河北省沧州市四校2026届高三上学期11月期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份河北省沧州市四校2026届高三上学期11月期中联考数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合 则（ ）
A．B．C．D．
2．已知， 为虚数，则 的值可能为（ ）
A．2B．1C．0D．
3．沙漏是一种古代计时仪器．如图，某沙漏由上下两个相同圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的，则这些细沙的体积为（ ）

A．B．C．D．
4．一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这组数据的第60百分位数相等，则该组数据的平均数为（ ）
A．7.5B．6C．4.5D．3
5．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．36B．48C．60D．120
6．设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
7．在中，内角、、的对边分别为、、，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知平面向量．与的夹角为，则（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
10．已知函数，则（ ）
A．是奇函数B．
C．在区间单调递减D．有且仅有2个零点
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上第一象限内一点，则（ ）
A．若点关于原点对称的点为点，且，则
B．的右顶点到渐近线的距离为
C．内切圆的圆心在直线上
D．不存在点，使得点关于点对称的点在上
三、填空题
12．已知函数在点处的切线与直线垂直，则 ．
13．记为等比数列的前项和，且的公比为2，若，则 ．
14．一个项数为的正整数数列满足，且，若为不大于 的偶数，则符合条件的数列共有 个.
四、解答题
15．已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值、最小值及相应的的值．
16．已知是椭圆的右焦点，是上一点.
(1)求的方程；
(2)记为坐标原点，过的直线与交于两点，若，求的值.
17．如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，，为的中点，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知函数．
(1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，若恒成立，求实数m的取值范围．
19．现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为，其中.
(1)若，求的分布列和数学期望；
(2)求；
(3)求证：.
参考答案
1．C
【详解】因为集合，，
所以.
故选：C.
2．A
【详解】设且，由得，解得，
所以，所以，
故A正确，B错误，C错误，D错误.
故选：A.
3．B
【详解】由题意可知：这些细沙的体积为.
故选：B.
4．A
【详解】这组数据的中位数为，由，得这组数据的第60百分位数为，
因此，解得，所以这组数据的平均数为.
故选：A
5．B
【详解】由等差数列片段和的性质，，，，成等差数列，
故，则.
故选：B
6．B
【详解】根据题意得，，则，
又，则，，
对于A，若是的最小正周期，则，得，与矛盾，故A错误；
对于B，由得，满足条件，故B正确；
对于C，由得，与矛盾，故C错误；
对于D，由得，与矛盾，故D错误.
故选：B.
7．C
【详解】因为，由余弦定理可得，
所以，由正弦定理可得，
所以①，
因为②，
联立①②可得，故.
故选：C.
8．C
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以.
故选：C.
9．BC
【详解】对于A，因为，即不存在实数使，所以与不共线，故A不正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，因为，，所以故C正确；
对于D，在上的投影向量为.故D不正确.
故选：BC.
10．AC
【详解】函数的定义域为R，
对于A，，是奇函数，A正确；
对于B，求导得，，B错误；
对于C，，当时，，，
奇函数在上递减，则在上递减，因此在上递减，C正确；
对于D，奇函数满足，因此零点个数必为奇数，D错误.
故选：AC
11．ACD
【详解】由双曲线可得，，，
对于A，因为点，关于原点对称，所以四边形为平行四边形，
又因为，所以四边形为矩形，所以，故A正确；
对于B，由题意知的渐近线方程为，
则右顶点到直线的距离为，故B错误；
对于C，如图所示，
设内切圆与的三边分别相切于点，，，则，，
，由，可得，
即，所以，又，
所以，所以，所以内切圆的圆心在直线上，故C正确；
对于D，假设点关于点对称的点在上，
由题意可知直线的斜率存在且不为0，则，
由，两式相减得，
即，则，
所以直线的方程为，即，
此时直线为的一条渐近线，与无交点，与假设矛盾，
即不存在点，使得点关于点对称的点在上，故D正确．
故选：ACD．
12．
【详解】由题意有，所以，
由函数在点处的切线与直线垂直，
所以，所以.
故答案为：.
13．/
【详解】由可得，解得，
所以，，故．
故答案为：．
14．
【详解】由题意，且，
当时，，则可以取或，且逐项不减小，
此时满足条件的数列的个数有个；
当，，则可以取或或或，且逐项不减小，
此时满足条件的数列的个数有个；
当，，则可以取或或或或或，且逐项不减小，
此时满足条件的数列的个数有个；
当，，则可以取或或或或或或或，
且逐项不减小，此时满足条件的数列的个数有个；
综上，满足条件的数列共有.
故答案为：.
15．(1)，
(2)的最小值为，此时；的最大值为，此时
【详解】（1）
故；
由令
则
故函数的单调递增区间为；
（2）当时，，
则，即，
即在区间上的最小值和最大值分别为0，3，
即时，即时有最小值0，
当，即时有最大值3．
16．(1)
(2)
【详解】（1）由题可知，解得
则的方程为.
（2）若的斜率不存在，根据对称性，不妨令，则，不符合条件.
若的斜率存在，设的方程为，
联立方程组整理得，
则.
因为，所以
，解得，
则.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取线段的中点，连接、，如下图所示：
因为、分别为、的中点，所以，且，
因为四边形为菱形，所以，，
因为为的中点，所以，，
所以，，所以，四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，故平面.
（2）连接、，设，则，
又因为平面，以点为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则，可得、、、，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的一个法向量为，，
则，取，可得，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)
(2)答案见解析
(3)．
【详解】（1），
因为函数的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，解得．
（2）当时，令，得，当时，，在单调递减，时，，在单调递增；
当时，令，得，，
当时，，，
所以当，或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
当时，恒成立，所以在单调递减；
当时，，，所以当，或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
综上所述，时，在单调递减，在单调递增；
当时，在，单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时，在，单调递减，在单调递增．
（3）由（2）可知，当时，在单调递减，
令，，
是奇函数，则的对称中心为，
恒成立，
，即，，则．
19．(1)分布列见解析，
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）的可能取值为，
其中，
，
，
，
所以分布列为
；
（2）个周期结束后共有个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞.
不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，
此事件概率，
所以
.
（3）个周期结束后共有3个细胞，设细胞在第个周期时分裂为个新的细胞，
这两个细胞在剩下的个周期中，其中一个分裂为个细胞，
另一个一直保持分裂为个细胞，此事件的概率
，
得，
，
其中，.
令，，
记，，令，得.
当，，单调递增；
当，，单调递减，
故，