二、高三 3 个年级的学生人数分别占该校学生总人数的 40%，30%，30%，其中高一、高
二、高三 3 个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的 60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查
一名学生，则下列结论正确的有（ ）
A. 该学生的眼睛近视的概率为 0.69
B. 该学生是高三年级且眼睛近视的概率为 0.8
C. 如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为 0.3
D. 如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据概率乘法公式及对立事件的概率对选项逐一分析即可.
【详解】对于 ：该学生的眼睛近视的概率为 ，故 正确；
对于 ：该学生是高三年级且眼睛近视的概率为 ，故 错误；
对于 ：如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为 ，故 正确；
对于 ：如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为 ，故 错误.
故选：AC.
11. 已知直线 与抛物线 交于不同的两点 为抛物线 的焦点，点 是抛物线上异
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于 的一点，弦 的中点为 ，则（ ）
A. 点 的坐标为
B. 当 时，点 在抛物线 上
C. 若 ，则 m 的取值范围为
D. 若 ，则△ABC 面积的最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用抛物线的方程可判断 ；联立直线与抛物线的方程，得到一元二次方程，利用根与系数的关
系及中点坐标公式得到 的坐标，进而可判断 ；由 可求出点 的坐标，根据点 在抛物线
上得到 ，再结合根的判别式可求出 的取值范围，进而可判断 ；由 得
，利用弦长公式、点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式得到 面积的表达式，
构造函数，利用导数求解函数的最大值，进而得到 的最大值，即可判断 .
【详解】对于 ：由 得 ，故 点的坐标为 ，故 错误；
对于 ：设 ，
由 ，得 ，
所以 ， ，
则 ，
故 ，
当 时， ，显然在抛物线 上，故 正确；
对于 ：设 ，由 得 ，
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故 ，又 ，
所以 ，故 ，则 ，
由 ，得 ，
又因为点 是抛物线上异于 的一点，
当 时，点 与点 或点 重合，所以 ，
所以 ，故 错误；
对于 ：由 易得 不重合，
连接 ，则 ，
，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
故 面积的最大值为 ，故 正确.
故选： .
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知双曲线 的一条渐近线为 ，则 的值为________.
【答案】16
【解析】
【分析】求出渐近线的方程为 即可求解.
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【详解】由题意得， ，
双曲线 的渐近线方程为 ，又渐近线方程为 ，
所以 ，故 .
故答案为：16.
13. 若函数 (其中 )在 上单调递增，则实数 a 的取值范围为
________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性列式求解即可.
【详解】当 时， 在 上单调递增，但 ，不符合题意，
当 时，由题可得 ，解得 .
故答案为：
14. 现有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各 4 张，有放回地抽取 4 次，每次抽一张，则 4 次抽取的卡片颜色
种数 X 的数学期望为________.
【答案】
【解析】
【分析】先确定 的可能取值，分别计算每个取值的概率，再根据数学期望公式计算.
【详解】由题意知，四次抽取的卡片颜色种数 的所有可能取值为 ，
当 ，即 次抽取的卡片颜色相同，故 ，
当 ，即 次抽取到 种不同颜色的卡片，故 ，
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当 ，即 次抽取到 种不同颜色的卡片，故 ，
当 ，即 次抽取到的卡片颜色均不同，故 ，
所以四次抽取的卡片颜色种数 的数学期望 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 中，角 的对边分别是 ，且 .
（1）证明： 成等差数列;
（2）若 为锐角三角形且 ，求 c 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式推理得证.
（2）利用正弦定理，结合差角的正弦公式及锐角三角形条件，借助正切函数求出范围.
【小问 1 详解】
在 中，由 及正弦定理，
得 ，
整理得 ，而 ，因此 ，而 ，
则 ， ，所以 成等差数列.
【小问 2 详解】
由（1）知 ，由锐角 ，得 ，则 ，
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由正弦定理得 ，
而 ，则 ， ，
所以 c 的取值范围 .
16. 如图，圆锥 CO 的底面直径 ，其侧面展开图为半圆，AD 是底面圆的一条弦.
（1）当 时，证明： ;
（2）若二面角 的余弦值为 求 AD.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定、性质，圆锥的结构特征推理得证.
（2）由已知求出母线长，再作出二面角的平面角，利用直角三角形边角关系求解即可.
【小问 1 详解】
在圆锥 中，连接 ， 平面 ， 平面 ，则 ，
而 ， 平面 ，因此 平面 ，
又 平面 ，则 ，而 是圆的圆心，所以 .
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【小问 2 详解】
由圆锥 CO 的侧面展开图为半圆，得 ，则 ， ，
取 中点 ，连接 ，而 ，则 ，
是二面角 的平面角，即 ， ，
而 ，因此 ，所以 .
17. 已知数列 的前 n 项和为 ，且满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）已知函数 ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将 代入等式得到 ，然后利用累乘法求出 ，进而得到数列 的
通项公式.
（2）先求出 的表达式，然后求导，利用裂项相消法求出结果即可.
【小问 1 详解】
因为 ， ，
所以当 时， ，化简得 ，
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所以 ，利用累乘法， ，
将 代入得 .
所以当 时， .
当 时， 符合上式，所以数列 的通项公式为 .
【小问 2 详解】
因为 ，求导得
.
所以
18. 已知椭圆 的焦距为 2，点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 为椭圆 上的动点，求 的取值范围;
（3）若点 在椭圆 上，点 在直线 上，且 (O 为坐标原点)，判断直线 与圆
的位置关系，并证明你的结论.
【答案】（1）
（2）
（3）直线 与圆 相切，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求出 ，再根据 的关系及椭圆的标准方程求解即可；
（2）将取值范围问题转化为直线与椭圆有公共点问题，联立方程，结合判别式求 的取值范围即可；
（3）设点 到直线 的距离为 ，则 ，根据点在椭圆上化简前者可得 ，故直
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线 与圆 相切.
【小问 1 详解】
由题可得 ， ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
令 ，则直线 与椭圆 有公共点，
由 ，得 ，
则 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
设 ，若 ，则 ，
此时 即为 轴，此时 不在直线 上，舍；
若 ，则 ，此时 ，故 ， ，
设 到 的距离为 ，则 ，
故 ，此时直线 与圆 相切.
若 ，则直线 ，故 ，
故直线 ，故 ，
故 ， ，
故 ，
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而 ，故 ，故
故 即 ，故直线 与圆 相切.
19. 已知函数
（1）当 m=3 时，求 f(x)在 上的最大值；
（2）当 m=2 时，解不等式
（3）当 m=2 时，不等式 在 上恒成立，求整数 a 的最大值.(参考数据：
1
【答案】（1）
（2）
（3）3
【解析】
【分析】（1）求导，利用两角和差的余弦公式进行化简，讨论单调性即可求得最大值；
（2）构造函数 ，求导得出单调性，再结合 即可解不等式；
（3）先由 时原不等式成立，代入得出 ，再证明 时成立即可，其中 时，利用
三角函数的符号来证明， 时，构造函数求导来证明.
【小问 1 详解】
当 m=3 时， ，
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，
当 时， ， ， 单调递增，
当 时， ， ， 单调递减，
所以 .
【小问 2 详解】
当 m=2 时, ,
不等式 即 ，
设 ，
，
则 单调递减，
又因为 ，
所以 的解集为 ，
即原不等式的解集为 .
【小问 3 详解】
由题意， 在 上恒成立，
当 时，代入可得 ，则 ，
当 时，代入可得 显然成立，
当 时，当 时， ， ，
成立，
当 时， ，
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设 ，
则 ，
单调递增， ，
所以 成立，
综上整数 a 的最大值为 .
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