河南省南阳市2026届高三下学期一模考试数学试卷含答案（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
2. 样本数据151,177,209,210,218,223,252,281的 分位数是
A. 223 B. 237 C. 237.5 D. 252
【答案】C
3.已知函数 的周期为 ,值域为 ,则
A. B.
C. D.
【答案】C
4.已知向量 满足 ,则向量 在向量 方向上的投影向量为
A. B. C. D.
【答案】A
5.今天是 2026 年 3 月 19 日星期四,再过 天是星期
A. 一 B. 二 C. 三 D. 五
【答案】A
6.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长 与太阳天顶距 的对应数表,这是世界数学史上较早的一张正切函数表. 根据三角学知识可知,晷影长 等于表高 与太阳天顶距 正切值的乘积,即 . 对同一“表高”测量两次,第一次和第二次太阳天顶距分别为 ,若第一次的“晷影长”是 “表高”的 2 倍, 且 ,则第二次的“晷影长”是 “表高”的
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
【答案】B
7.在等差数列 中, ,当 取得最小值时,
A. 5 B. 6 C. 2025 D. 2026
【答案】A
8.已知椭圆 与椭圆 交于四点，且 的焦点与这四点在同一个圆上,则
A. 4 B. 5 C. D.
【答案】D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.一般地,任何一个复数 都可以写成 的三角形式,其中 是复数的模, 是复数的辐角,并规定 范围内的辐角 的值为辐角主值,则方程 的复数根的辐角主值是
A. B. C. D.
【答案】BC
10.已知抛物线 的焦点为 ,准线为 为坐标原点,过点 的直线与抛物线 交于 两点,分别过点 作 的垂线,垂足分别为 ,若 为等边三角形,则
A. 直线 的斜率为 B.
C. 的周长为 12 D. 三点共线
【答案】BCD
11.在锐角 中,角 的对边分别为 . 已知 成等差数列,且 ,则下列结论正确的是
A.
B.
C. 周长取值范围为
D. 若 是 外接圆的圆心,则 和 面积之差的取值范围为
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知函数 的图象恒过定点 ,且函数 的图象在 处的切线也经过点 ,则 ________.
【答案】
13.采购员要购买某种电器元件一包(12 个). 他的采购方法是:从一包中随机抽查 4 个，如这 4 个元件都是好的，他才买下这一包. 假定含有 6 个次品的包数占 20%，而其余包中各含 2 个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是_______.
【答案】
14.如图为四棱锥 的平面展开图，其中 为平行四边形, 是边长为 1 的等边三角形, 为 的中点, ,则四棱锥 的外接球表面积为________.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.某小区物业为提高服务质量, 随机调查了 100 名男业主和 100 名女业主, 每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价, 得到如下列联表:
(1)依据 的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业服务的评价有差异？
(2)从小区的业主中任选一人， 表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”， 表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出 ， 的估计值.
附: .
【解析】(1)假设 :小区男、女业主对该物业服务的评价无差异. (1 分)
因为 ,(6 分)
依据 的独立性检验,所以假设 不成立,即认为小区男、女业主对该物业服务的评价有差异. (7 分)
(2)由题意， ，(10 分)
(13 分)
16.已知数列 的前 项和为 ,且 成等差数列,数列 满足 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)是否存在正整数 使得 ？如果存在，请求出 的值；如果不存在，请说明理由.
【解析】(1)由题 成等差数列,所以有 ,①
于是 ,②
①-② 得: ，即 ，(2分)
于是有 ，(3分)
又因为当 时, ,解得 ,所以 ,
所以数列 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,(4 分)
所以 ,即 . (5 分)
从而 . (7 分)
综上: . (8 分)
(2) 由(1)得, ,(10 分)
从而
(12 分)
方法一:由于 为正整数，所以当 时， ；当 时， ；当 时， ； 当 时， ；当 时， (14 分)
综上只有当 时满足条件,
也即存在 使得原等式成立. (15 分)
方法二: 前同法一知 ,
由于 为正整数,则 , 且 为奇数,只有 符合要求,
故 ,解得 , . 即存在 使得原等式成立. (15 分)
17.已知三棱锥 中，底面 是边长为 2 的正三角形,且 分别为棱 的中点.
(1)求证: ；
(2)求平面 与平面 的夹角的正弦值.
【解析】
(1)取线段 的中点为 ,连接 ,
因为 ,所以 ；
又因为 为正三角形,所以 ,
又 ,所以 平面 ,
故有 . (3 分)
方法一:设 ，
则 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,所以 ①
同理由 ,可得 ② (5 分)
由①-②得 ，
所以 ,(6 分)
又 ,
所以 ,即 . (7 分)
方法二: 作 平面 于 ,易得 ,
又 ,所以 平面 ,所以 ,(6 分)
同理 ,即 为 的垂心,故得 ,
从而得 平面 ,故 . (7 分)
(2) 方法一: 作 平面 于 ,连接 ,作 垂直 ,建立如图所示空间直角坐标系.
