2024-2025学年浙江省宁波市名校八年级下学期期中测试数学试卷（解析版）

这是一份2024-2025学年浙江省宁波市名校八年级下学期期中测试数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，每小题只有一个正确选项）
1.若与都是反比例函数（）图象上的点，则的值是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
又∵点也在反比例函数图象上，
∴，
故选：．
2.如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】，
，
故选：A．
3.一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为（ ）
A.y＝－2(x－1)2＋3B.y＝－2(x＋1)2＋3
C.y＝－(2x＋1)2＋3D.y＝－(2x－1)2＋3
【答案】B
【解析】由题意可知：该抛物线的解析式为y=-2（x-h）2+k，
又∵顶点坐标（-1，3），
∴y=-2（x+1）2+3，
故答案为y=-2（x+1）2+3．
故选：B．
4.⊙O的半径为3，同一平面内有一点P，且OP=5，则P与⊙O的位置关系是（ ）
A.P在圆内B.P在圆外
C.P在圆上D.无法确定
【答案】B
【解析】∵OP=5＞3，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：B．
5.已知二次函数y=3(－1)²+5，下列结论正确的是（ ）
A.其图象的开口向下B.图象的对称轴为直线x=-1
C.函数的最大值为3D.当x>1时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】A、∵，
∴开口向上，选项错误，不符合题意；
B、∵二次函数y=3(－1)²+5，
∴图象的对称轴为直线x=1，
∴选项错误，不符合题意；
C、∵二次函数y=3(－1)²+5，
∴函数的最小值为5，没有最大值，
∴选项错误，不符合题意；
D、∵二次函数y=3(－1)²+5，
∴，开口向上，
又∵图象的对称轴为直线x=1，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，
∴选项正确，符合题意．
故选：D．
6.矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】由题意得函数关系式为，所以该函数为反比例函数．B、C选项为反比例函数的图象，再依据其自变量的取值范围为x＞0确定选项为C．
故选：C.
7.已知二次函数的图象如图所示，在下列五个结论中：①；②；③；④；⑤，正确的个数有（ ）
A.1个B.2个
C.3个D.4个
【答案】D
【解析】由图象可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴，，则，故①正确；
又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，则，故②正确；
∵抛物线的顶点在第一象限，对称轴为直线
∴当时，，故③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故④错误；
∵点和关于直线对称，，
∴当时，，故⑤正确，
综上，正确的有4个，
故选：D．
8.如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，矩形CDEF的边CD在CB上，且5CD=3CB，边CF在y轴上，且CF=2OC-3，反比例函数(k>0)的图象经过点B,E，则点E的坐标是（ ）
A.(，)B.(，)
C.(，)D.(，)
【答案】C
【解析】由题意可设：正方形的边，
点B的坐标为，即，


点E的纵坐标为
将代入反比例函数解析式中，可得点E的横坐标为，
四边形CDEF为矩形，
，可求得：
将，代入点E的坐标为，
可得：E的坐标为.
故选：C.
9.已知二次函数，的图象经过点、，图象上有三个，，．若当时，均有，则下列说法中正确的是（ ）
A.B.时，y有最大值
C.D.
【答案】C
【解析】∵当时，均有，
∴该抛物线的开口方向向上，即，即A选项错误，不符合题意；
∵二次函数的图象经过点、，
∴对称轴为直线，
∴当，y有最小值，，故B错误；
∴当时，有，C正确；
∵，
∴点到对称轴的距离大于点的距离，即，即D错误．
故选：C．
10.如图，在中，直径，，是半圆上的两点，半径上存在点，满足．延长交圆于点，连结．若，则的长为（ ）
A.B.6
C.D.8
【答案】D
【解析】如图所示，连接，设，则，
∵，
∴，；
∵是直径，
∴；
由圆的对称性可得，此时点C与点E关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或，
∵点P在上，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11.如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠C＝80°，则∠A等于___．
【答案】100°
【解析】∵四边形ABCD为圆内接四边形，∠C＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝100°，
故答案为：100°．
12.如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则关于的方程的解为_____．
【答案】，
【解析】根据题意，关于的方程的解为，
故答案为：．
13.如图，A、B是双曲线上关于原点对称的任意两点，AC//y轴，BD//y轴，则四边形ACBD的面积S=_____；
【答案】2
【解析】∵A、B是双曲线上关于原点对称的任意两点，AC//y轴，BD//y轴，
∴，
假设，则，
则，
∴，，
∴四边形ABCD的面积；
故答案为：2．
14.如图，为上的点，于点．若，，则的长为______．
【答案】
【解析】连接，则，，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15.在反比例函数图象上有两点，，，，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵在反比例函数图象上有两点，，，，
∴，
解得，
故答案为：．
16.有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米，距离点2米处的棚高为米，若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是________米．
【答案】
【解析】由题意可得，抛物线经过，，
故，
解得：，
故抛物线解析式为：
由题意可得：当时，
，
解得：
∴米．
故答案为：
17.已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则________．
【答案】或
【解析】∵二次函数，
∴二次函数的对称轴为直线，
又∵当自变量时，函数有最大值为10，
∴当即时，时取最大值，即，
解得，
当即时，时取最大值，
即，
则，解得，
方程的解不在的取值范围里，不符合题意；
当时即，时取最大值，即，
解得
综上，的值为或，
故答案为：或．
18.在平面直角坐标系中，点是半径为的上一动点，点和是外两个定点，点在第一象限内．点在第四象限内，以点为对称中心作点的对称点，再将点绕点逆时针旋转得到点，当点在上运动时，线段长的最大值和最小值的差为________．
【答案】
【解析】根据题意，如图，点与点的运动轨迹分别是绕圆心、的圆，
以点为对称中心作点的对称点，
，即，
点是半径为上一动点，
、是以为位似中心，且位似比为的位似图形，
半径为．
点在第四象限，且点绕点逆时针旋转得到点，
根据旋转的性质，得：的半径不变，为，
线段长的最大值为，最小值为，
线段长的最大值和最小值的差为．
故答案为：．
三、解答题（共56分）
19.如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别是，，，以点为旋转中心，将顺时针转动，得到，在坐标系中画出，并写出、、的坐标．
解：由题意，画出如下：
则．
20.如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形．
（1）求的值；
（2）在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为，
∴新抛物线的顶点为，
∴，
当时，，
∴点B的坐标为，即，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，解得：或0（舍去），
∴a的值为1；
（2）存在，理由如下：
如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴、为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线，
∴点C的坐标为，
故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为．
21.如图，已知是的直径，弦于点，点在上，.
（1）判断、的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求线段的长；
（3）若恰好经过圆心，求的度数.
解：（1）BC∥MD．理由如下：
∵∠M=∠D，∠M=∠C，∴∠D=∠C，∴BC∥MD；
（2）连接OC．
∵AE=16，BE=4，∴OB==10，∴OE=10﹣4=6．
∵CD⊥AB，∴CE=CD．在Rt△OCE中，∵OE2+CE2=OC2，即62+CE2=102，解得：CE=8，∴CD=2CE=16；
（3）如图2．
∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，即∠BOD=2∠D．
∵AB⊥CD，∴∠BOD+∠D=90°，即3∠D=90°，解得：∠D=30°．
22.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，其中点坐标为．