则 ,
故有 (10 分)
记平面 的法向量 ,则 ,
即 ,取 ,解得
取平面 的法向量 ,
不妨设平面 与 的夹角为 ,
则 ,(14 分)
从而正弦值为 ,
即平面 与 夹角的正弦值为 . (15 分)
方法二:
取 中点 ,连接 交 于 ,可知 为 中点,
连接 ,易知 ,
过 做 的平行线 ,则 ,
因为 为平面 与平面 的交线，
故 为平面 与平面 所成二面角的平面角, (9 分)
由平面几何知识易得 ，故 (10 分)
又 为等腰三角形，故在 中，
,
又在 中, ,(11 分)
在 Rt 中, ,
故 (12 分)
于是在 中由余弦定理得: ，(14 分)
从而 ，即平面 与 夹角的正弦值为 . (15 分)
18.已知函数 ,其中 ,且 .
(1)当 时，讨论 的零点个数；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【解析】(1)函数 等价于 ,两端同取自然对数得: ,即 ,(2 分)
令 ,则原题转化为 的解的个数,
由于 ,当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减. 则 在 处取得极大值,也是最大值 , 当 时, ; 当 ,时
函数图象如图所示:
当 时， ，解得 ，此时有 1 个零点；(5 分)
当 时， ， 与 有 2 个交点，此时 2 个零点；(6 分)
当 时, 与 有 2 个交点,此时 2 个零点; (7 分)
综上,当 时,有 1 个零点; 当 或 时,有 2 个零点. (8 分)
(2)由题 恒成立，即 恒成立. (9 分)
当 时，若 ，则 显然不成立，故 时不符合题意；(10分)
当 时，由 ，可得 ，
因为曲线 与 关于直线 对称,
所以 . (12 分)
令 ,则 ,
令 ,得 ,又因为 单调递增,
所以当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增. 所以 时, 取极小值点,也是最小值,(13 分)
所以 的最小值为 ,其中
由 ,得 ,即 ,所以 . (16 分)
综上可得,所以 的取值范围是 . (17 分)
19.用圆规画一个圆 ,然后在圆外标记点 ,并把圆周上的点 折叠到点 ,连接 ,标记出直线 与折痕所在直线 的交点 (如图),若不断在圆周上取新的点 进行折叠并得到标记点 ,设圆 的半径为 4,点 到圆心 的距离为 6,以 所在的直线为 轴, 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系,所有的点 形成的轨迹记为曲线 .
(1)求曲线 的轨迹方程；
(2)设 为曲线 上第一象限内的一点，记 的重心为 ，内心为 .
①若 ，求点 的坐标；
②连接 交曲线 于第四象限一点 ，设 的内心为 ，求四边形 的面积 的取值范围.
【解析】(1)把圆周上的点 折叠到点 ,折痕所在直线 是 的垂直平分线,
,(2 分)
若不断在圆周上取新的点 ,进行折叠并得到标记点 ,
总有 成立,(3 分)
符合双曲线定义,故点 形成的轨迹是以 为焦点,
以 为实轴长的双曲线,故 ,
由 ,得 ,(4 分)
即曲线 的标准方程为: . (5 分)
(2) 方法一:
① 设点 ，则 的重心 的坐标为 ，
由题 知 ,即内心 的纵坐标为 ,也即内切圆半径为 ,
于是由 ,(7 分)
得 ,
而 ,
即 ,解得 ,(9 分)
从而有 ,解得 ,
所以点 的坐标为 . (11 分)
②设内切圆圆 与 轴的切点为 ,其横坐标为 .
根据双曲线定义和内切圆性质:
, 联立解得: ,
所以圆心 的横坐标为: ,
同理 的内切圆与 轴的切点横坐标也为 2,(13 分)
连接 和 ,则 和 均为角平分线,
设直线 倾斜角为 ,通过几何关系得:
由题 均在右支上,可知 ,或 ,从而可得 ,
即
所以 ,
即 的取值范围 (17 分)
(2)方法二:
①连接 并延长交 轴于 ，由题 知 ，即 ，
由角平分线性质知: ,于是有 ,且 ,
解得 , ,故 ,易得 ; (7 分) 设内切圆圆 与 轴的切点为 ,其横坐标为 .
根据双曲线定义和内切圆性质:
联立解得: ,
所以圆心 的横坐标为: ,(9 分)
于是 ,即 ,故 ,
代入曲线 得 ，(10 分)
所以点 的坐标为 . (11 分)
②，由 ① 知 的横坐标为 2，同理 的内切圆与 轴的切点横坐标也为 2，
连接 和 ,则 和 均为角平分线,设直线 倾斜角为 ,通过几何关系得:
由题 均在右支上,可知 ,或 ,从而可得
即
所以 ,
即 的取值范围是 . (17 分)是否满意性 别
满意
不满意
合计
男业主
80
20
100
女业主
60
40
100
合计
140
60
200
0.05
0.01
0.005
3.841
6.635
7.879