（1）求双曲线和直线的表达式；
（2）请直接写出反比例函数值大于一次函数值的自变量的取值范围；
（3）将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，请求出直线的解析式；
（4）在轴上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）直线与双曲线交于，两点点坐标为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵，
∴反比例函数解析式为；
（2）联立方程组得，，
整理得，，
解得，，
∴，
∴当或时，反比例函数图象在一次函数图形上方，即反比例函数值大于一次函数值；
（3）∵直线的解析式为，
∴设直线向下平移了个单位长度，则对应的函数解析式为，
∵平移后的直线与双曲线只有一个交点，
∴，
整理得，，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为或，如图所示，
（4）存在，点的坐标为或，理由如下，
直线的解析式为，
当时，，即，
当时，，即，
∴，即是等腰直角三角形，
如图所示，过点作轴于点，
∵，，
∴，
同理，是等腰直角三角形，，
∴以点为中点，以为半径画圆，交轴于点，连接，
∴，，，
∴，
∴，
∴在轴上是否存在点使得，点的坐标为或．
23.根据以下素材，按要求完成任务：
解：任务一，根据素材2知，销售单价每4元，每天的销售量减少8件，
∴每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系是一次函数关系，
设函数关系式为，代入，和，，
得，解得，
∴函数关系式为；
任务二，设每天的总利润为，
根据题意可得，；
任务三，由题意知，元，
即，整理得，
解得，（舍去），
∴每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为40元；
任务四，∵，
∵，对称轴，
∴当时，取最大值，（元）．
答：商场应将吉祥物的销售单价定为50元时，使每天获得的总利润最大．
24.如图，在顶点为P的抛物线的对称轴l上取，过A作交抛物线于B,C两点(B在C左侧)，点和点A关于点P对称，过作，又分别过B,C作，垂足为E,D，在这里我们把点A叫抛物线的焦点，BC叫抛物线的直径，矩形BCDE叫抛物线的焦点矩形．
(1)直接写出抛物线的焦点坐标及其直径；
(2)求抛物线的焦点坐标及其直径；
(3)已知抛物线的直径为，求a的值；
(4)①已知抛物线的焦点矩形的面积为2，求a的值；
②直接写出抛物线的焦点矩形与抛物线有两个公共点时m的取值范围．
解：(1)∵抛物线中，，，，
∴此抛物线焦点的横坐标是，纵坐标是：，
∴抛物线的焦点坐标为(0，1)，
将代入得：，
∴此抛物线的直径是：；
(2)∵抛物线中，，，，
∴此抛物线焦点的横坐标是，，纵坐标是：，
∴抛物线的焦点坐标为(3，3)，
将代入得：，
∴此抛物线的直径是：；
(3)∵抛物线的焦点为A(，)，
∴，
解得：，
∴此抛物线的直径是：；
解得：，
∴的值是；
(4)设抛物线解析式为：，
①由(3)得，BC，
焦点为A(，)，顶点为P(，)，
∴，
根据题意：，
解得：，
∴的值是；
②当或时，有两个公共点，
理由：由(2)知抛物线焦点矩形顶点坐标分别为：
B(1，3)，C(5，3)，E(1，1)，D(5，1)，
当过B(1，3)时，
解得：或(舍去)，
过C(5，3)时，或(舍去)，
由图可知，公共点个数随m的变化关系为：
当时，无公共点；
当时，1个公共点；
当时，2个公共点；
当时，3个公共点；
当时，有2个公共点；
当时，1个公共点；
当时，无公共点；
由上可得，当或时，有2个公共点．
附加题（本大题共2小题，每小题5分，折半计入总分）
25.如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点和点关于过点的直线对称．将二次函数图象向右平移个单位．再向上平移个单位，平移后的二次函数图象上存在一点，其横坐标为，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点坐标：若不存在，请说明理由．
解：或．理由如下：
由题意，令，
∴．
∴，．
∴．
∴顶点D的横坐标为．
连接，，作交与C，
∵D，B关于对称，
∴，
∵D是顶点，
∴
∴是等边三角形，
∴，，
∵D点横坐标为，
∴，
∴，
∴
∴．
∴．
∴．
∴抛物线解析式．
又∵抛物线图象向右平移个单位，再向上平移个单位，
∴平移后解析式．
∴当时，，
∴．
如图，若以为直角边，点M是直角顶点，在上方作等腰直角，则，直线交y轴于F点，作轴，，
∴
∴
∴．
∵，
∴H点横坐标为，，
∴，
可知此时F与E重合，为；
若以为直角边，点M是直角顶点，在下方作等腰直角，
同理可得：，
设直线解析式：，
则
解得：，
∴，
当时，，
即；
综上所述或．
26.已知点，，，是上的四个点，于点，若，，，，连结，求的度数．
解：在延长线上截取，连接，，，如图所示：
∵
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴，
则．如何设计利润最大的销售方案
素材1
某商场以每件30元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于55元．
素材2
市场调查分析：
销售单价（元）
…
34
38
42
46
50
54
…
每天的销售量（件）
…
72
64
56
48
40
32
…
任务一
确定销售量与销售单价之间的关系
请求出每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的关系；
任务二
确定每天的总利润与销售单价之间的关系
请用的代数式表示销售这种吉祥物每天所获得的总利润；
任务三
预估销售单价
若商场销售这种吉祥物每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为多少元？
任务四
拟定销售方案
商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为多少？